2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.4 过不共线三点作圆同步分层训练提升题
一、选择题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．圆的内接四边形的对角相等
C．三点确定一个圆
D．三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A、当两条弦都是圆的直径时，不相互垂直，也互相平分，A错误；
B、圆的内接四边形的对角互补，但不一定相等，B错误；
C、不在同一条直线上的三点确定一个圆，如果三点在一条直线上无法确定，C错误；
D、三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点，D正确；
故答案为：D.
【分析】A、根据垂径定理可直接判断.
B、根据圆内接四边形的性质可直接判断.
C、根据圆确定的条件可直接判断.
D、根据三角形的外接圆和外心可直接判断.
2．（2023九上·通榆期中）在直角三角形中，，则的外接圆半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： ∵，
∴AB==10，
∴的外接圆半径为AB=5.
故答案为：D.
【分析】直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，据此解答即可.
3．下列命题中，正确的是（ ）
① 顶点在圆周上的角是圆周角； ② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半；
③ 90°的圆周角所对的弦是直径； ④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆；
⑤ 同弧所对的圆周角相等。
A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
【答案】B
【知识点】圆周角定理；确定圆的条件
【解析】【分析】① 顶点在圆周上，并且两边和圆相交的角才叫做圆周角，故第一个错误；
② 必须是同弧或等弧所对的圆周角才等于圆心角的一半，故第二个也错误；
③ 圆周角定理推论，90°的圆周角所对的弦是直径。故第三个正确；
④ 符合确定圆的条件，故第四个正确；
⑤ 根据圆周角定理推论，第五个正确；
所以正确的是③④⑤．
【点评】难度系数中等，学生需熟练掌握圆周角的概念，定理以及相关推论。
4．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，连结AB，AE，DE，CF，下列三角形中，外心是点O的是（ ）
A．△ABF B．△ACF C．△ADE D．△AEF
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵△ADE 的三个顶点均在圆O上，
∴点O是 △ADE的外接圆圆心.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查三角形的外接圆圆心，根据三角形外接圆的定义进行求解即可.
5．（2023九上·龙湾期中）若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵62+82=102，
∴三角形为直角三角形，
∴这个三角形外接圆是以斜边为直径，
∴半径为5.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理得这个三角形为直角三角形，根据圆周角定理得斜边为直径，半径即可求得.
6．（2023九上·义乌期中）下列命题中，正确的是（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②90°的圆周角所对的弦是直径；
③不在同一条直线上的三个点确定一个圆；④相等的圆周角所对的弧相等．
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；确定圆的条件
【解析】【解答】解： ①平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故不符合题意；
②90°的圆周角所对的弦是直径，正确，故符合题意；
③不在同一条直线上的三个点确定一个圆，正确，故符合题意；
④，在同圆或等预案中，相等的圆周角所对的弧相等，故不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理的推论，圆周角定理、确定圆的条件，圆周角与弧的关系逐一判断即可.
7．（2023九上·诸暨月考）如图，是的外接圆，过点作于点，于点，连接，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】垂径定理；三角形的外接圆与外心；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵是的外接圆，过点作于点，
∴
同理：
∴为中位线，
∴
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理：过圆心不是直径的线垂直不是直径的弦，则这条直线平分弦，即可得到点E为AC中点，同理的到点D为BC中点，最后根据三角形中位线定理即可求解.
8．如图，在Rt△ABC中，二ACB=90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上.记该圆的面积为的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点为O，AC的中点为D，连接OE，OG，OD，OC，
设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
则a2+b2＝c2，①
取AB的中点为O，
∵△ABC是直角三角形，
∴OA＝OB＝OC，
∵圆心在MN和HG的垂直平分线上，
∴O为圆心，
由勾股定理得：
，②
由①②得a＝b，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】先分别表示出设Rt△ABC的三边长，然后设⊙O的半径为r，由勾股定理可得，然后整理结合a2+b2＝c2，可得出a，b，c，r的关系，最后用含c的式子表示S1和S2，则可求出比值即可解答．
二、填空题
9．（2024九上·房山期末）在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点.已知点，，是的外接圆.
⑴点P的横坐标为 ；
⑵若最大时，则点A的坐标为 .
