2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.5 直线与圆的位置关系同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024九上·河西期末）一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形
【解析】【解答】过点O作垂足为点D，如图，
由题意可得∠OAD=30°，
故答案为：C.
【分析】由题意画出图形，过点O作垂足为点D，利用特殊角的三角函数值得到从而求解.
2．（2024九下·哈尔滨开学考）如图，AB为的直径，CD是的切线，切点为，连接AC，若，则的度数为（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC
∵CD是O的切线
∴OCCD
∴∠OCD= 90°
∵∠BAC = 40°， OC = OA
∴∠OCA= ∠BAC =40°
∴∠ACD= 90°- 40°=50°
故选：C.
【分析】本题主要考查圆的切线的应用，由切线得出∠OCD= 90°，再利用等腰三角形得出∠OCA= 40°，直接求解即可.
3．（2024九上·黔南期末）如图，与分别相切于点，则（ ）
A．3 B．2 C．6 D．4
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】∵PA和PB与分别相切于点A，B，
∴PA=PB，
∵∠P=60°，
∴△ABP是等边三角形，
∵PA=2，
∴AB=PA=2，
故答案为：B.
【分析】先利用切线长定理可得PA=PB，再结合∠P=60°，证出△ABP是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得AB=PA=2，从而得解.
4．（2024九上·河东期末）如图，已知点是外一点，用直尺和圆规过点作一条直线，使它与相切于点.下面是忠忠给出的两种作法：
作法Ⅰ：如图①，作线段的垂直平分线交于点：以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线.直线即为所求.
作法Ⅱ：如图②，连接，交于点，作直径，以为圆心，长为半径作弧：以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，交于点，作直线.直线即为所求.对于忠忠的两种作法，下列说法正确的是（ ）
A．两种作法都正确 B．两种作法都错误
C．作法Ⅰ正确，作法Ⅱ错误 D．作法Ⅱ正确，作法Ⅰ错误
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：作法Ⅰ：连接、
∵线段的垂直平分线交于点G
∴，
∵以点G为圆心，长为半径画弧交于点M，
∴点在上，且为直径
∴
∴直线与相切；
作法Ⅱ：∵以O为圆心，长为半径作弧
∴，
∵以P为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，
∴
∴
∴直线与相切；
综上所述，两种作法都正确；
故答案为：A．
【分析】根据切线的判定定理、圆周角定理、垂直平分线的性质求解．
5．如图，AB切于点，连结OA交于点交于点，连结CD，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；圆周角定理；切线的判定
【解析】【解答】解：连接OB，如图：
∵AB是圆O的切线，
∴OBAB，∠OBA=90°，
∵BD∥OA，∠OCD=25°，
∴∠CDB=∠OCD=25°，
∴∠COB=2∠CDB=50°，
∴∠A=180°-∠COB-∠OBA=40°，
故答案为：C.
【分析】根据切线的性质可知OB与AB垂直，根据平行线的性质可知∠CDB=∠OCD（内错角相等），再根据圆周角定理可知∠COB=2∠CDB（圆心角是圆周角的2倍），从而可求出∠A.
6．如图，木工用角尺的短边紧靠于点，长边与相切于点，角尺的直角顶点为.已知，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，如图：
根据题意可知OBBC，
∴四边形ACBD是矩形，
∵AC=6cm，CB=8cm，
∴AD=CB=8cm，BD=AC=6cm，
∵OA2=AD2+OD2=AD2+（OA-BD）2
∴OA=cm，
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可知OBBC，从而得到四边形ACBD是矩形，根据矩形的性质可知AD=CB=8cm，BD=AC=6cm，而OD=OB-BD=OA-BD，通过勾股定理可求出OA的长度.
7．（2023九上·长沙月考）如图，是的直径，与的相切，与的延长线相交于点C，若，那么为（ ）
A．26° B．27° C．32° D．37°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示：
∵CD与相切，
∴∠ODC=90°，
∵，
∴∠DOC=180°-∠ODC-∠C=64°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠DOC=∠OAD+∠ODA，
∴∠A=∠DOC=32°，
故答案为：C.
