2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.3 垂径定理同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024九上·杭州月考）如图，已知⊙O的直径CD=8，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM=2，则AB的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，如图：
∵AB是⊙O的弦，AB⊥CD，
∴
∵
∴
故答案为：D.
【分析】连接OA，利用勾股定理求出AM的长度，进而根据垂径定理即可求解.
2．（2024·湖南模拟）如图，在直径为的中，弦，于点C，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵圆的直径为10cm，
又∵于点C，
∴OA=5cm，AC=3cm，
由勾股定理得，
故答案为：B
【分析】先根据题意结合垂径定理即可得到OA=5cm，AC=3cm，进而根据勾股定理即可求出OC。
3．（2024九下·西安开学考）如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形BEOF的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，AE⊥BC，
∴∠AFO=∠CEO=90°，
又∵，
∴∠C=∠A，
∵CD为直径，CD⊥AB，
∴，
∴∠AOD=2∠C，
J即∠AOD=2∠A，
∵∠AFO=90°，
∴∠A=30°，
∵AO=1，
∴OF=AO=，AF=OF=，
同理CE=，OE=，
连接OB，
∵CD⊥AB，AE⊥BC，
∴由垂径定理得：BF=AF=，BE=CE=，
∴四边形BEOF的面积S=S△BFO+S△BEO=××+=，
故答案为：C．
【分析】根据垂径定理得AF=BF，CE=BE，，求出∠AOD=2∠C，求出∠AOD=2∠A，求出∠A=30°，解直角三角形求出OF和BF，根据三角形的面积公式，即可得解．
4．（2024九下·榆林开学考）如图，是的弦，于点，连接并延长交于点，连接．已知，，则的长为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BE
∵OD⊥AB，AB=8
∴AC= BC =4
设OA=x
∵CD=2，
∴OC=x-2
在Rt△AOC中，AC2+OC2=OA2
∴42+(x-2)2=x2
解得： x=5
∴OA=OE=5，OC=3
∴ BE = 2CO=6
∵AE是直径
∴B=90°
∴CE==2
故答案为：D.
【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角形中位线的性质，先连接BE，再根据已知条件进行求解即可.
5．（2024九下·定海开学考）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，D为圆上一点，于点C，且米，则门洞的半径为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，过点D作DF⊥OE于点F，
∴BE=AB=0.7米，∠OEC=∠DFE=90°，
∵BC=0.7米，
∴CE=BE+BC=1.2米，
∵DC⊥AB，
∴∠C=90°，
∴四边形DCEF是矩形，
∴DF=CE=1.2米，EF=CD=0.7米，
设该门洞的半径OD=OB=x米，
由题意得，
解得，
∴该门洞的半径为1.3米.
故答案为：C.
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，过点D作DF⊥OE于点F，由垂径定理得BE=AB=0.7米，由有三个角是直角得四边形是矩形得四边形DCEF是矩形，根据矩形的对边相等得DF=CE=1.2米，EF=CD=0.7米，设该门洞的半径OD=OB=x米，在△ODF与△OEB中，分别根据勾股定理建立方程，再结合OF=OE-EF，可求出该门洞所在圆的半径.
6．（2023九上·东阳月考）如图，，，，，以点C为圆心，为半径的圆与、分别交于点E与点D，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：在中，
∴
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图：
∴M为AE的中点，
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：D.
【分析】在中，根据勾股定理求出AB的长度，过C作CM⊥AB，交AB于点M，则M为AE的中点，根据等面积法求出CM的长度，进而再利用勾股定理求出AM的长度，进而得到AE的长度，进而即可求解.
7．（2024九上·福州期末）下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；
④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等。上述说法不正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；轴对称图形
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，则本项错误；
②同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，则本项错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，则本项错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，则本项错误；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，则本项错误；
综上所述，不正确的有①②③④⑤，共5个，
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理、圆的基本性质、弧，圆心角，圆周角的关系逐项分析即可求解.