【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵是的外接圆
∴P在BC的垂直平分线上
∵，
∴OB=1，OC=5
∴BC=5-1=4
∴P的横坐标为1+2=3
（2）当圆P与y轴相切时，∠BAC最大
连接AP，PC，过P作PH⊥BC于H
∴
由（1）可知OB=1，BC=4
∴BH=CH=2
∴OH=3
∴AP⊥OA
∵∠AOH=90°
∴四边形AOHP是矩形
∴PC=AP=OH=3，AO=PH
∵
∴
∴点A的坐标为
【分析】（1）由B，C坐标得出OB，OC长，再根据圆的性质，点P在BC垂直平方线上即可求出答案.
（2）当圆P与y轴相切时，∠BAC最大，连接AP，PC，过P作PH⊥BC于H，由垂径定理可得BH长，再根据矩形性质，勾股定理即可求出答案.
10．已知等边三角形ABC的边长为6，那么能够完全覆盖这个等边三角形ABC的最小圆的半径是
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径是△ABC外接圆的半径，
设⊙O是△ABC外接圆，连接OB、OC，作OE⊥BC于E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，∠BOC=2∠A=120°，
∵OB=OC，OE⊥BC，
∴∠BOE=60°，BE=EC=3，
∴sin60°=，
∴OB=.
故答案为：.
【分析】能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径是△ABC外接圆的半径，求出外接圆的半径即可求解.
11．已知的半径为2，等边三角形ABC内接于，则的边长为 ，面积为 .
【答案】；
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OB，OA，
∴∠BDO=90°，AB=2BD，
∵等边△ABC内接于圆O，
∴∠BOD=，
∴∠OBD=90°-60°=30°，
∴OD=OB=1，
∴，
∴AB=；
∴S△ABC=3S△AOB=
故答案为：，.
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，连接OB，OA，利用垂径定理可证得AB=2BD，利用正多边形和圆的性质及等边三角形的性质可求出∠BOD的度数，同时求出∠OBD的度数；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求粗OD的长，利用勾股定理求出BD的长，可得到AB的长；然后根据S△ABC=3S△AOB，利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积.
12．（2023八下·安源期中）已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=70°，则∠BOC= ．
【答案】140°
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵O为三边垂直平分线交点，
∴点O为以O为圆心，OB为半径的圆的外心，且ABC都在圆上，
∵∠BAC=70°，
∴∠BOC=2∠BAC=140°，
故答案为：140°
【分析】先根据题意判断出点O为以O为圆心，OB为半径的圆的外心，且ABC都在圆上，再结合圆心角和圆周角的关系即可求解。
13．（2023九上·南开月考）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B均在格点上，顶点C在网格线上，.
（1）线段的长等于 ；
（2）P是如图所示的的外接圆上的动点，当时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）.
【答案】（1）
（2）见解析
【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】（1），故答案为：；
（2）取格点D，由勾股定理得：
，，，
∵，∴，∴，
∴，是的直径，
由方格知，则与相交于点O，
∴是的直径，∴O为圆心，∵，∴，
∵，∴.
如图，取格点D，连接并延长，与的外接圆相交于点E，连接；取的外接圆与网格线的交点F，G，连接与相交于点O；连接并延长，与的外接圆交于点P，则点P即为所求.
【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长度；
（2）根据题意作图，结合圆周角定理、三角形的外接圆的性质进行判断。
三、解答题
14．如图，一长度为4m的梯子AB架在墙上，在点A向点C滑动的过程中，梯子的两端A，B与墙的底端C构成的三角形的外心与点C的距离是否变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，则求出其长度．
【答案】解：不会发生变化．
∵△ABC是直角三角形，其外心是斜边AB的中点，外心到点C的距离为AB的一半，即2m．
而AB的长度不变，
∴外心与点C的距离不变．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】根据直角三角形外接圆圆心的性质和线段的垂直平分线的性质可求解.
15．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=2∠ACB，点D平分，连结AD，BD，CD.
（1）求证：AB=CD.
（2）过点D作DG//AB，分别交AC，BC于点E，F，交⊙O于点G.
①若AD=a，BC=b，求线段EF的长.（用含a，b的代数式表示）
②若∠ABC=72°，求证：FG2=EF·DF.
