2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.4 二次函数与一元二次方程的联系同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九下·云岩月考） 二次函数的图象与x轴交于，则关于x的方程的解为（ ）
A．1，3 B．1， C．，3 D．1，
2．（2024九上·福州期末）抛物线的图象和轴有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
3．若抛物线的函数表达式为y=(x-2) -9，有下列结论：
①当x=2时，y取得最小值-9；
②若点(3，y )，(4，y )在其图象上，则y >y ；
③将其函数图象向左平移3个单位，再向上平移4个单位所得抛物线的函数表达式为④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6.其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
4．（2022·威宁模拟）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，现有下列结论：：；；当时，随的增大而减小；；其中正确的结论有
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（2023九上·衡阳月考）如图，抛物线的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2024九上·望奎期末）如图；二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴正半轴交于点C，下列判断：；；；；若，是拋物线上的两个点，则，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·江干模拟）已知 ，且 ，其中 ， ，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·惠城期末）若y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
二、填空题
9．（2023九上·凉州月考） 已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
10．（2024九上·渌口期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标是 ．
11．（2024九上·肇东期末）已知抛物线的部分图象如图所示，则不等式的解集为 ．
12．扰物线的部分图象如图所示，其与轴的一个交点的坐标为，对称轴为直线，则当时，的取值范围是 .
13．（2023九上·腾冲月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①b＞0；②a﹣b+c＝0；③当x＜﹣1或x＞3时，y＞0；④一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根．
上述结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）
三、解答题
14．（2024九上·房山期末）在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上，设抛物线的对称轴为.
（1）当时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点，在抛物线上，若，求t的取值范围及的取值范围.
15．（2024九上·防城期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴分别交于C.
（1）求点C的坐标；
（2）求函数图象的对称轴；
四、综合题
16．（2023九上·江北期末）
（1）计算：.
（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标.
17．（2023·宁波）如图，已知二次函数图象经过点和．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】 二次函数的图象与x轴交于，
方程的解为x=1或x=-3，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数图象与x轴交点的横坐标就是与之相应的一元二次方程的两个根，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线的图象和轴有两个交点，
∴且
∴且，
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根的判别式计算即可.
3．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=(x-2)2-9，
∴抛物线对称轴为直线x=2，抛物线开口向上，顶点坐标为（2，-9），
∴x=2时，y取最小值-9，故①正确；
∵x＞2时，y随x增大而增大，
又4＞3，
∴y2＞y1，故②正确；
将其函数图象向左平移3个单位，再向上平移4个单位所得抛物线的函数表达式为y=(x-2+3)2-9+4=(x+1)2-5，故③错误；
令y=(x-2)2-9中的y=0，
得(x-2)2-9=0，
解得x1=-1，x2=5，
∴5-（-1）=6，故④正确，
综上正确的有①②④三个.
故答案为：B.
【分析】此题给出了抛物线的顶点式，由顶点式可得抛物线对称轴为直线x=2，抛物线开口向上，顶点坐标为（2，-9），x＞2时，y随x增大而增大，据此可判断①②；再根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可判断③；令抛物线解析式中y=0，算出对应的自变量的值，可判断④.
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由抛物线开口方向向下知，．
由抛物线对称轴位于轴右侧知，、异号，即，
抛物线与轴交于正半轴，则．
则．故错误；
由抛物线与轴有两个不同的交点知，．故错误；
由对称轴知，则，即．故正确；
如图所示，当时，随的增大而减小，故错误；
如图所示，根据抛物线的对称性知，抛物线与轴的另一交点坐标是．
所以当时，，即，故正确；
如图所示，当时，，
而点在第一象限，
，
．故错误．
综上所述，其中正确的结论有个．
故答案为：B
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系判断a，b，c的正负，进而即可判断①；再结合二次函数与坐标轴的交点问题即可判断②；进而根据二次函数的对称轴结合二次函数的性质即可判断③和④；进而根据二次函数的对称性即可得到抛物线与轴的另一交点坐标是，从而将x=-1代入二次函数解析式即可判断⑤；再根据题意代入x=2，即可得到，进而即可判断⑥。
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线与x轴有两个交点，
① 错误，不符合题意；
由抛物线开口向上，可得a>0，
对称轴在y轴的左侧，
b>0，
抛物线与y轴交于正半轴，
c>0，
，
② 正确，符合题意；
x=-1时，y<0，
对称轴为
a-2a+c<0，
a>c，
③ 正确，符合题意；
对称轴为
x=-2和x=0时函数值相等，
x=-2时，y>0，
④ 正确，符合题意；
符合题意的有②③④，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点，可判断①错误，不符合题意；根据函数图象得到a、b、c的正负形，可判断② 正确，符合题意；根据x=-1得到y<0，可判断③ 正确，符合题意；根据对称轴和x=0时y的取值范围可判断④ 正确，符合题意；从而求解.
