2023-2024学年湘教版初中数学八年级下册 2.7 正方形同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024九上·龙岗期末）下列选项中，不能被边长为的正方形及其内部所覆盖的图形是（ ）
A．长度为的线段 B．边长为的等边三角形
C．斜边为的直角三角形 D．面积为的菱形
2．有下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③矩形的对角线平分一组对角；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形.其中真命题是（ ）
A．②③④ B．②④ C．①② D．①
3．如图，正方形 ABCD的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D落在 BC 边上的点 E 处，折痕为GH.若 BE：EC=2：1，则线段 CH 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2024九上·织金期末）已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于．则下列说法正确的是（ ）
A．当时，平行四边形ABCD为矩形
B．当时，平行四边形ABCD为正方形
C．当时，平行四边形ABCD为菱形
D．当时，平行四边形ABCD为菱形
5．下列说法中，正确的是 （ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．有一组邻边相等的平行四边形是正方形
C．有一组邻边相等的矩形是正方形
D．四条边都相等的四边形是正方形
6．下列说法不正确的是（ ）
A．有一个角是直角的菱形是正方形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
7．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE：EC=2∶1，则线段CH的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，F是边AB 上一点，连结DF.若BE=AF，则∠CDF的度数为（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°
二、填空题
9．如图，O为正方形ABCD的对角线AC的中点，△ACE为等边三角形.若AB=2，则OE的长为 .
10．（2024八上·德惠期末）如图，沿正方形对角线对折，互相重合的两个小正方形里面的数字的积为 .
11．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合(点A，C都落在点G处).若GF=4，EG=6，则DG的长为 .
12．如图，正方形 ABCD的边长为 3，点 E 在边AB 上，且 BE=1.若点 P 在对角线BD 上移动，则PA+PE的最小值为 .
13．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2， ∠ABC=60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE= DF，M，N分别是边AD，BC上的动点.有下列四种说法：
①存在无数个平行四边形 MENF；
②存在无数个矩形MENF；
③存在无数个菱形MENF；
④存在无数个正方形MENF.其中正确的是 （填序号）.
三、解答题
14．如图，正方形 ABCD 的边长为4，E 为BC 边上的一点，BE=1，F为AB 的中点.若 P 为对角线AC 上的一个动点，求 PF+PE的最小值.
15．（2023八下·兴仁月考）如图，是的一条角平分线，交于点E，交于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，当 ▲ 度时，四边形为正方形并证明．
四、综合题
16．（2022·沂南模拟）如图①，四边形是正方形，点E是上一点，连接，以为一边作正方形，连接．
（1）求证：；
（2）如图②，连接交于点H，连接，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，点H恰为中点，求的面积．
17．（2013·南京）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质；正方形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 正方形的边长为2， ∴ 正方形的对角线为 ，
∴ 长度为的线段能被边长为的正方形及其内部所覆盖 ，故A项不符合题意；
边长为2的等边三角形能被边长为的正方形及其内部所覆盖 ，故B项不符合题意；
斜边为2的直角三角形能被边长为的正方形及其内部所覆盖 ，故C项不符合题意；
面积为4的菱形对角线最长可为8，不能被边长为的正方形及其内部所覆盖 ，故D项符合题意.
故答案为：D.
【分析】先计算出正方形的对角线的长度，根据等边三角形的性质、直角三角形的性质和菱形的性质，即可判断求出.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；正方形的判定；轴对称图形；中心对称及中心对称图形；真命题与假命题
【解析】【解答】解： ①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 ，是真命题；
②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，是假命题，对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形；
③矩形的对角线平分一组对角，是假命题，正方形和菱形的每一条对角线才平分一组对角；
④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形，是假命题，正五边形是轴对称图形不是中心对称图形.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形、正方形的判定，矩形的性质及轴对称图形，逐项判断即可得解.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵BE：EC=2：1，BE+EC=9
∴EC=3；
∵正方形 ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点 D落在 BC 边上的点 E 处，
∴∠C=90°，DH=EH，
设CH=x，则DH=EH=9-x，
在Rt△ECH中
CH2+CE2=EH2即x2+9=（9-x）2
解之：x=4，
∴CH的长为4.