【答案】（1）证明：∵点D平分，
∴，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC，
∴2∠CBD＝∠ABC，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD，
∴AB＝CD；
（2）①解：由（1）可知，AB＝AD＝CD＝a，则，
∴，
∴∠BCD＝∠ABC，
∵DG∥AB，
∴∠DFC＝∠ABC，
∴∠BCD＝∠DFC，
∴DF＝CD，
∴DF＝AB，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABFD是菱形，
∴BF＝AD＝a，CF＝b﹣a，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，即，
解得：，
∴线段EF的长为；
②证明：∵∠ABC＝72°，
∴∠ACB＝36°，
∴∠CAB＝72°，
∵DG∥AB，
∴∠CEF＝∠CFE＝72°，
∵∠DFC＝∠DCF＝72°，
∴△CEF∽△DCF，
∴，即EF DF＝CF2，
如图，连接CG，
∴∠DGC＝∠DBC＝36°，
∵∠FCG＝∠DFC﹣∠DGC＝36°，
∴∠DGC＝∠FCG，
∴FG＝CF，
∴FG2＝EF DF．
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质
【解析】 【分析】（1）由点D平分，可得，则∠ABD＝∠CBD，由∠ABD+∠CBD＝∠ABC，可得2∠CBD＝∠ABC，则∠ACB＝∠CBD，进而结论得证；
（2）①证明四边形ABFD是菱形，则BF＝AD＝a，CF＝b﹣a，证明△CEF∽△CAB，则，即，求解即可；
②由∠ABC＝72°，可得∠ACB＝36°，∠CAB＝72°，由DG∥AB，可得∠CEF＝∠CFE＝72°，证明△CEF∽△DCF，则，即EF DF＝CF2，如图，连接CG，∠DGC＝∠DBC＝36°，说明∠DGC＝∠FCG，则FG＝CF，进而结论得证．
四、综合题
16．（2023九上·宁波期末）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．
（1）如图1，点C是的中点，∠DAB是所对的圆周角，AD＞AB，连结AC、DC、CB，试说明△ACB与△ACD是偏等三角形．
（2）如图2，△ABC与△DEF是偏等三角形，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，则∠B+∠E＝ .请填写结论，并说明理由．
（3）如图3，△ABC内接于⊙O，AC＝4，∠A＝30°，∠B＝105°，若点D在⊙O上，且△ADC与△ABC是偏等三角形，AD＞CD，求AD的值．
【答案】（1）解：∵点C是弧BD的中点，
∴BC＝CD，∠BAC＝∠DAC．
又∵AC＝AC，
∴△ACB与△ACD是偏等三角形；
（2）180°
（3）解：分类讨论：①当BC＝CD时，如图，
∵BC＝CD，∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝30°．
∵∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°-∠ABC＝180°-105°＝75°，
∴∠ACD＝180°-∠DAC-∠ADC＝180°-30°-75°＝75°，
∴∠ADC＝∠ACD，∠ACD＞∠DAC，
∴AD＞CD符合题意，
∴AD＝AC＝4；
②当AB＝CD时，
如图，过点D作DE⊥AC于点E，
∵AB＝CD，∠ACB＝180°-∠CAB-∠B＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∴AE＝DE，∠ACD＝180°-∠DAC-∠ADC＝180°-45°-75°＝60°，
又∵∠DAC＝30°，
∴∠ACD＞∠DAC，
∴AD＞CD，符合题意．
设CE＝x，则 ，
∵AC＝AE+CE，即4＝x+ x，
∴x＝
∴AE＝DE＝ × ＝
∴AD＝ AE＝ × ＝
综上可知AD的值为4或 ．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心；解直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（2）如图，在线段DE上取点G，使DG＝AB，连接FG．
由题意可知在△ABC和△DGF中，
，
∴△ABC≌△DGF（SAS），
∴∠B＝∠DGF，BC＝GF．
又∵BC＝EF，
∴GF＝EF，
∴∠E＝∠FGE．
∵∠DGF+∠FGE＝180°，
∴∠B+∠E＝180°，
故答案为：180°；
【分析】（1）利用圆周角定理可证得BC=BD，∠BAC=∠DAC，利用偏等三角形的定义可证得结论.
（2）在线段DE上取点G，使DG＝AB，连接FG，利用SAS证明△ABC≌△DGF，利用全等三角形的性质可证得∠B＝∠DGF，BC＝GF；由此可推出GF=EF，可证得∠E＝∠FGE，即可求出∠B+∠E的度数.
