2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.1 二次函数同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·瑞安月考）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021九上·瑶海月考）下列关于 的函数一定为二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七上·李沧期中）如图，用总长度为12米的木料，做成一个窗框．如果窗框横档的长度为x米，那么窗框的面积是（ ）
A．平方米 B．平方米
C．平方米 D．平方米
4．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y=x2+ B．y=x(x-1) C．y=-2x-1 D．y=x(x2+1)．
5．（2022九上·中山期中）已知函数是二次函数，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．任意实数
6．（2022·诸暨模拟）如图，周长为定值的平行四边形 中， ，设 的长为 的长为y，平行四边形 的面积为S．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与 与x满足的函数关系分别是（ ）
A．反比例函数关系，一次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
7．（2021九上·安庆月考）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x） B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）
C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x
8．（2021九上·齐河月考）如果函数 是关于 的二次函数，那么 的值是（ ）
A．1或2 B．0或3 C．3 D．0
二、填空题
9．（2019九上·融安期中）若 是二次函数，则m= 。
10．正方形边长为2，若边长增加x，那么面积增加y，则y与x的函数关系式是 ．
11．（2023九上·呼兰月考）若函数是二次函数，那么的值为 .
12．（2019九上·长春月考）若 是二次函数，则m= .
13．（2019九上·邗江月考）一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x的函数关系式为 ．
三、解答题
14．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，两直角边AB，BC的和为8，设BC=x．
（1）求Rt△ABC的面积S关于x的函数表达式及x的取值范围．
（2）分别求当x=1，4，6时，S的值．
15．（2023九上·九台期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，点D为边AB上的点，且BD=1．动点P从点A出发（点P不与点A、C重合），沿AC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以相同的速度沿折线CB-BD向终点D运动，以DP、DQ为邻边构造PEQD，设点P运动的时间为t（0（1）当点Q与点B重合时，t的值为
（2）当点E落在AC边上时，求t的值；
（3）设PEQD的面积为S（S>0），求S与t之间的函数关系式；
（4）连结PQ，直接写出PQ与△ABC的边平行时t的值．
四、综合题
16．（2020九上·淮南月考）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的价格是30元/件，根据市场调查：在一段时间内，当销售价格是40元/件时，销售量是600件．当销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
销售价格(元/件) x
销售量y(件)
销售玩具获得的利润w(元)
（1）不妨设该种品牌玩具的销售价格为x元/件(x＞40)，请你分别用含x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得的利润w元，并把化简后的结果填写在表格中：
（2）在第(1)问的条件下，若商场获得了10000元的销售利润，求该玩具的销售价格应定为多少元/件．
17．（2020九上·南京月考）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题.用点 分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：
（1）填写上图中第四个图中y的值为 ，第五个图中y的值为 .
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为 ，当 时，对应的 .
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：降价x元，则售价为（60-x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，y=（60-x）（300+20x），
故答案为：B.【分析】根据降价x元，则售价为（60-x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可求解.
2．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、 是一次函数，故本选项不符合题意；
B、 一定是二次函数，故本选项符合题意；
C、 ，当a＝0时，是一次函数，故本选项不符合题意；
D、 是三次函数，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的定义判断得到答案即可。
3．【答案】B
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设横档的长度为x，则竖档的长度为，
∴窗框的面积=x×=x（6-x）；
故答案为：B.
【分析】根据窗框的长度和横档的长度表示出竖档的长度，根据矩形的面积公式列式，化简得到面积的表达式。
4．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、函数y=x2+不是二次函数，故A不符合题意；
B、函数 y=x(x-1) =x2-x，是二次函数，故B符合题意；
C、y=-2x-1是一次函数，故C不符合题意；
D、y=x(x2+1)是三次函数，不是二次函数，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】利用二次函数的定义对各选项进行判断即可.
5．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意知，，解得：；
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出，再求解即可。
6．【答案】D
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；锐角三角函数的定义；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，设平行四边形ABCD的周长为a，
∴x+y=a，
∴y=-x+a，
∵∠B=65°，
∴AE=sin65°·x，
∴S=sin65°·x（-x+a）=-sin65°·x2+asin65°·x，
∴y与x满足的函数关系为一次函数，S与x满足的函数关系为二次函数.
故答案为：D.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，设平行四边形ABCD的周长为a，根据平行四边形的周长公式得出x+y=a，从而得出y=-x+a，再利用锐角三角函数的定义得出AE=sin65°·x，然后根据矩形的面积公式得出S=-sin65°·x2+asin65°·x，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】∵每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）．
故答案为：A．
【分析】由于每件涨价x元，可得每星期销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，根据每星期的利润=销售每件的利润×每星期的销售量，即可求解.