故答案为：B.
【分析】利用已知求出EC的长，利用正方形的性质和折叠的性质可得到∠C=90°，DH=EH，设CH=x，则DH=EH=9-x，在Rt△ECH中利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CH的长.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】A、∵当时，不能判定平行四边形ABCD为矩形，∴A不符合题意；
B、∵当时，则平行四边形ABCD是菱形，但不能直接证出平行四边形ABCD是正方形，∴B不符合题意；
C、∵当时，则平行四边形ABCD是矩形，但不能直接证出平行四边形ABCD是菱形，∴C不符合题意；
D、∵当时，则平行四边形ABCD是菱形，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用菱形的判定方法、矩形的判定和正方形的判定方法逐项分析判断即可.
5．【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】A、 有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不正确.
B、 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项不正确.
C、 有一组邻边相等的矩形是正方形，故此选项正确.
D、 四条边都相等的四边形是菱形，故此选项不正确.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的判定即可解答.
6．【答案】B
【知识点】菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的菱形是正方形，A正确；
B、四条边都相等的四边形是菱形，B不正确；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，C正确；
D、两条对角线相等的菱形是正方形，D正确.
故答案为：B.
【分析】有一个角是直角的菱形是正方形.
四条边都相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
两条对角线相等的菱形是正方形.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：正方形ABCD的边长为9，
，
BE：EC=2∶1，
，
设CH=x，则DH=9-x，
由折叠的性质可得EH=DH=9-x，
，解得，
.
故答案为：B.
【分析】设CH=x，则DH=9-x，利用线段比求得CE的长度，再通过勾股定理解得x的值，进而求得CH的长度.
8．【答案】C
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，
，
AE平分∠BAC，
，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】由正方形的性质可得，进而通过SAS判定，再利用角平分线的定义求得，即可得到的度数.
9．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴AC=，
∵O为正方形ABCD对角线AC的中点， △ACE为等边三角形 ，
∴∠AOE=90°，∠AEO=30°，
∴AC=AE=，AO=，
∴OE=.
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质可求得AC的值，然后根据等边三角形的性质和勾股定理可求解.
10．【答案】0或-9
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据题意沿正方形对角线对折，则得到0与6重合，-3与3重合，所以互相重合的两个小正方形里面的数字的积为0或-9.
故答案为：0或-9.
【分析】根据题意沿正方形对角线对折后有两种情况，分别是0与6重合，-3与3重合，那么将两组分别进行乘法计算即可得出答案。
11．【答案】12
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设正方形的边长为x，
由翻折的性质得：DG=DA=DC=x，
∵GF=4，EG=6，
∴AE=EG=6，CF=GF=4，
∴BE=AB-AE=x-6，BF=BC-CF=x-4，EF=EG+GF=6+4=10，
如图，在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
∴(x-6）2+（x-4）2=102，
解得：x1=12，x2=-2（不符合题意），
∴DG=12，即DG的长为12.
故答案为：12.
【分析】设正方形的边长为x，由翻折的性质得：DG=DA=DC=x，用含x的代数式可将BE、BF、EF的长，在Rt△BEF中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AC，CE，CE与BD交于点P，连接AP，如图
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ 点A与点C关于BD对称，
∴PA=PC，
∴PA+PE=PC+PE=CE，即PA+PE的最小值为线段CE的长，
∴PA+PE的最小值=CE==.
故答案为：.
【分析】连接AC，CE，AP，CE与BD交于点P，由正方形性质得点A与点C关于BD对称，则PA=PC，故PA+PE=PC+PE=CE，即PA+PE的最小值为线段CE的长，进而根据勾股定理即可求得.