8．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=4，OC=1，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C．2 D．6
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，OC过O，
∴CD=AB，
∵AB=4，
∴AC=2，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA==，
即⊙O的半径是，
故选：B．
【分析】根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OA，即可得出答案．
二、填空题
9．（2024九上·炎陵期末）如图，B是的弦，，交于点，连接，，．若，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
故答案为．
【分析】根据垂径定理可得进而得到再利用圆周角定理结合已知条件即可求解.
10．陕西饮食文化源远流长，其中“老碗面”是其代表.图2是从正面看到的一个“老碗”(图1)的形状示意图.AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连结OD，与弦AB相交于点C，连结OA，OB.已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为 cm.
【答案】13
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，AB=24cm，
∴ ，，
设⊙O的半径OA为R，则OD=R，OC=R-8，
在中，，即，解得R=13.
故答案为：13.
【分析】先根据垂径定理得到 ，，再根据勾股定理列出等式，求解R即可.
11．（2024九上·房山期末）如图，A，B，D三点在半径为5的上，AB是的一条弦，且于点C，若，则OC的长为 .
【答案】3
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】由题意可得：
OA=5，
∴
故答案为：3
【分析】根据垂径定理及勾股定理即可求出答案.
12．（2024九上·河西期末）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，线段AB的端点A，B均落在格点上．
⑴线段AB的长等于 ；
⑵经过点A，B的圆交网格线于点C，在上有一点E，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点E，并简要说明点E的位置是如何找到的 ．（不要求证明）
【答案】；如图，取AB与网格线交点为P；连接CP并延长交网格线与点D，连接BD，与相交于点E．点E即为所求．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】（1）由题意得：
【分析】(1)利用勾股定理代入数据计算即可求解；
（2） 取AB与网格线交点为P；连接CP并延长交网格线与点D，连接BD，与的交点即为所求，从而求解.
13．（2023九上·临洮月考）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接OD交AC于点F，
∵D是弧AC的中点 ，
∴OD⊥AC，AF=FC，
∴BC=2OF，
∵AB是直径 ，
∴∠C=90°，即∠C=∠DFE=90°，
∵∠DEF=∠CEB，DE=BE，
∴△DEF≌△BEC（AAS），
∴BC=DF，
∴DF=2OF，
∵OD=3=DF+OF=3OF，
∴OF=1，
在Rt△AFO中，OA=3，
∴AF==，
∴AC=2AF=.
故答案为：.
【分析】连接OD交AC于点F，则OD⊥AC，AF=FC，BC=2OF，再证△DEF≌△BEC（AAS），可得
BC=DF=2OF，由OD=3=DF+OF=3OF可求出OF=1，根据勾股定理求出AF的长，由AC=2AF即可求解.
三、解答题
14．（2024九上·广州期末）一根排水管的截面如图所示．已知水面宽AB＝8dm，测得排水管内水的最大深度为2dm，求排水管截面的半径．
【答案】解：过点O作AB的垂线，交AB于点P，交圆于C点，连结OB，
∵AB＝8dm，
∴BP＝4dm，
设排水管截面的半径为rdm，
由垂径定理和勾股定理得：
（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5dm，
故排水管截面的半径为5dm．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】根据垂径定理，可得BP的值；根据勾股定理，列二元一次方程，直接开平方即可求出排水管截面的半径.
15．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中E是AD的中点.
（1）求证：∠CAD=∠CBA.
（2）求OE的长.
【答案】（1）证明：∵ E是AD的中点，∴ AE=DE，
∵ OC 为⊙O的半径，∴，
∴ ∠CAD=∠CBA.
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°，
∵ E是AD的中点，∴ AE=DE，
∵ OC 为⊙O的半径，∴ CE⊥AD，
∴ ∠ACB=∠AEC=90°，
又∵ 由(1)得∠CAD=∠CBA，∴ △AEC∽△BCA，
∴，解得CE=3.6，
∴ OE=OC-CE=5-3.6=1.4.
∴ OE的长为1.4.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)、根据垂径定理和等弧所对的圆周角相等即可.
(2)、根据垂径定理的推论，先得出OC⊥AD，再结合圆周角的性质，得到∠ACB=∠AEC=90°，然后利用三角形相似的判定和性质证出，代入数据直接计算求解即可.