8．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】∵函数 是关于 的二次函数，
∴
解得：
∵k 3≠0，
∴k≠3，
∴k=0.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的定义可以得到且k 3≠0，求出k的值即可。
9．【答案】m=1
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵ 是二次函数，
∴m2+1=2且m+1≠0
解之：m=±1，m≠-1
∴m=1.
故答案为：m=1.
【分析】利用一元二次方程的定义中的含未知数项的最高次数是2次且二次项的系数不等于0，建立关于m的方程和不等式，求解即可。
10．【答案】y=x2+4x
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：新正方形的边长为x+2，原正方形的边长为2．
∴新正方形的面积为（x+2）2，原正方形的面积为4，
∴y=（x+2）2﹣4=x2+4x，
故答案为y=x2+4x．
【分析】增加的面积=新正方形的面积﹣原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．
11．【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得，
∴|m-1|=2，且m-3≠0，
∴m-1=±2，且m≠3，
m=3或-1，且m≠3，
∴m=-1．
故答案为：-1．
【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c ，且a≠0，得出|m-1|=2，且m-3≠0，解出即可得出答案．
12．【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】根据题意得 ＝2
解得m＝±1
又 ．
∴m＝-1
故答案为-1．
【分析】根据二次函数的定义得到 ＝2且 ，然后解方程即可．
13．【答案】y＝50（1 x）2
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：两年后的价格为：50×（1 x）×（1 x）＝50（1 x）2，
故y与x的函数关系式是：y＝50（1 x）2．
故答案为：y＝50（1 x）2．
【分析】原价为50万元，一年后的价格为50×（1 x），两年后的价格为：50×（1 x）×（1 x）＝50（1 x）2，故可得函数关系式．
14．【答案】（1）解：由题意得：BC=x，则AB=8-x，且0＜x＜8，
则Rt△ABC的面积S==x（8-x）=-x2+4x（0＜x＜8），
所以Rt△ABC的面积S关于x的函数表达式为：S=-x2+4x（0＜x＜8）；
（2）解：将x=1代入S=-x2+4x中得：
S=-+4=；
将x=4代入S=-x2+4x中得：
S=-×16+4×4=8；
将x=6代入S=-x2+4x中得：
S=-×36+4×6=6.
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】（1）利用已知条件可表示出AB的长，再利用直角三角形的面积公式，可得到s与x的函数解析式，同时可得到x的取值范围.
（2）分别将x=1，4，6代入函数解析式，可得到对应的s的值.
15．【答案】（1）3
（2）解：∵四边形PEQD是平行四边形，∴DQ∥PE
当点E落在AC边上时，则DQ∥AC
∴△DQB∽△ACB
∴
∵BQ=3-t， BD=1
∴．解得t=
（3）解：当0S=2[×3×4 -×4×t-× (3-t)-t(4-t)]=t2-t+
当3综上所述，S=
（4）解：t=或t=
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；勾股定理；平行四边形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠C=90°，AC=4，AB=5，
∴BC=3
∵PA=QC=t
∴当点Q与点B重合时，BC=QC，则t的值为3，
故答案为：3．
（4）解：①PQ∥AB时，，即，
解得：
②PQ∥BC时，
∵AQ=8-t
∴
解得：
综上所述， t=或t=
【分析】（1）先由勾股定理求得BC=3，因为PA=QC=t，所以当点Q与点B重合时t=3；
（2）当点E落在AC边上时，则DQ∥AC，所以△DQB∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例可列方程，解方程求出t的值即可；
（3）①当点Q在BC上，作PF⊥AB于点F，DG⊥BC于点G，可求得PF，即可由S=2S△DPQ求出S与t之间的函数关系式；②当点Q在BD上，可直接由平行四边形的面积公式求出S与t之间的函数关系式；
（4）分两种情况，①PQ∥AB，可根据平行线分线段成比例定理列方程；②PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理列方程，解方程求出相应的t值即可．
16．【答案】（1）由题意得：销售量为：y＝600－10（x－40）＝1000－10x，
销售玩具获得利润为：w＝（x－30）[600－10（x－40）]＝－10x2＋1300x－30000．
故表中依次填：1000－10x，－10x2＋1300x－30000．
（2）列方程得：﹣10x2+1300x﹣30000=10000，
解得：x1=50，x2=80．
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，销售量=600－因涨价少售的玩具，销售玩具获得利润=每件利润×件数；（2）根据获得利润为10000元，列方程求解；
17．【答案】（1）10；15
（2）；1128
（3）解：依题意，得： ，
化简，得： ，
解得： （不合题意，舍去）.
答：该班共有20名女生.
【知识点】一元二次方程的其他应用；根据实际问题列二次函数关系式；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15.
故答案为：10，15；
（2）∵ ，
∴ ，
当 时， .