13．【答案】①②③
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
四边形MENF是平行四边形，
故只要MN经过点O，则存在无数个平行四边形MENF， ① 正确；
当MN=EF且MN经过点O时，平行四边形MENF是矩形，由于E，F是对角线BD上的动点，故存在无数个矩形MENF， ② 正确；当且MN经过点O时，平行四边形MENF是菱形，由于E，F是对角线BD上的动点，故存在无数个菱形MENF， ③ 正确；当MN=EF，且MN经过点O时，只有一条MN，故只有一个正方形MENF， ④ 错误.
故答案为：①②③.
【分析】利用平行四边形的性质得到，，再通过AAS判定得到OM=ON，进而证得四边形MENF是平行四边形，故只要MN经过点O，则存在无数个平行四边形MENF， ① 正确；当MN=EF且MN经过点O时，平行四边形MENF是矩形，由于E，F是对角线BD上的动点，故存在无数个矩形MENF， ② 正确；当且MN经过点O时，平行四边形MENF是菱形，由于E，F是对角线BD上的动点，故存在无数个菱形MENF， ③ 正确；当MN=EF，且MN经过点O时，只有一条MN，故只有一个正方形MENF， ④ 错误.
14．【答案】解：作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′H⊥AB于点H，E′F交AC于点P，连接PE，
∴∠AHE′=90°，
∵正方形ABCD，
∴AC是正方形的对称轴，
∴点E的对称点E′在CD上，PE=PE′，CE=CE′，∠D=∠DAH=90°，
∴PE+PF=PE′+PF=E′F，
∴DE′=BE，
根据垂线段最短，可知此时PE+PF的最小值是E′F的长；
∵∠D=∠DAH=∠AHE′=90°，
∴四边形AHE′D是矩形，
∴AH=DE′=BE=1，AD=HE′=4
∵点F为AB的中点，
∴AF=AB=2，
∴HF=AF-AH=2-1=1，
在Rt△E′HF中
，
∴PF+PE的最小值为.
故答案为：.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′H⊥AB于点H，E′F交AC于点P，连接PE，利用正方形的性质可证AC是正方形的对称轴，利用轴对称的性质可证PE=PE′，CE=CE′，由此可推出PE+PF的最小值是E′F的长；利用矩形的判定和性质可推出AH=DE′=BE=1，AD=HE′=4，同时可求出AF的长，足球初HF的长；在Rt△E′HF中，利用勾股定理求出E′F的长，即可得到PF+PE的最小值.
15．【答案】（1）证明：∵交于点E，交于点F．
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，
∵是的一条角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠ADF=∠FAD，
∴FA=FD，
∴四边形AEDF是菱形；
（2）解：当△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，此时∠C=55°，四边形AEDF是正方形，
理由：∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
由（1）可得四边形AEDF是菱形，
∴四边形AEDF是正方形，
∵∠B=35°，∠BAC=90°，
∴∠C=55°，
故答案为：55°.
【知识点】菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义及等量代换可得∠ADF=∠FAD，利用等角对等边的性质可得FA=FD，再结合四边形AEDF是平行四边形，可得四边形AEDF是菱形；
（2）根据△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，四边形AEDF是菱形，可得四边形AEDF是正方形，再结合∠B=35°，∠BAC=90°，求出∠C=55°即可.