四、综合题
16．（2020九上·灌云月考）如图，在Rt△ABO中，∠O＝90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点C，交OA于点D.
（1）若∠A＝25°，则弧BC的度数为 .
（2）若OB＝3，OA＝4，求BC的长.
【答案】（1）50°
（2）如图，作OH⊥BC于H.
在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3，
∴AB＝ ＝ ＝5，
∵S△AOB＝ OB OA＝ AB OH，
∴OH＝ ＝ ，
∴BH＝ ＝ ＝ ，
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，
∴BC＝2BH＝ .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：（1）连接OC.
∵∠AOB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝65°，
∴∠BCO＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴弧BC的度数为50°，
故答案为50°.
【分析】（1）连接OC，利用三角形的内角和定理求出∠B，再利用等腰三角形的性质求出∠BOC即可.（2）作OH⊥BC于H，利用面积法求出OH，再利用勾股定理求出BH，利用垂径定理BC=2BH即可解决问题.
17．（2022九上·海曙期中）如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．
（1）求证：；
（2）若，求弦的长．
【答案】（1）证明：∵AC是直径，AC⊥BD
∴
∴∠ABD=∠C
又∵OB=OC
∴∠OBC=∠C
∴∠CBO=∠ABD
（2）解：∵AE=4cm，CE=16cm
∴直径AC=AE+CE=20cm
∴OA=OB=10cm
∴OE=OA-AE=10-4=6cm
∵AC是直径，AC⊥BD
∴BE=ED= cm
∴BD=2BE=16cm
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得，根据等弧所对的圆周角相等得∠ABD=∠C，根据等边对等角可得∠OBC=∠C，根据等量代换即可得出答案；
（2）易得OA=OB=10cm，OE=6cm，在Rt△ODB中利用勾股定理算出BE的长，进而根据垂径定理可得BD=2BE，代入即可得出答案.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.3 垂径定理同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024九上·杭州月考）如图，已知⊙O的直径CD=8，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM=2，则AB的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．（2024·湖南模拟）如图，在直径为的中，弦，于点C，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九下·西安开学考）如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形BEOF的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九下·榆林开学考）如图，是的弦，于点，连接并延长交于点，连接．已知，，则的长为（ ）
A．8 B． C． D．
5．（2024九下·定海开学考）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，D为圆上一点，于点C，且米，则门洞的半径为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．（2023九上·东阳月考）如图，，，，，以点C为圆心，为半径的圆与、分别交于点E与点D，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·福州期末）下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；
④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等。上述说法不正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=4，OC=1，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C．2 D．6
二、填空题
9．（2024九上·炎陵期末）如图，B是的弦，，交于点，连接，，．若，则的度数是 ．
10．陕西饮食文化源远流长，其中“老碗面”是其代表.图2是从正面看到的一个“老碗”(图1)的形状示意图.AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连结OD，与弦AB相交于点C，连结OA，OB.已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为 cm.
11．（2024九上·房山期末）如图，A，B，D三点在半径为5的上，AB是的一条弦，且于点C，若，则OC的长为 .
12．（2024九上·河西期末）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，线段AB的端点A，B均落在格点上．
⑴线段AB的长等于 ；
⑵经过点A，B的圆交网格线于点C，在上有一点E，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点E，并简要说明点E的位置是如何找到的 ．（不要求证明）
13．（2023九上·临洮月考）如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 ．
三、解答题
14．（2024九上·广州期末）一根排水管的截面如图所示．已知水面宽AB＝8dm，测得排水管内水的最大深度为2dm，求排水管截面的半径．
15．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中E是AD的中点.
（1）求证：∠CAD=∠CBA.
（2）求OE的长.
四、综合题
16．（2020九上·灌云月考）如图，在Rt△ABO中，∠O＝90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点C，交OA于点D.
（1）若∠A＝25°，则弧BC的度数为 .
（2）若OB＝3，OA＝4，求BC的长.
