2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.2 圆心角、圆周角同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2022·威宁模拟）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
2．（2024九下·阎良开学考）如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九下·榕江月考）如图所示，☉A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方☉A上一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
4．（2021九上·韩城期中）如图，点，，是上的三个点，若，则的度数为（ ）
A．76° B．38° C．24° D．33°
5．（2023九上·东阳月考）如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连接交于点E，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·曲靖期末）如图，，为的两条弦，连接， ，，若，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
7．（2024九上·潮南期末）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，过外一点作的切线AD，点是切点，连结OA交于点，点是上不与点B，D重合的点.若，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2024九下·武汉开学考）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D，P分别在，上．若∠BDC＝140°，则∠APC的度数为 ．
10．（2024九下·榕江月考）如图所示，已知△ABC的外接圆☉O的半径为3，AC=4，则sin B= .
11．（2024九上·曲靖期末）如图在平面直角坐标系中点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴，以为直径的经过点O，连接，过点D作于点E，若，，则圆心点D的坐标是 ．
12．（2021九上·德州期中）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为 ．
13．（2024九上·伊通期末）如图，为的直径，点C，点D在上，并且在直径的两侧，，则 ．
三、解答题
14．（2023九上·商南期末）如图，是的直径，点，均在上，，弦，求的直径．
15．如图，在△ABC的边BC的同侧分别作等边三角形ABD，BCF和ACE.
（1）证明：△ABC≌△DBF.
（2）证明：四边形AEFD是平行四边形.
（3）若AB=3，AC=4，BC=5，则∠DFE的度数为 °.
四、综合题
16．（2021九上·余杭月考）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，分别交AC，BC两边于点D，E，连结ED，且ED＝EC.
（1）求证：AB＝AC.
（2）若AB＝4，BC＝ ，求CD的长.
17．（2022·赣州模拟）如图，点C是以AB为直径的半圆O内任意一点，连接AC，BC，点D在AC上，且AD＝CD，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图（1）中，画出的中线AE；
（2）在图（2）中，画出的角平分线AF．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，设AC=x，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠BCA=90°，
∵，
∴，
根据勾股定理得
，
即，
解得，，
∴，
∴，
∴AE=，
∵BC为折痕，点D与点D'对称，
∴∠CBA=∠CBD'，，
∴，
∴CD=AC，
∵CE⊥AD，
∴DE=AE=2，AD=4，
∴弓形AC=弓形DC，
∴S阴影=S△ACD=．
故答案为：C．
【分析】连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，设AC=x，根据直径时圆周角性质可知∠BCA=90°，运用锐角三角函数的定义结合勾股定理可求得，，然后运用面积桥计算求得CE与AE，从而根据折叠的性质得到∠CBA=∠CBD'， ，可得AC=CD，结合等腰三角形的性质求得AE=DE=2，最后运用弓形AC=弓形DC进行面积转化即可求解。
2．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOC=88°，
∴∠ADC=∠AOC=44°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=180°-44°=136°.
故答案为：D.
【分析】由圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得∠ADC=∠AOC，然后根据圆内接四边形的对角互补得∠ABC+∠ADC=180°可求解.
3．【答案】B
【知识点】圆周角定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】连接CD，如图，
C(，0)，D(0，1)， OC⊥OD，
故答案为：B.
【分析】连接CD，根据点C、D的坐标求得OD、OC的值，利用勾股定理求得CD的值，再根据特殊角的三角函数值即可求解.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵点，，是上的三个点，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得∠C=∠AOB可求解.
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接AD，如图：
∵CD为圆的直径，
∴
∵B是的中点，
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】连接AD，根据圆周角定理得到最后根据直角三角形的性质即可求出∠ACD的度数.
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，∠C=45°，
∴∠AOB=2∠C=90°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
故答案为：B.
【分析】利用圆周角的性质可得∠AOB=2∠C=90°，再结合OA=OB，即可证出△AOB是等腰直角三角形，从而得解.
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OD、OC，如图：
∵是的直径，四边形内接于，且，
∴
∴
∵
∴为等边三角形，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】连接OD、OC，由题意得到进而根据"等弧所对的圆心角相等"得到即可证明为等边三角形，得到即可求解.