16．【答案】（1）解：∵四边形是正方形
∴
∴
∵四边形是正方形
∴
∴
∴
在和中
∴
∴．
（2）解：由（1）知
∴
∵
∴
∴H，D，G三点共线
∵四边形是正方形
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴
（3）解：∵四边形是正方形，
∴
∵H恰中点
∴
∵
∴
设，则
由（2）知
在中，由勾股定理知
∴
解得，
∴
∴．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明可得；
（2）利用“SAS”证明可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（3）先证明可得，设，则，列出方程，求出x的值，即可得到，最后利用三角形的面积公式可得。
17．【答案】（1）证明：∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）证明：∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学八年级下册 2.7 正方形同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024九上·龙岗期末）下列选项中，不能被边长为的正方形及其内部所覆盖的图形是（ ）
A．长度为的线段 B．边长为的等边三角形
C．斜边为的直角三角形 D．面积为的菱形
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质；正方形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 正方形的边长为2， ∴ 正方形的对角线为 ，
∴ 长度为的线段能被边长为的正方形及其内部所覆盖 ，故A项不符合题意；
边长为2的等边三角形能被边长为的正方形及其内部所覆盖 ，故B项不符合题意；
斜边为2的直角三角形能被边长为的正方形及其内部所覆盖 ，故C项不符合题意；
面积为4的菱形对角线最长可为8，不能被边长为的正方形及其内部所覆盖 ，故D项符合题意.
故答案为：D.
【分析】先计算出正方形的对角线的长度，根据等边三角形的性质、直角三角形的性质和菱形的性质，即可判断求出.
2．有下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③矩形的对角线平分一组对角；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形.其中真命题是（ ）
A．②③④ B．②④ C．①② D．①
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；正方形的判定；轴对称图形；中心对称及中心对称图形；真命题与假命题
【解析】【解答】解： ①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 ，是真命题；
②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，是假命题，对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形；
③矩形的对角线平分一组对角，是假命题，正方形和菱形的每一条对角线才平分一组对角；
④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形，是假命题，正五边形是轴对称图形不是中心对称图形.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形、正方形的判定，矩形的性质及轴对称图形，逐项判断即可得解.
3．如图，正方形 ABCD的边长为 9，将正方形折叠，使顶点 D落在 BC 边上的点 E 处，折痕为GH.若 BE：EC=2：1，则线段 CH 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵BE：EC=2：1，BE+EC=9
∴EC=3；
∵正方形 ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点 D落在 BC 边上的点 E 处，
∴∠C=90°，DH=EH，
设CH=x，则DH=EH=9-x，
在Rt△ECH中
CH2+CE2=EH2即x2+9=（9-x）2
解之：x=4，
∴CH的长为4.
故答案为：B.
【分析】利用已知求出EC的长，利用正方形的性质和折叠的性质可得到∠C=90°，DH=EH，设CH=x，则DH=EH=9-x，在Rt△ECH中利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CH的长.
4．（2024九上·织金期末）已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于．则下列说法正确的是（ ）
A．当时，平行四边形ABCD为矩形
B．当时，平行四边形ABCD为正方形
C．当时，平行四边形ABCD为菱形
D．当时，平行四边形ABCD为菱形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】A、∵当时，不能判定平行四边形ABCD为矩形，∴A不符合题意；
B、∵当时，则平行四边形ABCD是菱形，但不能直接证出平行四边形ABCD是正方形，∴B不符合题意；
C、∵当时，则平行四边形ABCD是矩形，但不能直接证出平行四边形ABCD是菱形，∴C不符合题意；
D、∵当时，则平行四边形ABCD是菱形，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用菱形的判定方法、矩形的判定和正方形的判定方法逐项分析判断即可.
5．下列说法中，正确的是 （ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．有一组邻边相等的平行四边形是正方形
C．有一组邻边相等的矩形是正方形
D．四条边都相等的四边形是正方形
【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】A、 有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不正确.
B、 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项不正确.
C、 有一组邻边相等的矩形是正方形，故此选项正确.
D、 四条边都相等的四边形是菱形，故此选项不正确.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的判定即可解答.
6．下列说法不正确的是（ ）
A．有一个角是直角的菱形是正方形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．两条对角线相等的菱形是正方形
【答案】B
【知识点】菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的菱形是正方形，A正确；
B、四条边都相等的四边形是菱形，B不正确；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，C正确；
D、两条对角线相等的菱形是正方形，D正确.
故答案为：B.
【分析】有一个角是直角的菱形是正方形.
四条边都相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
两条对角线相等的菱形是正方形.
