2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.5 二次函数的应用同步分层训练提升题
一、选择题
1．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件.市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件.请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，则最大销售额是（ ）
A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元
2．如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数.现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度.若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·滨江开学考）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙墙足够长，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体不包括门总长为，则能建成的饲养室的总面积最大为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·丰满期中） 在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图，水平地面为x轴，单位：米），则羽毛球到达最高点时离地面的距离是（ ）
A．1米 B．3米 C．5米 D．米
5．（2023九上·曾都期中）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽为4m.如果水面宽度为6m，则水面下降（ ）
A．2m B．2.5m C．3m D．3.5m
6．（2023九上·长春期中）某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查反映：若每千克涨价1元，每天销售量减少20千克，设每千克涨价x （单位：元），且0≤x≤25，每天售出商品的利润为y （单位：元），则y与x的函数关系式是（ ）
A．y=500- 20x B．y=（500- 20x）（10+x）
C．y=（500+ 10x）（10-x） D．y=（500-10x）（10+x）
7．（2023九上·杭州期中） 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t-5t2，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是（ ）
A．5米 B．10米 C．1米 D．2米
8．（2023九上·芜湖期中）2023年杭州第19届亚运会羽毛球比赛共产生7枚金牌，比赛中某次羽毛球的运动路线可以看作是如图所示的抛物线图象的一部分，其中出球点离地面点的距离是1米，则球落地点到点的距离是（ ）．
A．1米 B．3米 C．4米 D．米
二、填空题
9．（2024九上·娄底期末）如图，有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙（墙长为），另外三边用长为的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为 ．
10．（2024九上·绿园期末）如图，一抛物线型拱桥的拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1.5米后，水面的宽度为 米．
11．如图，水池中心点О处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点О在同一水平面.安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距О点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距О点3m.那么喷头高 m时，水柱落点距O点4m.
12．（2024九上·磐石期末）用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x（m）与面积y（m2）满足函数关系，则该矩形面积的最大值为 m2.
13．（2023九上·房山期中）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，其余的三边，，用总长为米的栅栏围成．设矩形的边米，面积为平方米．
（1）活动区面积与之间的关系式为 ；
（2）菜园最大面积是 平方米．
三、解答题
14．（2024九上·杭州月考）把一根长4米的铁丝折成一矩形，矩形的一边长为x米，面积为S米2.
（1）求S关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）x为何值时，S最大？最大为多少？
15．（2024九下·阎良开学考）图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点处，石块从投石机竖直方向上的点处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在斜坡上的点处建有垂直于水平线的城墙，且，点在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙．
四、综合题
16．（2024九上·黔南期末）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民把一片坡地改造后种植了优质葡萄，今年正式上市销售，并在网上直播推销优质葡萄．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售葡萄的成本是18元/千克，每天的利润是元．
（1） ， ；
（2）销售优质葡萄第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？
17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数)的图象经过点A(-1，0)，B(0，3)，顶点的横坐标为1.
（1）求二次函数的表达式.
（2）若直线x=m与x轴相交于点N，在第一象限内与二次函数的图象相交于点M，当m取何值时，AN+MN有最大值？求出这个最大值.
（3）若P为二次函数的图象的对称轴上一动点，将二次函数的图象向左平移1个单位后，Q为平移后二次函数的图象上一动点.在(2)的条件下求得的点M，是否能与点A，P，Q构成平行四边形 若能构成，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件商品降价x元时，每天的销售额为W元，
由题意得w=（35-x）(50+2x)=-2x2+20x=-2（x-5）2+1800，
∵-2＜0，
∴当x=5时，W最大，最大值为1800，
∴ 每天的最大销售额为1800元.
故答案为：C.
【分析】设每件商品降价x元时，每天的销售额为W元，根据利润=每件的利润×销售量，据此列出关系式，再利用二次函数的性质求解即可.
2．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，
由题意可设y=a（t-1)2+k，
把（0，0）代入得k=-a，
∴y=a（t-1)2-a，
当y=0时，得a（t-1)2-a=0，
即得t=0或2，
∴一个小球从出发到落地用时2秒，
∵ 整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2 ，
∴t＜2且2t≥2，
解得： .