【分析】先利用切线的性质及三角形的内角和求出∠DOC=180°-∠ODC-∠C=64°，再利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质求出∠A=∠DOC=32°即可.
8．（2023九上·南开月考）如图，的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接，，.以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧在的内部交于点P；作射线.给出下列结论：
①射线一定过点O；
②点O是三条中线的交点；
③点O是三条边的垂直平分线的交点；
④点O是三条边的垂直平分线的交点.
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；角平分线的定义
【解析】【解答】解：根据题意可得，BP为∠ABC的平分线，三角形内切圆的圆心为三角形三个内角角平分线的交点，
∴①正确，③错误；
三角形外接圆的圆心为三角形三条垂直平分线的交点，
∴②错误，④正确；
故答案为：2.
【分析】根据三角形外接圆、内切圆的性质，角平分线的作图判断即可。
二、填空题
9．如图，PA，PB分别与⊙О相切于A，B两点，且∠APB=56°.若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 .
【答案】 或
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接CA，BC，
∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠AOB+∠PAO+∠PBO+∠APB＝360°，
∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°，
∴∠ACB∠AOB＝62°．
当点C在劣弧AB上时，由圆内接四边形的性质得∠ACB＝180°-62°=118°，
故答案为：62°或118°．
【分析】首先由切线的性质求得∠PAO＝∠PBO＝90°，然后由四边形内角和定理可得∠AOB＝124°，再根据圆周角定理即可解答．
10．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末）如图，是的切线，是切点，连结、若，则的大小为 度
【答案】54
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质
【解析】【解答】∵MN是的切线，是切点，
∴∠OMN=90°，
∵∠N=36°，
∴∠MON=180°-∠OMN-∠N=180°-90°-36°=54°，
故答案为：54.
【分析】利用切线的性质可得∠OMN=90°，再利用三角形的内角和求出∠MON的度数即可.
11．（2023九上·渝北期中）如图，，是的切线，，是切点，若，则 ．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质
【解析】【解答】解：∵，是的切线，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
【分析】先根据切线的性质得到，进而根据四边形的内角和为360°即可求解。
12．（2023九上·通榆期中）如图，PA、PB分别切⊙O于A，B两点，BC为直径，∠ABC=30°，若AB=2，则△ABP的周长为 ．
【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解： ∵PA、PB分别切⊙O于A，B两点 ，
∴∠PBC=90°，PA=PB，
∵ ∠ABC=30°，
∴∠PBA=90°-30°=60°，
∴△PBA为等边三角形，
∴PB=PA=AB=2，
∴ △ABP的周长为PB+PA+AB=6.
故答案为：6.
【分析】先证△PBA为等边三角形，可得PB=PA=AB=2，从而求出△ABP的周长.
13．（2023九上·南开月考）如图，在矩形中，已知，，以CD为直径作，将矩形绕点C旋转，使所得矩形的边与相切，切点为M，边与相交于点N，则CN的长为 .
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；切线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：
过点O作OH⊥B'C，垂足为点H，连接OM，延长MO交D'C于点G，
∴OMB'=OHB'=90°
根据旋转的性质可得，B'CD'=B'，AB-CD=6，BC=B'C=4，
∴四边形OMB'H和四边形MB'CG均为矩形，OE=OD=OC=3，
∴B'H=OM=3，
∴CH=B'C-B'H=1，
∴CG=B'M=OH==2，
∵四边形MB'CG为矩形，
∴OGC=90°，即OG⊥CD'，
∴CN=2CG=4；
故答案为：4.
【分析】根据圆的切线的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质求出答案即可。连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B'C，由旋转性质知∠B'=∠B'CD'=90°，AB=CD=6，BC=B'C=4，从而得出四边形OEB'H和四边形EB'CG都是矩形且OE=OD=OC=3，继而求得CG=B'M=OH==2，根据垂径定理可得CF的长．
三、解答题
14．（2023九上·凉州月考） 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．求证：直线AB是O的切线．
【答案】证明：连接OC，如图
∵OA= OB，CA= CB，
∴OC⊥AB，
又∵OC是O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线.