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由抛物线的开口向下可得：a＜0，
∵抛物线与y轴的交点C在y轴的正半轴，∴c＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，∴，则a、b异号，∴b＞0，于是abc＜0，故结论正确；
②∵二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，∴b2-4ac＞0，∴4ac-b2＜0，故结论不正确；
③由①可得：a＜0，c＞0，∴c-a＞0，故结论不正确；
④∵二次函数的图象与x轴的两个交点为A（，0）、B（，0），∴对称轴为：x=，整理可得：2a+b=0，故结论正确；
⑤观察图象可知：y1＞0，y2＜0，∴y1＞y2，故结论正确.
∴其中正确的是：①④⑤.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可求解.
7．【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由 可得：
，
∵m≤3，n≥-3，
∴ ，
即-2≤x≤2，
∵y=2x2-4x+1，
对称轴为直线x= =1且a=2＞0，开口向上，
∴当x=1时，y有最小值，最小值为y=2×12-4×1+1=-1，
当x=-2时，y有最大值，最大值为y=2×（-2）2-4×（-2）+1=17，
∴-1≤y≤17，
故答案为：A.
【分析】先求出两个方程的解，利用m，n的取值范围可得到x的取值范围；再利用二次函数的增减性可求出y的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据图像可知，图像的对称轴是x=1， 与X轴的一个交点是（3，0），
所以另一个交点为（-1，0），
所以 关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为 x=-1.
故答案为：B
【分析】抛物线与X轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，可以根据已知的一个交点和对称轴求出另一个交点，从而得到方程的解。
9．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】抛物线与轴有两个交点，
解得 ，
故答案为： .
【分析】根据抛物线与轴有两个交点，利用即可求解.
10．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】由二次函数可得对称轴为直线x=-2，
函数图象与轴的一个交点为，
解得x=-3，
它与轴的另一个交点的坐标是 （-3，0），
故答案为：（-3，0）.
【分析】根据二次函数表达式求得对称轴为直线x=-2，结合图象与轴的一个交点为，从而求解.
11．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图像可知，图像的对称轴为x=1，图像与x轴的一个交点为x=-1，所以图像与x轴的另一个交点为(3，0)，
不等式的解集为 -1故答案为： -1【分析】先根据对称轴和图像与x轴的一个交点的坐标求出图像与x轴的另一个交点的坐标，再结合图像求出不等式的解集。
12．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 函数的图象与x轴的一个交点为（-3，0），且对称轴为直线x=-1
∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为（1，0）
由图象可知，当y<0时，-3故答案为：.
【分析】根据二次函数的对称轴及二次函数与x轴交点的关系，可知二次函数与x轴的另一个交点的坐标；进而找出x轴下方图象上自变量的取值范围即可.
13．【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：图像开口向上，，
对称轴x=1，，
，，故①错误；
由图像可知对称轴x=1，与x轴的一个交点为（3，0），另一个交点为（-1，0），
当x=-1时，可知，故②正确；
由图像可知，当x＜﹣1或x ＞3时，y＞0 ，故③正确；
一元二次方程ax2 +bx+c+1＝0（a≠0）可以看成二次函数y ＝ax 2 +bx +c （a≠0）与y=-1的交点，结合图像可知y ＝ax2 +bx +c（a≠0）与y=-1有两个不同的交点，一元二次方程ax2 +bx +c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，故④正确.
故答案为：②③④.