故答案为：B.
【分析】先建立适当坐标系，再利用二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质求解即可.
3．【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设建成的饲养室的长为x,∵在长上留有1扇门，且计划中的材料可建墙体不包括门总长为 ，则宽为： ，故能建成的饲养室的总面积为：，则当x=15时，面积S有最大值75.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，设建成的饲养室的长为x，根据题意可得宽为： ，然后表示出面积运用二次函数的性质求解即可.
4．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】由题意可知，所以，所以最高可以达到米，D符合题意。
故答案为D。
【分析】将解析式化为顶点式即可得出函数的最大值。
5．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：设抛物线解析式为：
∴
∴
∴抛物线解析式为：
当水面宽度为6m，则
∴
∴水面下降：
故答案为：B.
【分析】设抛物线解析式为：根据题意得到抛物线上一点为即可求出其解析式为然后根据题意令x=3，求出y的值即可求解.
6．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：当每千克涨价x元时，每千克盈利（10+x）元
每天可销售（500-20x）千克
由题意可得：y=(500-20x)(10+x)
故答案为：B
【分析】当每千克涨价x元时，每千克盈利（10+x）元，每天可销售（500-20x）千克，根据总利润=单件利润×总销售量即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：h=10t-5t2=-5(t-1)2+5，
∵ -5<0，即抛物线的开口向下，
∴ 当t=1时，h取最大值5，
∴ 球距离地面的最大高度是5m，
∴球从弹起后又回到地面所经过的总路程是10m.
故答案为：B.
【分析】将函数式的解析式化为顶点式得小球距离地面的最大高度，即可求得总路程.
8．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为，
∴将y=0代入，
可得：，
解得：x1=4，x2=-1，
∴点A的坐标为（4，0），
∴OA=4，
故答案为：C.
【分析】将y=0代入，可得求出x的值，可得点A的坐标，再求出AO的长即可.
9．【答案】32
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16-2x）m，苗圃园面积为y，
根据题意可得：y=x（16-2x）=-2（x-4）2+32，（x<8），
∵墙长为15m，
∴16-2x≤15，
解得：0.5≤x<8，
∴当x=4时，y有最大值为32，
故答案为：32.
【分析】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16-2x）m，苗圃园面积为y，再利用矩形的面积公式求出y=x（16-2x）=-2（x-4）2+32，最后利用二次函数的性质分析求解即可.
10．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以拱顶到水面的距离为2米时的水面为x轴，拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
根据题意设二次函数解析式为：y=ax2+2，
把A（2，0）代入，得a=-，
∴二次函数解析式为：y=-x2+2，
当y=-1.5时，-x2+2=-1.5，
解得x=±．
所以水面的宽度为2．
故答案为：
【分析】以拱顶到水面的距离为2米时的水面为x轴，拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系，先根据待定系数法求出二次函数的解析式，进而结合二次函数图象上的点的特征即可求解。
11．【答案】8
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，可设y=ax2+bx+c，
当c=2.5时，抛物线经过（2.5，0），当c=4时，抛物线经过（3，0），
∴，解得a=，b=，
∴y=x2+x+c，
把（4，0）代入得c=8，
∴ 当喷头高8m时，水柱落点距O点4m.
故答案为：8.
【分析】如图建立平面直角坐标系，可设y=ax2+bx+c，当c=2.5时把（2.5，0）代入解析式，当c=4时把（3，0）代入解析式，可建立关于a、b的方程组，可求出a、b值，再将（4，0）代入解析式中求出c值即可.
12．【答案】144
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵且，
∴当时，最大=.
即：该矩形面积的最大值为m2．
故答案为：144．
【分析】根据二次函数的性质直接求解。
13．【答案】（1）
（2）
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：
（1）由题意得，
∴，
∵，解得，
∴活动区面积S与之间的关系式为；
故答案为：；
（2）由（1）得活动区面积S与之间的关系式为，
∵，
∴当时，S取最大值200，
∴菜园最大面积是200平方米；
故答案为：200
【分析】（1）根据题意即可得到S与x的函数关系式，进而结合题意即可求解；
（2）根据二次函数的性质结合题意即可求解。
14．【答案】（1）解：∵一根长4米的铁丝折成一矩形，矩形的一边长为x米，
∴另一边长为：4-2x，
∴
（2）解：
∴当x=1时，矩形面积最大，S=1.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意求出矩形的另一边长为4-2x，最后根据矩形的面积计算公式即可写出表达式；
（2）将表达式改写为顶点式，即可求出S的最大值.