7．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE：EC=2∶1，则线段CH的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：正方形ABCD的边长为9，
，
BE：EC=2∶1，
，
设CH=x，则DH=9-x，
由折叠的性质可得EH=DH=9-x，
，解得，
.
故答案为：B.
【分析】设CH=x，则DH=9-x，利用线段比求得CE的长度，再通过勾股定理解得x的值，进而求得CH的长度.
8．如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，F是边AB 上一点，连结DF.若BE=AF，则∠CDF的度数为（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°
【答案】C
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，
，
AE平分∠BAC，
，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】由正方形的性质可得，进而通过SAS判定，再利用角平分线的定义求得，即可得到的度数.
二、填空题
9．如图，O为正方形ABCD的对角线AC的中点，△ACE为等边三角形.若AB=2，则OE的长为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴AC=，
∵O为正方形ABCD对角线AC的中点， △ACE为等边三角形 ，
∴∠AOE=90°，∠AEO=30°，
∴AC=AE=，AO=，
∴OE=.
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质可求得AC的值，然后根据等边三角形的性质和勾股定理可求解.
10．（2024八上·德惠期末）如图，沿正方形对角线对折，互相重合的两个小正方形里面的数字的积为 .
【答案】0或-9
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据题意沿正方形对角线对折，则得到0与6重合，-3与3重合，所以互相重合的两个小正方形里面的数字的积为0或-9.
故答案为：0或-9.
【分析】根据题意沿正方形对角线对折后有两种情况，分别是0与6重合，-3与3重合，那么将两组分别进行乘法计算即可得出答案。
11．如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合(点A，C都落在点G处).若GF=4，EG=6，则DG的长为 .
【答案】12
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设正方形的边长为x，
由翻折的性质得：DG=DA=DC=x，
∵GF=4，EG=6，
∴AE=EG=6，CF=GF=4，
∴BE=AB-AE=x-6，BF=BC-CF=x-4，EF=EG+GF=6+4=10，
如图，在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
∴(x-6）2+（x-4）2=102，
解得：x1=12，x2=-2（不符合题意），
∴DG=12，即DG的长为12.
故答案为：12.
【分析】设正方形的边长为x，由翻折的性质得：DG=DA=DC=x，用含x的代数式可将BE、BF、EF的长，在Rt△BEF中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解.
12．如图，正方形 ABCD的边长为 3，点 E 在边AB 上，且 BE=1.若点 P 在对角线BD 上移动，则PA+PE的最小值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AC，CE，CE与BD交于点P，连接AP，如图
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ 点A与点C关于BD对称，
∴PA=PC，
∴PA+PE=PC+PE=CE，即PA+PE的最小值为线段CE的长，
∴PA+PE的最小值=CE==.
故答案为：.
【分析】连接AC，CE，AP，CE与BD交于点P，由正方形性质得点A与点C关于BD对称，则PA=PC，故PA+PE=PC+PE=CE，即PA+PE的最小值为线段CE的长，进而根据勾股定理即可求得.
13．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2， ∠ABC=60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE= DF，M，N分别是边AD，BC上的动点.有下列四种说法：
①存在无数个平行四边形 MENF；
②存在无数个矩形MENF；
③存在无数个菱形MENF；
④存在无数个正方形MENF.其中正确的是 （填序号）.
【答案】①②③
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
四边形MENF是平行四边形，
故只要MN经过点O，则存在无数个平行四边形MENF， ① 正确；
当MN=EF且MN经过点O时，平行四边形MENF是矩形，由于E，F是对角线BD上的动点，故存在无数个矩形MENF， ② 正确；当且MN经过点O时，平行四边形MENF是菱形，由于E，F是对角线BD上的动点，故存在无数个菱形MENF， ③ 正确；当MN=EF，且MN经过点O时，只有一条MN，故只有一个正方形MENF， ④ 错误.
故答案为：①②③.