（3）利用△ADC与△ABC是偏等三角形，分情况讨论：当BC＝CD时，利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠ADC的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠ACD的度数；可推出∠ADC＝∠ACD，∠ACD＞∠DAC，由此可求出AD的长；当AB＝CD时，过点D作DE⊥AC于点E，可求出∠DAC的度数，可证得△ADE是等腰直角三角形，可证得AE=DE，同时可求出∠ACD的度数，可得到∠ACD＞∠DAC，利用大角对大边，可得到AD＞CD；设CE=x，可表示出DE，AE的长，根据AC=AE+CE，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；再求出AE的长，利用解直角三角形可求出AD的长；综上所述可得到符合题意的AD的长.
17．（2022·西城模拟）已知：如图，△ABC．
求作：点D（点D与点B在直线AC的异侧），使得DA=DC，且∠ADC+∠ABC=180°．
作法：①分别作线段AC的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2，直线l1与l2交于点O；
②以点O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O与l1在直线BC上方的交点为D；
③连接DA，DC．
所以点D就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA，OB，OC．
∵直线l1垂直平分AC，点O，D都在直线l1上，
∴OA=OC，DA=DC．
∵直线l2垂直平分BC，点O在直线l2上，
∴ ▲ = ▲ ．
∴OA=OB=OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
∵点D在⊙O上，
∴∠ADC+∠ABC=180°．（ ）（填推理的依据）
【答案】（1）解：如图，点D就是所求作的点．
（2）证明：连接OA，OB，OC．
∵直线l1垂直平分AC，点O，D都在直线l1上，
∴OA=OC，DA=DC．
∵直线l2垂直平分BC，点O在直线l2上，
∴OB=OC．
∴OA=OB=OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
∵点D在⊙O上，
∴∠ADC+∠ABC=180°．（圆内接四边形对角互补）
故答案为：OB，OC，圆内接四边形对角互补．
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据作法进行作图即可；
（2）连接OA，OB，OC．由线段垂直平分线的性质可得OA=OB=OC， DA=DC ，从而得出点A，B，C都在⊙O上，由点D在⊙O上，根据圆内接四边形对角互补即可求解．
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.4 过不共线三点作圆同步分层训练提升题
一、选择题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．圆的内接四边形的对角相等
C．三点确定一个圆
D．三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心
2．（2023九上·通榆期中）在直角三角形中，，则的外接圆半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．下列命题中，正确的是（ ）
① 顶点在圆周上的角是圆周角； ② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半；
③ 90°的圆周角所对的弦是直径； ④ 不在同一条直线上的三个点确定一个圆；
⑤ 同弧所对的圆周角相等。
A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
4．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，连结AB，AE，DE，CF，下列三角形中，外心是点O的是（ ）
A．△ABF B．△ACF C．△ADE D．△AEF
5．（2023九上·龙湾期中）若一个三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形外接圆的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2023九上·义乌期中）下列命题中，正确的是（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②90°的圆周角所对的弦是直径；
③不在同一条直线上的三个点确定一个圆；④相等的圆周角所对的弧相等．
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
7．（2023九上·诸暨月考）如图，是的外接圆，过点作于点，于点，连接，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
8．如图，在Rt△ABC中，二ACB=90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上.记该圆的面积为的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024九上·房山期末）在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点.已知点，，是的外接圆.
⑴点P的横坐标为 ；
⑵若最大时，则点A的坐标为 .
10．已知等边三角形ABC的边长为6，那么能够完全覆盖这个等边三角形ABC的最小圆的半径是
11．已知的半径为2，等边三角形ABC内接于，则的边长为 ，面积为 .
12．（2023八下·安源期中）已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=70°，则∠BOC= ．
13．（2023九上·南开月考）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B均在格点上，顶点C在网格线上，.
（1）线段的长等于 ；
（2）P是如图所示的的外接圆上的动点，当时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）.
三、解答题
14．如图，一长度为4m的梯子AB架在墙上，在点A向点C滑动的过程中，梯子的两端A，B与墙的底端C构成的三角形的外心与点C的距离是否变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，则求出其长度．
15．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=2∠ACB，点D平分，连结AD，BD，CD.
（1）求证：AB=CD.
（2）过点D作DG//AB，分别交AC，BC于点E，F，交⊙O于点G.
①若AD=a，BC=b，求线段EF的长.（用含a，b的代数式表示）
②若∠ABC=72°，求证：FG2=EF·DF.