15．【答案】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标是，点的坐标为．
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：，
点的横坐标为75．
将代入，得．
，
．
，
石块不能飞越城墙．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）由题意可将抛物线的解析式设为顶点式，把点C的坐标代入解析式计算即可求解；
（2）由题意易得点D的横坐标为75，于是把x=75代入（1）中的解析式计算求出y的值，根据线段的构成BD=AB+AD可求出BD的值，将BD的值与20比较大小即可判断求解.
16．【答案】（1）；25
（2）解：由（1）知第天的销售量为千克．
当时，
，
当时，取得最大值，最大值为968．
当时，．
，随的增大而增大，
．
，当时，．
答：销售优质葡萄第18天时，当天的利润最大，最大利润是968元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）根据题意可得：32=12m-76m，n=25，
解得：m=，n=25，
故答案为：；25.
【分析】（1）根据“ 第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克 ”列出方程32=12m-76m，n=25，再求解即可；
（2）利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式，再利用二次函数的性质分析求解即可.
17．【答案】（1）解： 由题意可得，
解得，
二次函数的表达式为.
（2）解：由题意可得，，
，，
，
当时，有最大值.
（3）解：由(2)得，
平移后的二次函数解析式为，
设，，
当时，
，解得，
；
当时，
，解得，
；
当时，
，解得，
，
综上所述，，，.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)将点A、B的坐标及对称轴的横坐标代入函数解析式，通过待定系数法解得函数关系式.
(2)由题意可得，，通过点坐标表示出AN，MN的长度，再通过二次函数的性质求得当时，有最大值.
(3)利用平移的性质得到平移后的二次函数解析式为，设，，利用平行四边形的性质及中点公式求得点Q的坐标.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 1.5 二次函数的应用同步分层训练提升题
一、选择题
1．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件.市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件.请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，则最大销售额是（ ）
A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件商品降价x元时，每天的销售额为W元，
由题意得w=（35-x）(50+2x)=-2x2+20x=-2（x-5）2+1800，
∵-2＜0，
∴当x=5时，W最大，最大值为1800，
∴ 每天的最大销售额为1800元.
故答案为：C.
【分析】设每件商品降价x元时，每天的销售额为W元，根据利润=每件的利润×销售量，据此列出关系式，再利用二次函数的性质求解即可.
2．如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数.现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度.若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，
由题意可设y=a（t-1)2+k，
把（0，0）代入得k=-a，
∴y=a（t-1)2-a，
当y=0时，得a（t-1)2-a=0，
即得t=0或2，
∴一个小球从出发到落地用时2秒，
∵ 整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2 ，
∴t＜2且2t≥2，
解得： .
故答案为：B.
【分析】先建立适当坐标系，再利用二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质求解即可.
3．（2023九上·滨江开学考）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙墙足够长，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体不包括门总长为，则能建成的饲养室的总面积最大为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设建成的饲养室的长为x,∵在长上留有1扇门，且计划中的材料可建墙体不包括门总长为 ，则宽为： ，故能建成的饲养室的总面积为：，则当x=15时，面积S有最大值75.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，设建成的饲养室的长为x，根据题意可得宽为： ，然后表示出面积运用二次函数的性质求解即可.
4．（2023九上·丰满期中） 在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图，水平地面为x轴，单位：米），则羽毛球到达最高点时离地面的距离是（ ）
A．1米 B．3米 C．5米 D．米
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】由题意可知，所以，所以最高可以达到米，D符合题意。
故答案为D。
【分析】将解析式化为顶点式即可得出函数的最大值。
5．（2023九上·曾都期中）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽为4m.如果水面宽度为6m，则水面下降（ ）
A．2m B．2.5m C．3m D．3.5m
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：设抛物线解析式为：
∴
∴
∴抛物线解析式为：
当水面宽度为6m，则
∴
∴水面下降：
故答案为：B.