17．（2022九上·海曙期中）如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．
（1）求证：；
（2）若，求弦的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，如图：
∵AB是⊙O的弦，AB⊥CD，
∴
∵
∴
故答案为：D.
【分析】连接OA，利用勾股定理求出AM的长度，进而根据垂径定理即可求解.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵圆的直径为10cm，
又∵于点C，
∴OA=5cm，AC=3cm，
由勾股定理得，
故答案为：B
【分析】先根据题意结合垂径定理即可得到OA=5cm，AC=3cm，进而根据勾股定理即可求出OC。
3．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，AE⊥BC，
∴∠AFO=∠CEO=90°，
又∵，
∴∠C=∠A，
∵CD为直径，CD⊥AB，
∴，
∴∠AOD=2∠C，
J即∠AOD=2∠A，
∵∠AFO=90°，
∴∠A=30°，
∵AO=1，
∴OF=AO=，AF=OF=，
同理CE=，OE=，
连接OB，
∵CD⊥AB，AE⊥BC，
∴由垂径定理得：BF=AF=，BE=CE=，
∴四边形BEOF的面积S=S△BFO+S△BEO=××+=，
故答案为：C．
【分析】根据垂径定理得AF=BF，CE=BE，，求出∠AOD=2∠C，求出∠AOD=2∠A，求出∠A=30°，解直角三角形求出OF和BF，根据三角形的面积公式，即可得解．
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BE
∵OD⊥AB，AB=8
∴AC= BC =4
设OA=x
∵CD=2，
∴OC=x-2
在Rt△AOC中，AC2+OC2=OA2
∴42+(x-2)2=x2
解得： x=5
∴OA=OE=5，OC=3
∴ BE = 2CO=6
∵AE是直径
∴B=90°
∴CE==2
故答案为：D.
【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角形中位线的性质，先连接BE，再根据已知条件进行求解即可.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，过点D作DF⊥OE于点F，
∴BE=AB=0.7米，∠OEC=∠DFE=90°，
∵BC=0.7米，
∴CE=BE+BC=1.2米，
∵DC⊥AB，
∴∠C=90°，
∴四边形DCEF是矩形，
∴DF=CE=1.2米，EF=CD=0.7米，
设该门洞的半径OD=OB=x米，
由题意得，
解得，
∴该门洞的半径为1.3米.
故答案为：C.
【分析】过点O作OE⊥AB于点E，过点D作DF⊥OE于点F，由垂径定理得BE=AB=0.7米，由有三个角是直角得四边形是矩形得四边形DCEF是矩形，根据矩形的对边相等得DF=CE=1.2米，EF=CD=0.7米，设该门洞的半径OD=OB=x米，在△ODF与△OEB中，分别根据勾股定理建立方程，再结合OF=OE-EF，可求出该门洞所在圆的半径.
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：在中，
∴
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图：
∴M为AE的中点，
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：D.
【分析】在中，根据勾股定理求出AB的长度，过C作CM⊥AB，交AB于点M，则M为AE的中点，根据等面积法求出CM的长度，进而再利用勾股定理求出AM的长度，进而得到AE的长度，进而即可求解.
7．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆周角定理；轴对称图形
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，则本项错误；
②同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，则本项错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，则本项错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，则本项错误；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，则本项错误；
综上所述，不正确的有①②③④⑤，共5个，
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理、圆的基本性质、弧，圆心角，圆周角的关系逐项分析即可求解.
8．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，OC过O，
∴CD=AB，
∵AB=4，
∴AC=2，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OA==，
即⊙O的半径是，
故选：B．
【分析】根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OA，即可得出答案．
9．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
故答案为．
【分析】根据垂径定理可得进而得到再利用圆周角定理结合已知条件即可求解.
10．【答案】13
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，AB=24cm，
∴ ，，
设⊙O的半径OA为R，则OD=R，OC=R-8，
在中，，即，解得R=13.
故答案为：13.
【分析】先根据垂径定理得到 ，，再根据勾股定理列出等式，求解R即可.
11．【答案】3
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】由题意可得：
OA=5，
∴
故答案为：3
【分析】根据垂径定理及勾股定理即可求出答案.