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】 连接OC，由OA= OB，CA= CB，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB， 又因为点C在 ⊙O上 ，利用切线的判定定理即可求解，可以简记为“点在圆上，连半径，证垂直”即可.
15．（2024九下·榕江月考）如图所示，AB是☉O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD=∠AED，且DE=，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F.
（1）求证：PA是☉O的切线；
（2）若tan∠DAE=，求EF的长.
【答案】（1）证明：∵AB是☉O的直径，
∴∠ADB=90°.
∴∠DAB+∠DBA=90°.
∵=，∴∠AED=∠ABD.
∵∠PAD=∠AED，∴∠PAD=∠ABD.
∴∠BAD+∠PAD=∠BAD+∠ABD=90°，
即∠PAB=90°.
∴PA是☉O的切线.
（2）解：如图所示，连接OE，EB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE.
∴BE=DE=.
∴OE⊥BD.
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE.
∴∠DAE=∠AEO.
∴AD∥OE.
∵AB是☉O的直径，
∴∠ADF=∠BEF=90°.
∵=，∴∠DAE=∠DBE.
∴tan∠EBF=tan∠DAE=.
∴=.
∴EF=EB=1.
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理；切线的判定；切线的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角求得∠ADB=90°，进而求得∠DAB+∠DBA=90°，利用同弧所对的圆周角相等得到∠AED=∠ABD，结合∠PAD=∠AED，利用等量代换求得∠PAB=90°，从而证明PA是☉O的切线；
（2）连接OE，EB，利用角平分线的性质求得∠DAE=∠BAE，从而得到OE⊥BD，根据等腰三角形的性质和圆周角定理求得AD∥OE、∠DAE=∠DBE，再利用∠EBF 的正切值求得 =，从而求解.
四、综合题
16．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD=CD，过点D的直线交BA的延长线于点M，交BC的延长线于点N，且∠ADM=∠DAC.
求证：
（1）MN是⊙O的切线.
（2）AD2=AB·CN.
【答案】（1）证明：如图，连接OD，
，
，
，
，
，
，
MN是⊙O的切线.
（2）证明：如图，连接BD，
，，
，
四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
，
，
，
，
，
.
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)通过圆心角定理可得，再利用垂径定理证得，由∠ADM=∠DAC可判定AC||MN，然后利用平行线的性质判定，即可证得MN是⊙O的切线.
(2)利用平行线的性质和圆周角定理可得，再通过圆内接四边形的性质证得，进而可得，然后由相似三角形的性质得到，即可证得 AD2=AB·CN.
17．如图，二次函数的图象与x轴分别相交于点A，B(点A在点B的左侧)，直线l是对称轴.点P在函数图象上，其横坐标大于4，连结PA，PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T.
（1）求点A，B的坐标.
（2）若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点(3，2)，求PM长的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
解得，，
、.
（2）解：如图，连接PT，
设，
，
，
，
、，
，
为⊙M的切线，
，
，
⊙M不经过点(3，2)，
或，
或，
，
或或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；切线的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)由坐标轴上点的特征可得点A、B的纵坐标为0，再利用二次函数解析式求得点A、B的横坐标的值，进而得到点A、B的坐标.
(2)设，由可得，通过点P、A、B的坐标求得的面积，进而表示出PT的值，再根据切线的性质求得⊙M的半径长，即可得知点M的纵坐标不等于1或3，然后利用函数解析式求得PM的取值范围.
1 / 12023-2024学年湘教版初中数学九年级下册 2.5 直线与圆的位置关系同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2024九上·河西期末）一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2024九下·哈尔滨开学考）如图，AB为的直径，CD是的切线，切点为，连接AC，若，则的度数为（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．（2024九上·黔南期末）如图，与分别相切于点，则（ ）
A．3 B．2 C．6 D．4
4．（2024九上·河东期末）如图，已知点是外一点，用直尺和圆规过点作一条直线，使它与相切于点.下面是忠忠给出的两种作法：
作法Ⅰ：如图①，作线段的垂直平分线交于点：以点为圆心，长为半径画弧交于点，作直线.直线即为所求.