【分析】设抛物线解析式为：根据题意得到抛物线上一点为即可求出其解析式为然后根据题意令x=3，求出y的值即可求解.
6．（2023九上·长春期中）某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查反映：若每千克涨价1元，每天销售量减少20千克，设每千克涨价x （单位：元），且0≤x≤25，每天售出商品的利润为y （单位：元），则y与x的函数关系式是（ ）
A．y=500- 20x B．y=（500- 20x）（10+x）
C．y=（500+ 10x）（10-x） D．y=（500-10x）（10+x）
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：当每千克涨价x元时，每千克盈利（10+x）元
每天可销售（500-20x）千克
由题意可得：y=(500-20x)(10+x)
故答案为：B
【分析】当每千克涨价x元时，每千克盈利（10+x）元，每天可销售（500-20x）千克，根据总利润=单件利润×总销售量即可求出答案.
7．（2023九上·杭州期中） 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t-5t2，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是（ ）
A．5米 B．10米 C．1米 D．2米
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：h=10t-5t2=-5(t-1)2+5，
∵ -5<0，即抛物线的开口向下，
∴ 当t=1时，h取最大值5，
∴ 球距离地面的最大高度是5m，
∴球从弹起后又回到地面所经过的总路程是10m.
故答案为：B.
【分析】将函数式的解析式化为顶点式得小球距离地面的最大高度，即可求得总路程.
8．（2023九上·芜湖期中）2023年杭州第19届亚运会羽毛球比赛共产生7枚金牌，比赛中某次羽毛球的运动路线可以看作是如图所示的抛物线图象的一部分，其中出球点离地面点的距离是1米，则球落地点到点的距离是（ ）．
A．1米 B．3米 C．4米 D．米
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为，
∴将y=0代入，
可得：，
解得：x1=4，x2=-1，
∴点A的坐标为（4，0），
∴OA=4，
故答案为：C.
【分析】将y=0代入，可得求出x的值，可得点A的坐标，再求出AO的长即可.
二、填空题
9．（2024九上·娄底期末）如图，有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙（墙长为），另外三边用长为的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为 ．
【答案】32
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16-2x）m，苗圃园面积为y，
根据题意可得：y=x（16-2x）=-2（x-4）2+32，（x<8），
∵墙长为15m，
∴16-2x≤15，
解得：0.5≤x<8，
∴当x=4时，y有最大值为32，
故答案为：32.
【分析】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16-2x）m，苗圃园面积为y，再利用矩形的面积公式求出y=x（16-2x）=-2（x-4）2+32，最后利用二次函数的性质分析求解即可.
10．（2024九上·绿园期末）如图，一抛物线型拱桥的拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1.5米后，水面的宽度为 米．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以拱顶到水面的距离为2米时的水面为x轴，拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
根据题意设二次函数解析式为：y=ax2+2，
把A（2，0）代入，得a=-，
∴二次函数解析式为：y=-x2+2，
当y=-1.5时，-x2+2=-1.5，
解得x=±．
所以水面的宽度为2．
故答案为：
【分析】以拱顶到水面的距离为2米时的水面为x轴，拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系，先根据待定系数法求出二次函数的解析式，进而结合二次函数图象上的点的特征即可求解。
11．如图，水池中心点О处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点О在同一水平面.安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距О点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距О点3m.那么喷头高 m时，水柱落点距O点4m.
【答案】8
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，可设y=ax2+bx+c，
当c=2.5时，抛物线经过（2.5，0），当c=4时，抛物线经过（3，0），
∴，解得a=，b=，
∴y=x2+x+c，
把（4，0）代入得c=8，
∴ 当喷头高8m时，水柱落点距O点4m.
故答案为：8.
【分析】如图建立平面直角坐标系，可设y=ax2+bx+c，当c=2.5时把（2.5，0）代入解析式，当c=4时把（3，0）代入解析式，可建立关于a、b的方程组，可求出a、b值，再将（4，0）代入解析式中求出c值即可.
12．（2024九上·磐石期末）用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x（m）与面积y（m2）满足函数关系，则该矩形面积的最大值为 m2.