四、综合题
16．（2023九上·宁波期末）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．
（1）如图1，点C是的中点，∠DAB是所对的圆周角，AD＞AB，连结AC、DC、CB，试说明△ACB与△ACD是偏等三角形．
（2）如图2，△ABC与△DEF是偏等三角形，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，则∠B+∠E＝ .请填写结论，并说明理由．
（3）如图3，△ABC内接于⊙O，AC＝4，∠A＝30°，∠B＝105°，若点D在⊙O上，且△ADC与△ABC是偏等三角形，AD＞CD，求AD的值．
17．（2022·西城模拟）已知：如图，△ABC．
求作：点D（点D与点B在直线AC的异侧），使得DA=DC，且∠ADC+∠ABC=180°．
作法：①分别作线段AC的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2，直线l1与l2交于点O；
②以点O为圆心，OA的长为半径画圆，⊙O与l1在直线BC上方的交点为D；
③连接DA，DC．
所以点D就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA，OB，OC．
∵直线l1垂直平分AC，点O，D都在直线l1上，
∴OA=OC，DA=DC．
∵直线l2垂直平分BC，点O在直线l2上，
∴ ▲ = ▲ ．
∴OA=OB=OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
∵点D在⊙O上，
∴∠ADC+∠ABC=180°．（ ）（填推理的依据）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：A、当两条弦都是圆的直径时，不相互垂直，也互相平分，A错误；
B、圆的内接四边形的对角互补，但不一定相等，B错误；
C、不在同一条直线上的三点确定一个圆，如果三点在一条直线上无法确定，C错误；
D、三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点，D正确；
故答案为：D.
【分析】A、根据垂径定理可直接判断.
B、根据圆内接四边形的性质可直接判断.
C、根据圆确定的条件可直接判断.
D、根据三角形的外接圆和外心可直接判断.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解： ∵，
∴AB==10，
∴的外接圆半径为AB=5.
故答案为：D.
【分析】直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，据此解答即可.
3．【答案】B
【知识点】圆周角定理；确定圆的条件
【解析】【分析】① 顶点在圆周上，并且两边和圆相交的角才叫做圆周角，故第一个错误；
② 必须是同弧或等弧所对的圆周角才等于圆心角的一半，故第二个也错误；
③ 圆周角定理推论，90°的圆周角所对的弦是直径。故第三个正确；
④ 符合确定圆的条件，故第四个正确；
⑤ 根据圆周角定理推论，第五个正确；
所以正确的是③④⑤．
【点评】难度系数中等，学生需熟练掌握圆周角的概念，定理以及相关推论。
4．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵△ADE 的三个顶点均在圆O上，
∴点O是 △ADE的外接圆圆心.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查三角形的外接圆圆心，根据三角形外接圆的定义进行求解即可.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵62+82=102，
∴三角形为直角三角形，
∴这个三角形外接圆是以斜边为直径，
∴半径为5.
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理的逆定理得这个三角形为直角三角形，根据圆周角定理得斜边为直径，半径即可求得.
6．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；确定圆的条件
【解析】【解答】解： ①平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故不符合题意；
②90°的圆周角所对的弦是直径，正确，故符合题意；
③不在同一条直线上的三个点确定一个圆，正确，故符合题意；
④，在同圆或等预案中，相等的圆周角所对的弧相等，故不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理的推论，圆周角定理、确定圆的条件，圆周角与弧的关系逐一判断即可.
7．【答案】C
【知识点】垂径定理；三角形的外接圆与外心；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵是的外接圆，过点作于点，
∴
同理：
∴为中位线，
∴
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理：过圆心不是直径的线垂直不是直径的弦，则这条直线平分弦，即可得到点E为AC中点，同理的到点D为BC中点，最后根据三角形中位线定理即可求解.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点为O，AC的中点为D，连接OE，OG，OD，OC，
设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
则a2+b2＝c2，①
取AB的中点为O，
∵△ABC是直角三角形，
∴OA＝OB＝OC，
∵圆心在MN和HG的垂直平分线上，
∴O为圆心，
由勾股定理得：
，②
由①②得a＝b，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】先分别表示出设Rt△ABC的三边长，然后设⊙O的半径为r，由勾股定理可得，然后整理结合a2+b2＝c2，可得出a，b，c，r的关系，最后用含c的式子表示S1和S2，则可求出比值即可解答．
9．【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵是的外接圆
∴P在BC的垂直平分线上
∵，
∴OB=1，OC=5
∴BC=5-1=4
∴P的横坐标为1+2=3
（2）当圆P与y轴相切时，∠BAC最大
连接AP，PC，过P作PH⊥BC于H
∴
由（1）可知OB=1，BC=4
∴BH=CH=2
∴OH=3
∴AP⊥OA
∵∠AOH=90°
∴四边形AOHP是矩形
∴PC=AP=OH=3，AO=PH
∵
∴
∴点A的坐标为
【分析】（1）由B，C坐标得出OB，OC长，再根据圆的性质，点P在BC垂直平方线上即可求出答案.