【分析】根据开口方向可判断，再根据对称轴x=1即可判定b的符号，即可判定①；根据二次函数的图象于对称轴对称，结合图像可知另一个与x轴的交点为（-1，0），代入函数关系式即可判定②；观察图像即可判定③；方程ax 2 +bx+c+1＝0（a≠0）可以看成二次函数y ＝ax 2 +bx +c （a≠0）与y=-1的交点，结合图像可判断④.
14．【答案】（1）解：当时，.
∴抛物线与轴交点的坐标为.
∵点，在抛物线上，且，
∴，解得.
（2）解：由，，
∵，∴.∴.
∵，∴，即.
∵，∴.∴.
∴，即.
综上所述，.
∵点在抛物线上，
∴，关于抛物线的对称轴对称，且.
∴，解得.
∴.∴.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先求出抛物线与y轴交点坐标，再将点，代入抛物线解析式，列出方程，解方程即可求出答案；
（2）将点，代入抛物线解析式可得，，再根据m，n之间的关系可求出，再根据对称轴性质可求出，再根据，关于抛物线的对称轴对称，且.，列出方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】（1）解：令得，所以点C的坐标为；
（2）解：二次函数的图象与x轴交于点，，
函数图象的对称轴为即.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1） 由，求出x=0时y值，即得点C坐标；
（2）由抛物线与与x轴交于点，，根据抛物线的对称性求出对称轴即可.
16．【答案】（1）解：原式
（2）解：当时，，
∴，，
∴与x轴的交点为和.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值可得原式=，然后计算乘法，再计算加减法即可；
（2）令y=0，求出x的值，进而可得二次函数图象与x轴的交点坐标.
17．【答案】（1）解：∵二次函数图象经过点和．
∴，解得：，
∴抛物线为，
∴顶点坐标为：；
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：解：当y=-2时，（x+1）2-6=-2
解之：x1=1，x2=-3，
∵a=1，＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当y≤-2时，．
【分析】（1）分别将点A，B的坐标代入函数解析式，可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标.
（2）先求出当y=-2时x的值，再利用函数解析式，可知抛物线的开口向上，据此可求出当y≤-2时x的取值范围.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.4 二次函数与一元二次方程的联系同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九下·云岩月考） 二次函数的图象与x轴交于，则关于x的方程的解为（ ）
A．1，3 B．1， C．，3 D．1，
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】 二次函数的图象与x轴交于，
方程的解为x=1或x=-3，
故答案为：D.
【分析】根据二次函数图象与x轴交点的横坐标就是与之相应的一元二次方程的两个根，即可求解.
2．（2024九上·福州期末）抛物线的图象和轴有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线的图象和轴有两个交点，
∴且
∴且，
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根的判别式计算即可.
3．若抛物线的函数表达式为y=(x-2) -9，有下列结论：
①当x=2时，y取得最小值-9；
②若点(3，y )，(4，y )在其图象上，则y >y ；
③将其函数图象向左平移3个单位，再向上平移4个单位所得抛物线的函数表达式为④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6.其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=(x-2)2-9，
∴抛物线对称轴为直线x=2，抛物线开口向上，顶点坐标为（2，-9），
∴x=2时，y取最小值-9，故①正确；
∵x＞2时，y随x增大而增大，
又4＞3，
∴y2＞y1，故②正确；
将其函数图象向左平移3个单位，再向上平移4个单位所得抛物线的函数表达式为y=(x-2+3)2-9+4=(x+1)2-5，故③错误；
令y=(x-2)2-9中的y=0，
得(x-2)2-9=0，
解得x1=-1，x2=5，
∴5-（-1）=6，故④正确，
综上正确的有①②④三个.
故答案为：B.
【分析】此题给出了抛物线的顶点式，由顶点式可得抛物线对称轴为直线x=2，抛物线开口向上，顶点坐标为（2，-9），x＞2时，y随x增大而增大，据此可判断①②；再根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可判断③；令抛物线解析式中y=0，算出对应的自变量的值，可判断④.