【答案】144
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵且，
∴当时，最大=.
即：该矩形面积的最大值为m2．
故答案为：144．
【分析】根据二次函数的性质直接求解。
13．（2023九上·房山期中）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，其余的三边，，用总长为米的栅栏围成．设矩形的边米，面积为平方米．
（1）活动区面积与之间的关系式为 ；
（2）菜园最大面积是 平方米．
【答案】（1）
（2）
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：
（1）由题意得，
∴，
∵，解得，
∴活动区面积S与之间的关系式为；
故答案为：；
（2）由（1）得活动区面积S与之间的关系式为，
∵，
∴当时，S取最大值200，
∴菜园最大面积是200平方米；
故答案为：200
【分析】（1）根据题意即可得到S与x的函数关系式，进而结合题意即可求解；
（2）根据二次函数的性质结合题意即可求解。
三、解答题
14．（2024九上·杭州月考）把一根长4米的铁丝折成一矩形，矩形的一边长为x米，面积为S米2.
（1）求S关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）x为何值时，S最大？最大为多少？
【答案】（1）解：∵一根长4米的铁丝折成一矩形，矩形的一边长为x米，
∴另一边长为：4-2x，
∴
（2）解：
∴当x=1时，矩形面积最大，S=1.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意求出矩形的另一边长为4-2x，最后根据矩形的面积计算公式即可写出表达式；
（2）将表达式改写为顶点式，即可求出S的最大值.
15．（2024九下·阎良开学考）图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点处，石块从投石机竖直方向上的点处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在斜坡上的点处建有垂直于水平线的城墙，且，点在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙．
【答案】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标是，点的坐标为．
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：，
点的横坐标为75．
将代入，得．
，
．
，
石块不能飞越城墙．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）由题意可将抛物线的解析式设为顶点式，把点C的坐标代入解析式计算即可求解；
（2）由题意易得点D的横坐标为75，于是把x=75代入（1）中的解析式计算求出y的值，根据线段的构成BD=AB+AD可求出BD的值，将BD的值与20比较大小即可判断求解.
四、综合题
16．（2024九上·黔南期末）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民把一片坡地改造后种植了优质葡萄，今年正式上市销售，并在网上直播推销优质葡萄．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售葡萄的成本是18元/千克，每天的利润是元．
（1） ， ；
（2）销售优质葡萄第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；25
（2）解：由（1）知第天的销售量为千克．
当时，
，
当时，取得最大值，最大值为968．
当时，．
，随的增大而增大，
．
，当时，．
答：销售优质葡萄第18天时，当天的利润最大，最大利润是968元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）根据题意可得：32=12m-76m，n=25，
解得：m=，n=25，
故答案为：；25.
【分析】（1）根据“ 第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克 ”列出方程32=12m-76m，n=25，再求解即可；
（2）利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式，再利用二次函数的性质分析求解即可.
17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数)的图象经过点A(-1，0)，B(0，3)，顶点的横坐标为1.
（1）求二次函数的表达式.
（2）若直线x=m与x轴相交于点N，在第一象限内与二次函数的图象相交于点M，当m取何值时，AN+MN有最大值？求出这个最大值.
（3）若P为二次函数的图象的对称轴上一动点，将二次函数的图象向左平移1个单位后，Q为平移后二次函数的图象上一动点.在(2)的条件下求得的点M，是否能与点A，P，Q构成平行四边形 若能构成，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解： 由题意可得，
解得，
二次函数的表达式为.
（2）解：由题意可得，，
，，
，
当时，有最大值.
（3）解：由(2)得，
平移后的二次函数解析式为，
设，，
当时，
，解得，
；
当时，
，解得，
；
当时，
，解得，
，
综上所述，，，.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)将点A、B的坐标及对称轴的横坐标代入函数解析式，通过待定系数法解得函数关系式.
(2)由题意可得，，通过点坐标表示出AN，MN的长度，再通过二次函数的性质求得当时，有最大值.
(3)利用平移的性质得到平移后的二次函数解析式为，设，，利用平行四边形的性质及中点公式求得点Q的坐标.
1 / 1