故答案为： ，1128；
【分析】（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值；
（2）根据y值随x值的变化，可找出 ，再代入 可求出当 时对应的y值；
（3）根据（2）的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.1 二次函数同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·瑞安月考）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：降价x元，则售价为（60-x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，y=（60-x）（300+20x），
故答案为：B.【分析】根据降价x元，则售价为（60-x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可求解.
2．（2021九上·瑶海月考）下列关于 的函数一定为二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、 是一次函数，故本选项不符合题意；
B、 一定是二次函数，故本选项符合题意；
C、 ，当a＝0时，是一次函数，故本选项不符合题意；
D、 是三次函数，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的定义判断得到答案即可。
3．（2023七上·李沧期中）如图，用总长度为12米的木料，做成一个窗框．如果窗框横档的长度为x米，那么窗框的面积是（ ）
A．平方米 B．平方米
C．平方米 D．平方米
【答案】B
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设横档的长度为x，则竖档的长度为，
∴窗框的面积=x×=x（6-x）；
故答案为：B.
【分析】根据窗框的长度和横档的长度表示出竖档的长度，根据矩形的面积公式列式，化简得到面积的表达式。
4．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y=x2+ B．y=x(x-1) C．y=-2x-1 D．y=x(x2+1)．
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、函数y=x2+不是二次函数，故A不符合题意；
B、函数 y=x(x-1) =x2-x，是二次函数，故B符合题意；
C、y=-2x-1是一次函数，故C不符合题意；
D、y=x(x2+1)是三次函数，不是二次函数，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】利用二次函数的定义对各选项进行判断即可.
5．（2022九上·中山期中）已知函数是二次函数，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．任意实数
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意知，，解得：；
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出，再求解即可。
6．（2022·诸暨模拟）如图，周长为定值的平行四边形 中， ，设 的长为 的长为y，平行四边形 的面积为S．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与 与x满足的函数关系分别是（ ）
A．反比例函数关系，一次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；锐角三角函数的定义；列一次函数关系式
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，设平行四边形ABCD的周长为a，
∴x+y=a，
∴y=-x+a，
∵∠B=65°，
∴AE=sin65°·x，
∴S=sin65°·x（-x+a）=-sin65°·x2+asin65°·x，
∴y与x满足的函数关系为一次函数，S与x满足的函数关系为二次函数.
故答案为：D.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，设平行四边形ABCD的周长为a，根据平行四边形的周长公式得出x+y=a，从而得出y=-x+a，再利用锐角三角函数的定义得出AE=sin65°·x，然后根据矩形的面积公式得出S=-sin65°·x2+asin65°·x，即可得出答案.
7．（2021九上·安庆月考）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x） B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）
C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】∵每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）．
故答案为：A．
【分析】由于每件涨价x元，可得每星期销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，根据每星期的利润=销售每件的利润×每星期的销售量，即可求解.
8．（2021九上·齐河月考）如果函数 是关于 的二次函数，那么 的值是（ ）
A．1或2 B．0或3 C．3 D．0
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】∵函数 是关于 的二次函数，
∴
解得：
∵k 3≠0，
∴k≠3，
∴k=0.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的定义可以得到且k 3≠0，求出k的值即可。
二、填空题
9．（2019九上·融安期中）若 是二次函数，则m= 。
【答案】m=1
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵ 是二次函数，
∴m2+1=2且m+1≠0
解之：m=±1，m≠-1
∴m=1.
故答案为：m=1.
【分析】利用一元二次方程的定义中的含未知数项的最高次数是2次且二次项的系数不等于0，建立关于m的方程和不等式，求解即可。
10．正方形边长为2，若边长增加x，那么面积增加y，则y与x的函数关系式是 ．
【答案】y=x2+4x
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：新正方形的边长为x+2，原正方形的边长为2．
∴新正方形的面积为（x+2）2，原正方形的面积为4，
∴y=（x+2）2﹣4=x2+4x，
故答案为y=x2+4x．
【分析】增加的面积=新正方形的面积﹣原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．
11．（2023九上·呼兰月考）若函数是二次函数，那么的值为 .
【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得，
∴|m-1|=2，且m-3≠0，
∴m-1=±2，且m≠3，
m=3或-1，且m≠3，
∴m=-1．
故答案为：-1．
【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c ，且a≠0，得出|m-1|=2，且m-3≠0，解出即可得出答案．
12．（2019九上·长春月考）若 是二次函数，则m= .