（2）当圆P与y轴相切时，∠BAC最大，连接AP，PC，过P作PH⊥BC于H，由垂径定理可得BH长，再根据矩形性质，勾股定理即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】如图，能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径是△ABC外接圆的半径，
设⊙O是△ABC外接圆，连接OB、OC，作OE⊥BC于E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，∠BOC=2∠A=120°，
∵OB=OC，OE⊥BC，
∴∠BOE=60°，BE=EC=3，
∴sin60°=，
∴OB=.
故答案为：.
【分析】能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径是△ABC外接圆的半径，求出外接圆的半径即可求解.
11．【答案】；
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OB，OA，
∴∠BDO=90°，AB=2BD，
∵等边△ABC内接于圆O，
∴∠BOD=，
∴∠OBD=90°-60°=30°，
∴OD=OB=1，
∴，
∴AB=；
∴S△ABC=3S△AOB=
故答案为：，.
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，连接OB，OA，利用垂径定理可证得AB=2BD，利用正多边形和圆的性质及等边三角形的性质可求出∠BOD的度数，同时求出∠OBD的度数；利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求粗OD的长，利用勾股定理求出BD的长，可得到AB的长；然后根据S△ABC=3S△AOB，利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积.
12．【答案】140°
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵O为三边垂直平分线交点，
∴点O为以O为圆心，OB为半径的圆的外心，且ABC都在圆上，
∵∠BAC=70°，
∴∠BOC=2∠BAC=140°，
故答案为：140°
【分析】先根据题意判断出点O为以O为圆心，OB为半径的圆的外心，且ABC都在圆上，再结合圆心角和圆周角的关系即可求解。
13．【答案】（1）
（2）见解析
【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】（1），故答案为：；
（2）取格点D，由勾股定理得：
，，，
∵，∴，∴，
∴，是的直径，
由方格知，则与相交于点O，
∴是的直径，∴O为圆心，∵，∴，
∵，∴.
如图，取格点D，连接并延长，与的外接圆相交于点E，连接；取的外接圆与网格线的交点F，G，连接与相交于点O；连接并延长，与的外接圆交于点P，则点P即为所求.
【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长度；
（2）根据题意作图，结合圆周角定理、三角形的外接圆的性质进行判断。
14．【答案】解：不会发生变化．
∵△ABC是直角三角形，其外心是斜边AB的中点，外心到点C的距离为AB的一半，即2m．
而AB的长度不变，
∴外心与点C的距离不变．
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【分析】根据直角三角形外接圆圆心的性质和线段的垂直平分线的性质可求解.