【分析】利用平行四边形的性质得到，，再通过AAS判定得到OM=ON，进而证得四边形MENF是平行四边形，故只要MN经过点O，则存在无数个平行四边形MENF， ① 正确；当MN=EF且MN经过点O时，平行四边形MENF是矩形，由于E，F是对角线BD上的动点，故存在无数个矩形MENF， ② 正确；当且MN经过点O时，平行四边形MENF是菱形，由于E，F是对角线BD上的动点，故存在无数个菱形MENF， ③ 正确；当MN=EF，且MN经过点O时，只有一条MN，故只有一个正方形MENF， ④ 错误.
三、解答题
14．如图，正方形 ABCD 的边长为4，E 为BC 边上的一点，BE=1，F为AB 的中点.若 P 为对角线AC 上的一个动点，求 PF+PE的最小值.
【答案】解：作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′H⊥AB于点H，E′F交AC于点P，连接PE，
∴∠AHE′=90°，
∵正方形ABCD，
∴AC是正方形的对称轴，
∴点E的对称点E′在CD上，PE=PE′，CE=CE′，∠D=∠DAH=90°，
∴PE+PF=PE′+PF=E′F，
∴DE′=BE，
根据垂线段最短，可知此时PE+PF的最小值是E′F的长；
∵∠D=∠DAH=∠AHE′=90°，
∴四边形AHE′D是矩形，
∴AH=DE′=BE=1，AD=HE′=4
∵点F为AB的中点，
∴AF=AB=2，
∴HF=AF-AH=2-1=1，
在Rt△E′HF中
，
∴PF+PE的最小值为.
故答案为：.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′H⊥AB于点H，E′F交AC于点P，连接PE，利用正方形的性质可证AC是正方形的对称轴，利用轴对称的性质可证PE=PE′，CE=CE′，由此可推出PE+PF的最小值是E′F的长；利用矩形的判定和性质可推出AH=DE′=BE=1，AD=HE′=4，同时可求出AF的长，足球初HF的长；在Rt△E′HF中，利用勾股定理求出E′F的长，即可得到PF+PE的最小值.
15．（2023八下·兴仁月考）如图，是的一条角平分线，交于点E，交于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，当 ▲ 度时，四边形为正方形并证明．
【答案】（1）证明：∵交于点E，交于点F．
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，
∵是的一条角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠ADF=∠FAD，
∴FA=FD，
∴四边形AEDF是菱形；
（2）解：当△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，此时∠C=55°，四边形AEDF是正方形，
理由：∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
由（1）可得四边形AEDF是菱形，
∴四边形AEDF是正方形，
∵∠B=35°，∠BAC=90°，
∴∠C=55°，
故答案为：55°.
【知识点】菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义及等量代换可得∠ADF=∠FAD，利用等角对等边的性质可得FA=FD，再结合四边形AEDF是平行四边形，可得四边形AEDF是菱形；
（2）根据△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，四边形AEDF是菱形，可得四边形AEDF是正方形，再结合∠B=35°，∠BAC=90°，求出∠C=55°即可.
四、综合题
16．（2022·沂南模拟）如图①，四边形是正方形，点E是上一点，连接，以为一边作正方形，连接．
（1）求证：；
（2）如图②，连接交于点H，连接，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，点H恰为中点，求的面积．
【答案】（1）解：∵四边形是正方形
∴
∴
∵四边形是正方形
∴
∴
∴
在和中
∴
∴．
（2）解：由（1）知
∴
∵
∴
∴H，D，G三点共线
∵四边形是正方形
∴
在和中，
∴
∴
∵
∴
（3）解：∵四边形是正方形，
∴
∵H恰中点
∴
∵
∴
设，则
由（2）知
在中，由勾股定理知
∴
解得，
∴
∴．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明可得；
（2）利用“SAS”证明可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（3）先证明可得，设，则，列出方程，求出x的值，即可得到，最后利用三角形的面积公式可得。
17．（2013·南京）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
【答案】（1）证明：∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）证明：∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
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