【答案】
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】根据题意得 ＝2
解得m＝±1
又 ．
∴m＝-1
故答案为-1．
【分析】根据二次函数的定义得到 ＝2且 ，然后解方程即可．
13．（2019九上·邗江月考）一台机器原价50万元，如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x的函数关系式为 ．
【答案】y＝50（1 x）2
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：两年后的价格为：50×（1 x）×（1 x）＝50（1 x）2，
故y与x的函数关系式是：y＝50（1 x）2．
故答案为：y＝50（1 x）2．
【分析】原价为50万元，一年后的价格为50×（1 x），两年后的价格为：50×（1 x）×（1 x）＝50（1 x）2，故可得函数关系式．
三、解答题
14．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，两直角边AB，BC的和为8，设BC=x．
（1）求Rt△ABC的面积S关于x的函数表达式及x的取值范围．
（2）分别求当x=1，4，6时，S的值．
【答案】（1）解：由题意得：BC=x，则AB=8-x，且0＜x＜8，
则Rt△ABC的面积S==x（8-x）=-x2+4x（0＜x＜8），
所以Rt△ABC的面积S关于x的函数表达式为：S=-x2+4x（0＜x＜8）；
（2）解：将x=1代入S=-x2+4x中得：
S=-+4=；
将x=4代入S=-x2+4x中得：
S=-×16+4×4=8；
将x=6代入S=-x2+4x中得：
S=-×36+4×6=6.
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】（1）利用已知条件可表示出AB的长，再利用直角三角形的面积公式，可得到s与x的函数解析式，同时可得到x的取值范围.
（2）分别将x=1，4，6代入函数解析式，可得到对应的s的值.
15．（2023九上·九台期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，点D为边AB上的点，且BD=1．动点P从点A出发（点P不与点A、C重合），沿AC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以相同的速度沿折线CB-BD向终点D运动，以DP、DQ为邻边构造PEQD，设点P运动的时间为t（0（1）当点Q与点B重合时，t的值为
（2）当点E落在AC边上时，求t的值；
（3）设PEQD的面积为S（S>0），求S与t之间的函数关系式；
（4）连结PQ，直接写出PQ与△ABC的边平行时t的值．
【答案】（1）3
（2）解：∵四边形PEQD是平行四边形，∴DQ∥PE
当点E落在AC边上时，则DQ∥AC
∴△DQB∽△ACB
∴
∵BQ=3-t， BD=1
∴．解得t=
（3）解：当0S=2[×3×4 -×4×t-× (3-t)-t(4-t)]=t2-t+
当3综上所述，S=
（4）解：t=或t=
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；勾股定理；平行四边形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠C=90°，AC=4，AB=5，
∴BC=3
∵PA=QC=t
∴当点Q与点B重合时，BC=QC，则t的值为3，
故答案为：3．
（4）解：①PQ∥AB时，，即，
解得：
②PQ∥BC时，
∵AQ=8-t
∴
解得：
综上所述， t=或t=
【分析】（1）先由勾股定理求得BC=3，因为PA=QC=t，所以当点Q与点B重合时t=3；
（2）当点E落在AC边上时，则DQ∥AC，所以△DQB∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例可列方程，解方程求出t的值即可；
（3）①当点Q在BC上，作PF⊥AB于点F，DG⊥BC于点G，可求得PF，即可由S=2S△DPQ求出S与t之间的函数关系式；②当点Q在BD上，可直接由平行四边形的面积公式求出S与t之间的函数关系式；
（4）分两种情况，①PQ∥AB，可根据平行线分线段成比例定理列方程；②PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理列方程，解方程求出相应的t值即可．
四、综合题
16．（2020九上·淮南月考）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的价格是30元/件，根据市场调查：在一段时间内，当销售价格是40元/件时，销售量是600件．当销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
销售价格(元/件) x
销售量y(件)
销售玩具获得的利润w(元)
（1）不妨设该种品牌玩具的销售价格为x元/件(x＞40)，请你分别用含x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得的利润w元，并把化简后的结果填写在表格中：
（2）在第(1)问的条件下，若商场获得了10000元的销售利润，求该玩具的销售价格应定为多少元/件．
【答案】（1）由题意得：销售量为：y＝600－10（x－40）＝1000－10x，
销售玩具获得利润为：w＝（x－30）[600－10（x－40）]＝－10x2＋1300x－30000．
故表中依次填：1000－10x，－10x2＋1300x－30000．
（2）列方程得：﹣10x2+1300x﹣30000=10000，
解得：x1=50，x2=80．
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，销售量=600－因涨价少售的玩具，销售玩具获得利润=每件利润×件数；（2）根据获得利润为10000元，列方程求解；
17．（2020九上·南京月考）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题.用点 分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：
（1）填写上图中第四个图中y的值为 ，第五个图中y的值为 .
（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为 ，当 时，对应的 .
（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？
【答案】（1）10；15
（2）；1128
（3）解：依题意，得： ，
化简，得： ，
解得： （不合题意，舍去）.
答：该班共有20名女生.
【知识点】一元二次方程的其他应用；根据实际问题列二次函数关系式；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15.
故答案为：10，15；
（2）∵ ，
∴ ，
当 时， .
故答案为： ，1128；
【分析】（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值；
（2）根据y值随x值的变化，可找出 ，再代入 可求出当 时对应的y值；
（3）根据（2）的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.
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