8．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A=α°，∠ODA=90°，
∴∠O=180°-∠A-∠ODA=90°-α°=（90-α）°，
∴∠C=∠O=（45-α）°，
故答案为：A.
【分析】先根据三角形内角和求出∠O，再根据圆周角定理可得出答案.
9．【答案】110°
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接BC，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，且
∴
∵
∴
∴
故答案为：110°.
【分析】连接BC，根据圆内接四边形的性质得到∠BAC的度数，然后根据等腰三角形的性质即可求出∠ABC的度数，最后再根据圆内接四边形的性质即可求解.
10．【答案】
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】连接AO并延长交 ☉O 于点E，连接CE，如图，
则
在Rt△ACE中，AC=4，AE=6，
又
故答案为： .
【分析】连接AO并延长交 ☉O 于点E，连接CE，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义求得∠E的正弦值，根据圆周角定理得到∠B=∠E，从而求解.
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵DA=DO，∠ADO=120°，
∴∠DAO=∠DOA=，
在Rt△DEO中，OD=AB=2，
∴DE=OD=1，OE=DE=，
∴圆心点D的坐标为，
故答案为：.
【分析】先利用角的运算求出∠DAO=∠DOA=，再利用含30°角的直角三角形的性质求出OD=AB=2，再求出DE和OE的长即可得到点D的坐标.
12．【答案】60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠CBD=30°，
∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；
故答案是：60°
【分析】先求出∠D的度数，再由圆周角定理即可得出结论。
13．【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得，根据三角形内角和定理可得，根据同弧所对的圆周角相等得到．
14．【答案】解：是的直径，
．
同弧所对的圆周角相等，
．
，
．
的直径为
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【分析】先说明，利用直角三角形中30度的角所对的边是斜边的一半进行计算．
15．【答案】（1）证明：∵△ABD、△BCF是等边三角形，
∴AB=AD=BD，BC=CF=BF，∠CBF=∠ABD=60°，
∴∠CBA=∠FBD=60°-∠ABF，
在△ABC和△DBF中
∴△ABC≌△DBF（SAS）
（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DBF，
∴DF=AC，
∵△ACE是等边三角形，
∴AC=AE，
∴DF=AC=AE，
同理可得：EF=BA=AD，
∴ 四边形AEFD是平行四边形 ；
（3）150
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定；圆周角定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（3）∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴BC2=AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∵△ABD、△ACE是等边三角形，
∴∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAE=360°-∠BAC-∠BAD-∠CAE=150°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠DFE=∠DAE=150°.
故答案为：150°.
【分析】（1）由等边三角形的性质用边角边可证得△ABC≌△DBF；
（2）根据全等三角形的性质可得DF=AC=AE，EF=BA=AD，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可求解；
（3）由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，然后根据周角的定义可求出∠DAE的度数，再根据平行四边形的对角相等可求解.
16．【答案】（1）证明：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC+∠ADE=180°，∠B+∠ADE=180°，
∴∠EDC=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC，
∴BE=CE= BC= ，
∵∠C=∠CDE=∠B，
∵△CDE∽△CBA，
∴ ，
∴CE CB=CD CA，AC=AB=4，
∴ ，
∴CD= .
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；邻补角
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠EDC=∠C，由圆内接四边形的性质可得∠B+∠ADE=180°，根据邻补角的性质可得∠EDC+∠ADE=180°，推出∠EDC=∠B，据此证明；
（2）连接AE，易得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，根据等腰三角形的性质可得BE=CE= ，证明△CDE∽△CBA，然后根据相似三角形的性质进行求解.