15．【答案】（1）证明：∵点D平分，
∴，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC，
∴2∠CBD＝∠ABC，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD，
∴AB＝CD；
（2）①解：由（1）可知，AB＝AD＝CD＝a，则，
∴，
∴∠BCD＝∠ABC，
∵DG∥AB，
∴∠DFC＝∠ABC，
∴∠BCD＝∠DFC，
∴DF＝CD，
∴DF＝AB，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABFD是菱形，
∴BF＝AD＝a，CF＝b﹣a，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，即，
解得：，
∴线段EF的长为；
②证明：∵∠ABC＝72°，
∴∠ACB＝36°，
∴∠CAB＝72°，
∵DG∥AB，
∴∠CEF＝∠CFE＝72°，
∵∠DFC＝∠DCF＝72°，
∴△CEF∽△DCF，
∴，即EF DF＝CF2，
如图，连接CG，
∴∠DGC＝∠DBC＝36°，
∵∠FCG＝∠DFC﹣∠DGC＝36°，
∴∠DGC＝∠FCG，
∴FG＝CF，
∴FG2＝EF DF．
【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质
【解析】 【分析】（1）由点D平分，可得，则∠ABD＝∠CBD，由∠ABD+∠CBD＝∠ABC，可得2∠CBD＝∠ABC，则∠ACB＝∠CBD，进而结论得证；
（2）①证明四边形ABFD是菱形，则BF＝AD＝a，CF＝b﹣a，证明△CEF∽△CAB，则，即，求解即可；
②由∠ABC＝72°，可得∠ACB＝36°，∠CAB＝72°，由DG∥AB，可得∠CEF＝∠CFE＝72°，证明△CEF∽△DCF，则，即EF DF＝CF2，如图，连接CG，∠DGC＝∠DBC＝36°，说明∠DGC＝∠FCG，则FG＝CF，进而结论得证．
16．【答案】（1）解：∵点C是弧BD的中点，
∴BC＝CD，∠BAC＝∠DAC．
又∵AC＝AC，
∴△ACB与△ACD是偏等三角形；
（2）180°
（3）解：分类讨论：①当BC＝CD时，如图，
∵BC＝CD，∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝30°．
∵∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°-∠ABC＝180°-105°＝75°，
∴∠ACD＝180°-∠DAC-∠ADC＝180°-30°-75°＝75°，
∴∠ADC＝∠ACD，∠ACD＞∠DAC，
∴AD＞CD符合题意，
∴AD＝AC＝4；
②当AB＝CD时，
如图，过点D作DE⊥AC于点E，
∵AB＝CD，∠ACB＝180°-∠CAB-∠B＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∴AE＝DE，∠ACD＝180°-∠DAC-∠ADC＝180°-45°-75°＝60°，
又∵∠DAC＝30°，
∴∠ACD＞∠DAC，
∴AD＞CD，符合题意．
设CE＝x，则 ，
∵AC＝AE+CE，即4＝x+ x，
∴x＝
∴AE＝DE＝ × ＝
∴AD＝ AE＝ × ＝
综上可知AD的值为4或 ．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心；解直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（2）如图，在线段DE上取点G，使DG＝AB，连接FG．
由题意可知在△ABC和△DGF中，
，
∴△ABC≌△DGF（SAS），
∴∠B＝∠DGF，BC＝GF．
又∵BC＝EF，
∴GF＝EF，
∴∠E＝∠FGE．
∵∠DGF+∠FGE＝180°，
∴∠B+∠E＝180°，
故答案为：180°；
【分析】（1）利用圆周角定理可证得BC=BD，∠BAC=∠DAC，利用偏等三角形的定义可证得结论.
（2）在线段DE上取点G，使DG＝AB，连接FG，利用SAS证明△ABC≌△DGF，利用全等三角形的性质可证得∠B＝∠DGF，BC＝GF；由此可推出GF=EF，可证得∠E＝∠FGE，即可求出∠B+∠E的度数.
（3）利用△ADC与△ABC是偏等三角形，分情况讨论：当BC＝CD时，利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠ADC的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠ACD的度数；可推出∠ADC＝∠ACD，∠ACD＞∠DAC，由此可求出AD的长；当AB＝CD时，过点D作DE⊥AC于点E，可求出∠DAC的度数，可证得△ADE是等腰直角三角形，可证得AE=DE，同时可求出∠ACD的度数，可得到∠ACD＞∠DAC，利用大角对大边，可得到AD＞CD；设CE=x，可表示出DE，AE的长，根据AC=AE+CE，可得到关于x的方程，解方程求出x的值；再求出AE的长，利用解直角三角形可求出AD的长；综上所述可得到符合题意的AD的长.
17．【答案】（1）解：如图，点D就是所求作的点．
（2）证明：连接OA，OB，OC．
∵直线l1垂直平分AC，点O，D都在直线l1上，
∴OA=OC，DA=DC．
∵直线l2垂直平分BC，点O在直线l2上，
∴OB=OC．
∴OA=OB=OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
∵点D在⊙O上，
∴∠ADC+∠ABC=180°．（圆内接四边形对角互补）
故答案为：OB，OC，圆内接四边形对角互补．
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据作法进行作图即可；
（2）连接OA，OB，OC．由线段垂直平分线的性质可得OA=OB=OC， DA=DC ，从而得出点A，B，C都在⊙O上，由点D在⊙O上，根据圆内接四边形对角互补即可求解．
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