4．（2022·威宁模拟）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，现有下列结论：：；；当时，随的增大而减小；；其中正确的结论有
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由抛物线开口方向向下知，．
由抛物线对称轴位于轴右侧知，、异号，即，
抛物线与轴交于正半轴，则．
则．故错误；
由抛物线与轴有两个不同的交点知，．故错误；
由对称轴知，则，即．故正确；
如图所示，当时，随的增大而减小，故错误；
如图所示，根据抛物线的对称性知，抛物线与轴的另一交点坐标是．
所以当时，，即，故正确；
如图所示，当时，，
而点在第一象限，
，
．故错误．
综上所述，其中正确的结论有个．
故答案为：B
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系判断a，b，c的正负，进而即可判断①；再结合二次函数与坐标轴的交点问题即可判断②；进而根据二次函数的对称轴结合二次函数的性质即可判断③和④；进而根据二次函数的对称性即可得到抛物线与轴的另一交点坐标是，从而将x=-1代入二次函数解析式即可判断⑤；再根据题意代入x=2，即可得到，进而即可判断⑥。
5．（2023九上·衡阳月考）如图，抛物线的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线与x轴有两个交点，
① 错误，不符合题意；
由抛物线开口向上，可得a>0，
对称轴在y轴的左侧，
b>0，
抛物线与y轴交于正半轴，
c>0，
，
② 正确，符合题意；
x=-1时，y<0，
对称轴为
a-2a+c<0，
a>c，
③ 正确，符合题意；
对称轴为
x=-2和x=0时函数值相等，
x=-2时，y>0，
④ 正确，符合题意；
符合题意的有②③④，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线与x轴有两个交点，可判断①错误，不符合题意；根据函数图象得到a、b、c的正负形，可判断② 正确，符合题意；根据x=-1得到y<0，可判断③ 正确，符合题意；根据对称轴和x=0时y的取值范围可判断④ 正确，符合题意；从而求解.
6．（2024九上·望奎期末）如图；二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴正半轴交于点C，下列判断：；；；；若，是拋物线上的两个点，则，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由抛物线的开口向下可得：a＜0，
∵抛物线与y轴的交点C在y轴的正半轴，∴c＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，∴，则a、b异号，∴b＞0，于是abc＜0，故结论正确；
②∵二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，∴b2-4ac＞0，∴4ac-b2＜0，故结论不正确；
③由①可得：a＜0，c＞0，∴c-a＞0，故结论不正确；
④∵二次函数的图象与x轴的两个交点为A（，0）、B（，0），∴对称轴为：x=，整理可得：2a+b=0，故结论正确；
⑤观察图象可知：y1＞0，y2＜0，∴y1＞y2，故结论正确.
∴其中正确的是：①④⑤.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可求解.
7．（2021·江干模拟）已知 ，且 ，其中 ， ，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由 可得：
，
∵m≤3，n≥-3，
∴ ，
即-2≤x≤2，
∵y=2x2-4x+1，
对称轴为直线x= =1且a=2＞0，开口向上，
∴当x=1时，y有最小值，最小值为y=2×12-4×1+1=-1，
当x=-2时，y有最大值，最大值为y=2×（-2）2-4×（-2）+1=17，
∴-1≤y≤17，
故答案为：A.
【分析】先求出两个方程的解，利用m，n的取值范围可得到x的取值范围；再利用二次函数的增减性可求出y的取值范围.
8．（2024九上·惠城期末）若y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据图像可知，图像的对称轴是x=1， 与X轴的一个交点是（3，0），
所以另一个交点为（-1，0），
所以 关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为 x=-1.
故答案为：B
【分析】抛物线与X轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，可以根据已知的一个交点和对称轴求出另一个交点，从而得到方程的解。
二、填空题
9．（2023九上·凉州月考） 已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】抛物线与轴有两个交点，
解得 ，
故答案为： .
【分析】根据抛物线与轴有两个交点，利用即可求解.
10．（2024九上·渌口期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则它与轴的另一个交点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】由二次函数可得对称轴为直线x=-2，
函数图象与轴的一个交点为，
解得x=-3，
它与轴的另一个交点的坐标是 （-3，0），
故答案为：（-3，0）.
【分析】根据二次函数表达式求得对称轴为直线x=-2，结合图象与轴的一个交点为，从而求解.