17．【答案】（1）解：如图（1），线段AE即为△ABC的中线；
；
根据三角形三条中线交于一点即可证明；
（2）解：如图（2），线段AF即为△ABC的角平分线；
证明：∵OA=OH，∴∠HAO=∠H，
∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠CAH=∠H，
∴∠CAF=∠BAF，
∴AF为△ABC的角平分线．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）先求出 ∠HAO=∠H， 再求出 ∠CAH=∠H， 最后求解即可。
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.2 圆心角、圆周角同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2022·威宁模拟）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，设AC=x，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠BCA=90°，
∵，
∴，
根据勾股定理得
，
即，
解得，，
∴，
∴，
∴AE=，
∵BC为折痕，点D与点D'对称，
∴∠CBA=∠CBD'，，
∴，
∴CD=AC，
∵CE⊥AD，
∴DE=AE=2，AD=4，
∴弓形AC=弓形DC，
∴S阴影=S△ACD=．
故答案为：C．
【分析】连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，设AC=x，根据直径时圆周角性质可知∠BCA=90°，运用锐角三角函数的定义结合勾股定理可求得，，然后运用面积桥计算求得CE与AE，从而根据折叠的性质得到∠CBA=∠CBD'， ，可得AC=CD，结合等腰三角形的性质求得AE=DE=2，最后运用弓形AC=弓形DC进行面积转化即可求解。
2．（2024九下·阎良开学考）如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠AOC=88°，
∴∠ADC=∠AOC=44°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=180°-44°=136°.
故答案为：D.
【分析】由圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得∠ADC=∠AOC，然后根据圆内接四边形的对角互补得∠ABC+∠ADC=180°可求解.
3．（2024九下·榕江月考）如图所示，☉A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方☉A上一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】连接CD，如图，
C(，0)，D(0，1)， OC⊥OD，
故答案为：B.
【分析】连接CD，根据点C、D的坐标求得OD、OC的值，利用勾股定理求得CD的值，再根据特殊角的三角函数值即可求解.
4．（2021九上·韩城期中）如图，点，，是上的三个点，若，则的度数为（ ）
A．76° B．38° C．24° D．33°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵点，，是上的三个点，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”得∠C=∠AOB可求解.
5．（2023九上·东阳月考）如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连接交于点E，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连接AD，如图：
∵CD为圆的直径，
∴
∵B是的中点，
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】连接AD，根据圆周角定理得到最后根据直角三角形的性质即可求出∠ACD的度数.
6．（2024九上·曲靖期末）如图，，为的两条弦，连接， ，，若，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，∠C=45°，
∴∠AOB=2∠C=90°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
故答案为：B.
【分析】利用圆周角的性质可得∠AOB=2∠C=90°，再结合OA=OB，即可证出△AOB是等腰直角三角形，从而得解.
7．（2024九上·潮南期末）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OD、OC，如图：
∵是的直径，四边形内接于，且，
∴
∴
∵
∴为等边三角形，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】连接OD、OC，由题意得到进而根据"等弧所对的圆心角相等"得到即可证明为等边三角形，得到即可求解.
8．如图，过外一点作的切线AD，点是切点，连结OA交于点，点是上不与点B，D重合的点.若，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A=α°，∠ODA=90°，
∴∠O=180°-∠A-∠ODA=90°-α°=（90-α）°，
∴∠C=∠O=（45-α）°，
故答案为：A.
【分析】先根据三角形内角和求出∠O，再根据圆周角定理可得出答案.
二、填空题
9．（2024九下·武汉开学考）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D，P分别在，上．若∠BDC＝140°，则∠APC的度数为 ．
【答案】110°
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接BC，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，且
∴
∵
∴
∴
故答案为：110°.
【分析】连接BC，根据圆内接四边形的性质得到∠BAC的度数，然后根据等腰三角形的性质即可求出∠ABC的度数，最后再根据圆内接四边形的性质即可求解.
10．（2024九下·榕江月考）如图所示，已知△ABC的外接圆☉O的半径为3，AC=4，则sin B= .
【答案】
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】连接AO并延长交 ☉O 于点E，连接CE，如图，
则
在Rt△ACE中，AC=4，AE=6，
又
故答案为： .
【分析】连接AO并延长交 ☉O 于点E，连接CE，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义求得∠E的正弦值，根据圆周角定理得到∠B=∠E，从而求解.