12．【答案】；如图，取AB与网格线交点为P；连接CP并延长交网格线与点D，连接BD，与相交于点E．点E即为所求．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】（1）由题意得：
【分析】(1)利用勾股定理代入数据计算即可求解；
（2） 取AB与网格线交点为P；连接CP并延长交网格线与点D，连接BD，与的交点即为所求，从而求解.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接OD交AC于点F，
∵D是弧AC的中点 ，
∴OD⊥AC，AF=FC，
∴BC=2OF，
∵AB是直径 ，
∴∠C=90°，即∠C=∠DFE=90°，
∵∠DEF=∠CEB，DE=BE，
∴△DEF≌△BEC（AAS），
∴BC=DF，
∴DF=2OF，
∵OD=3=DF+OF=3OF，
∴OF=1，
在Rt△AFO中，OA=3，
∴AF==，
∴AC=2AF=.
故答案为：.
【分析】连接OD交AC于点F，则OD⊥AC，AF=FC，BC=2OF，再证△DEF≌△BEC（AAS），可得
BC=DF=2OF，由OD=3=DF+OF=3OF可求出OF=1，根据勾股定理求出AF的长，由AC=2AF即可求解.
14．【答案】解：过点O作AB的垂线，交AB于点P，交圆于C点，连结OB，
∵AB＝8dm，
∴BP＝4dm，
设排水管截面的半径为rdm，
由垂径定理和勾股定理得：
（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5dm，
故排水管截面的半径为5dm．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】根据垂径定理，可得BP的值；根据勾股定理，列二元一次方程，直接开平方即可求出排水管截面的半径.
15．【答案】（1）证明：∵ E是AD的中点，∴ AE=DE，
∵ OC 为⊙O的半径，∴，
∴ ∠CAD=∠CBA.
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°，
∵ E是AD的中点，∴ AE=DE，
∵ OC 为⊙O的半径，∴ CE⊥AD，
∴ ∠ACB=∠AEC=90°，
又∵ 由(1)得∠CAD=∠CBA，∴ △AEC∽△BCA，
∴，解得CE=3.6，
∴ OE=OC-CE=5-3.6=1.4.
∴ OE的长为1.4.
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)、根据垂径定理和等弧所对的圆周角相等即可.
(2)、根据垂径定理的推论，先得出OC⊥AD，再结合圆周角的性质，得到∠ACB=∠AEC=90°，然后利用三角形相似的判定和性质证出，代入数据直接计算求解即可.
16．【答案】（1）50°
（2）如图，作OH⊥BC于H.
在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3，
∴AB＝ ＝ ＝5，
∵S△AOB＝ OB OA＝ AB OH，
∴OH＝ ＝ ，
∴BH＝ ＝ ＝ ，
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，
∴BC＝2BH＝ .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：（1）连接OC.
∵∠AOB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝65°，
∴∠BCO＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴弧BC的度数为50°，
故答案为50°.
【分析】（1）连接OC，利用三角形的内角和定理求出∠B，再利用等腰三角形的性质求出∠BOC即可.（2）作OH⊥BC于H，利用面积法求出OH，再利用勾股定理求出BH，利用垂径定理BC=2BH即可解决问题.
17．【答案】（1）证明：∵AC是直径，AC⊥BD
∴
∴∠ABD=∠C
又∵OB=OC
∴∠OBC=∠C
∴∠CBO=∠ABD
（2）解：∵AE=4cm，CE=16cm
∴直径AC=AE+CE=20cm
∴OA=OB=10cm
∴OE=OA-AE=10-4=6cm
∵AC是直径，AC⊥BD
∴BE=ED= cm
∴BD=2BE=16cm
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得，根据等弧所对的圆周角相等得∠ABD=∠C，根据等边对等角可得∠OBC=∠C，根据等量代换即可得出答案；
（2）易得OA=OB=10cm，OE=6cm，在Rt△ODB中利用勾股定理算出BE的长，进而根据垂径定理可得BD=2BE，代入即可得出答案.
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