11．（2024九上·肇东期末）已知抛物线的部分图象如图所示，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图像可知，图像的对称轴为x=1，图像与x轴的一个交点为x=-1，所以图像与x轴的另一个交点为(3，0)，
不等式的解集为 -1故答案为： -1【分析】先根据对称轴和图像与x轴的一个交点的坐标求出图像与x轴的另一个交点的坐标，再结合图像求出不等式的解集。
12．扰物线的部分图象如图所示，其与轴的一个交点的坐标为，对称轴为直线，则当时，的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 函数的图象与x轴的一个交点为（-3，0），且对称轴为直线x=-1
∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为（1，0）
由图象可知，当y<0时，-3故答案为：.
【分析】根据二次函数的对称轴及二次函数与x轴交点的关系，可知二次函数与x轴的另一个交点的坐标；进而找出x轴下方图象上自变量的取值范围即可.
13．（2023九上·腾冲月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①b＞0；②a﹣b+c＝0；③当x＜﹣1或x＞3时，y＞0；④一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根．
上述结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）
【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：图像开口向上，，
对称轴x=1，，
，，故①错误；
由图像可知对称轴x=1，与x轴的一个交点为（3，0），另一个交点为（-1，0），
当x=-1时，可知，故②正确；
由图像可知，当x＜﹣1或x ＞3时，y＞0 ，故③正确；
一元二次方程ax2 +bx+c+1＝0（a≠0）可以看成二次函数y ＝ax 2 +bx +c （a≠0）与y=-1的交点，结合图像可知y ＝ax2 +bx +c（a≠0）与y=-1有两个不同的交点，一元二次方程ax2 +bx +c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，故④正确.
故答案为：②③④.
【分析】根据开口方向可判断，再根据对称轴x=1即可判定b的符号，即可判定①；根据二次函数的图象于对称轴对称，结合图像可知另一个与x轴的交点为（-1，0），代入函数关系式即可判定②；观察图像即可判定③；方程ax 2 +bx+c+1＝0（a≠0）可以看成二次函数y ＝ax 2 +bx +c （a≠0）与y=-1的交点，结合图像可判断④.
三、解答题
14．（2024九上·房山期末）在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上，设抛物线的对称轴为.
（1）当时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点，在抛物线上，若，求t的取值范围及的取值范围.
【答案】（1）解：当时，.
∴抛物线与轴交点的坐标为.
∵点，在抛物线上，且，
∴，解得.
（2）解：由，，
∵，∴.∴.
∵，∴，即.
∵，∴.∴.
∴，即.
综上所述，.
∵点在抛物线上，
∴，关于抛物线的对称轴对称，且.
∴，解得.
∴.∴.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先求出抛物线与y轴交点坐标，再将点，代入抛物线解析式，列出方程，解方程即可求出答案；
（2）将点，代入抛物线解析式可得，，再根据m，n之间的关系可求出，再根据对称轴性质可求出，再根据，关于抛物线的对称轴对称，且.，列出方程，解方程即可求出答案.
15．（2024九上·防城期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴分别交于C.
（1）求点C的坐标；
（2）求函数图象的对称轴；
【答案】（1）解：令得，所以点C的坐标为；
（2）解：二次函数的图象与x轴交于点，，
函数图象的对称轴为即.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1） 由，求出x=0时y值，即得点C坐标；
（2）由抛物线与与x轴交于点，，根据抛物线的对称性求出对称轴即可.
四、综合题
16．（2023九上·江北期末）
（1）计算：.
（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标.
【答案】（1）解：原式
（2）解：当时，，
∴，，
∴与x轴的交点为和.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值可得原式=，然后计算乘法，再计算加减法即可；
（2）令y=0，求出x的值，进而可得二次函数图象与x轴的交点坐标.
17．（2023·宁波）如图，已知二次函数图象经过点和．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：∵二次函数图象经过点和．
∴，解得：，
∴抛物线为，
∴顶点坐标为：；
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：解：当y=-2时，（x+1）2-6=-2
解之：x1=1，x2=-3，
∵a=1，＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当y≤-2时，．
【分析】（1）分别将点A，B的坐标代入函数解析式，可得到关于b，c的方程组，解方程组求出b，c的值，可得到函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标.
（2）先求出当y=-2时x的值，再利用函数解析式，可知抛物线的开口向上，据此可求出当y≤-2时x的取值范围.
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