11．（2024九上·曲靖期末）如图在平面直角坐标系中点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴，以为直径的经过点O，连接，过点D作于点E，若，，则圆心点D的坐标是 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵DA=DO，∠ADO=120°，
∴∠DAO=∠DOA=，
在Rt△DEO中，OD=AB=2，
∴DE=OD=1，OE=DE=，
∴圆心点D的坐标为，
故答案为：.
【分析】先利用角的运算求出∠DAO=∠DOA=，再利用含30°角的直角三角形的性质求出OD=AB=2，再求出DE和OE的长即可得到点D的坐标.
12．（2021九上·德州期中）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为 ．
【答案】60°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠CBD=30°，
∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；
故答案是：60°
【分析】先求出∠D的度数，再由圆周角定理即可得出结论。
13．（2024九上·伊通期末）如图，为的直径，点C，点D在上，并且在直径的两侧，，则 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得，根据三角形内角和定理可得，根据同弧所对的圆周角相等得到．
三、解答题
14．（2023九上·商南期末）如图，是的直径，点，均在上，，弦，求的直径．
【答案】解：是的直径，
．
同弧所对的圆周角相等，
．
，
．
的直径为
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【分析】先说明，利用直角三角形中30度的角所对的边是斜边的一半进行计算．
15．如图，在△ABC的边BC的同侧分别作等边三角形ABD，BCF和ACE.
（1）证明：△ABC≌△DBF.
（2）证明：四边形AEFD是平行四边形.
（3）若AB=3，AC=4，BC=5，则∠DFE的度数为 °.
【答案】（1）证明：∵△ABD、△BCF是等边三角形，
∴AB=AD=BD，BC=CF=BF，∠CBF=∠ABD=60°，
∴∠CBA=∠FBD=60°-∠ABF，
在△ABC和△DBF中
∴△ABC≌△DBF（SAS）
（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DBF，
∴DF=AC，
∵△ACE是等边三角形，
∴AC=AE，
∴DF=AC=AE，
同理可得：EF=BA=AD，
∴ 四边形AEFD是平行四边形 ；
（3）150
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定；圆周角定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（3）∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴BC2=AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∵△ABD、△ACE是等边三角形，
∴∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAE=360°-∠BAC-∠BAD-∠CAE=150°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠DFE=∠DAE=150°.
故答案为：150°.
【分析】（1）由等边三角形的性质用边角边可证得△ABC≌△DBF；
（2）根据全等三角形的性质可得DF=AC=AE，EF=BA=AD，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可求解；
（3）由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，然后根据周角的定义可求出∠DAE的度数，再根据平行四边形的对角相等可求解.
四、综合题
16．（2021九上·余杭月考）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，分别交AC，BC两边于点D，E，连结ED，且ED＝EC.
（1）求证：AB＝AC.
（2）若AB＝4，BC＝ ，求CD的长.
【答案】（1）证明：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC+∠ADE=180°，∠B+∠ADE=180°，
∴∠EDC=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC，
∴BE=CE= BC= ，
∵∠C=∠CDE=∠B，
∵△CDE∽△CBA，
∴ ，
∴CE CB=CD CA，AC=AB=4，
∴ ，
∴CD= .
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；邻补角
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠EDC=∠C，由圆内接四边形的性质可得∠B+∠ADE=180°，根据邻补角的性质可得∠EDC+∠ADE=180°，推出∠EDC=∠B，据此证明；
（2）连接AE，易得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，根据等腰三角形的性质可得BE=CE= ，证明△CDE∽△CBA，然后根据相似三角形的性质进行求解.
17．（2022·赣州模拟）如图，点C是以AB为直径的半圆O内任意一点，连接AC，BC，点D在AC上，且AD＝CD，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图（1）中，画出的中线AE；
（2）在图（2）中，画出的角平分线AF．
【答案】（1）解：如图（1），线段AE即为△ABC的中线；
；
根据三角形三条中线交于一点即可证明；
（2）解：如图（2），线段AF即为△ABC的角平分线；
证明：∵OA=OH，∴∠HAO=∠H，
∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠CAH=∠H，
∴∠CAF=∠BAF，
∴AF为△ABC的角平分线．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）先求出 ∠HAO=∠H， 再求出 ∠CAH=∠H， 最后求解即可。
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