作法Ⅱ：如图②，连接，交于点，作直径，以为圆心，长为半径作弧：以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，交于点，作直线.直线即为所求.对于忠忠的两种作法，下列说法正确的是（ ）
A．两种作法都正确 B．两种作法都错误
C．作法Ⅰ正确，作法Ⅱ错误 D．作法Ⅱ正确，作法Ⅰ错误
5．如图，AB切于点，连结OA交于点交于点，连结CD，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，木工用角尺的短边紧靠于点，长边与相切于点，角尺的直角顶点为.已知，则的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·长沙月考）如图，是的直径，与的相切，与的延长线相交于点C，若，那么为（ ）
A．26° B．27° C．32° D．37°
8．（2023九上·南开月考）如图，的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接，，.以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧在的内部交于点P；作射线.给出下列结论：
①射线一定过点O；
②点O是三条中线的交点；
③点O是三条边的垂直平分线的交点；
④点O是三条边的垂直平分线的交点.
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
9．如图，PA，PB分别与⊙О相切于A，B两点，且∠APB=56°.若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 .
10．（2024九上·长春汽车经济技术开发期末）如图，是的切线，是切点，连结、若，则的大小为 度
11．（2023九上·渝北期中）如图，，是的切线，，是切点，若，则 ．
12．（2023九上·通榆期中）如图，PA、PB分别切⊙O于A，B两点，BC为直径，∠ABC=30°，若AB=2，则△ABP的周长为 ．
13．（2023九上·南开月考）如图，在矩形中，已知，，以CD为直径作，将矩形绕点C旋转，使所得矩形的边与相切，切点为M，边与相交于点N，则CN的长为 .
三、解答题
14．（2023九上·凉州月考） 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．求证：直线AB是O的切线．
15．（2024九下·榕江月考）如图所示，AB是☉O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD=∠AED，且DE=，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F.
（1）求证：PA是☉O的切线；
（2）若tan∠DAE=，求EF的长.
四、综合题
16．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD=CD，过点D的直线交BA的延长线于点M，交BC的延长线于点N，且∠ADM=∠DAC.
求证：
（1）MN是⊙O的切线.
（2）AD2=AB·CN.
17．如图，二次函数的图象与x轴分别相交于点A，B(点A在点B的左侧)，直线l是对称轴.点P在函数图象上，其横坐标大于4，连结PA，PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T.
（1）求点A，B的坐标.
（2）若以⊙M的切线长PT为边长的正方形的面积与△PAB的面积相等，且⊙M不经过点(3，2)，求PM长的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形
【解析】【解答】过点O作垂足为点D，如图，
由题意可得∠OAD=30°，
故答案为：C.
【分析】由题意画出图形，过点O作垂足为点D，利用特殊角的三角函数值得到从而求解.
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC
∵CD是O的切线
∴OCCD
∴∠OCD= 90°
∵∠BAC = 40°， OC = OA
∴∠OCA= ∠BAC =40°
∴∠ACD= 90°- 40°=50°
故选：C.
【分析】本题主要考查圆的切线的应用，由切线得出∠OCD= 90°，再利用等腰三角形得出∠OCA= 40°，直接求解即可.
3．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】∵PA和PB与分别相切于点A，B，
∴PA=PB，
∵∠P=60°，
∴△ABP是等边三角形，
∵PA=2，
∴AB=PA=2，
故答案为：B.
【分析】先利用切线长定理可得PA=PB，再结合∠P=60°，证出△ABP是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得AB=PA=2，从而得解.
4．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：作法Ⅰ：连接、
∵线段的垂直平分线交于点G
∴，
∵以点G为圆心，长为半径画弧交于点M，
∴点在上，且为直径
∴
∴直线与相切；
作法Ⅱ：∵以O为圆心，长为半径作弧
∴，
∵以P为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，
∴
∴
∴直线与相切；
综上所述，两种作法都正确；
故答案为：A．
【分析】根据切线的判定定理、圆周角定理、垂直平分线的性质求解．
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；圆周角定理；切线的判定
【解析】【解答】解：连接OB，如图：
∵AB是圆O的切线，
∴OBAB，∠OBA=90°，
∵BD∥OA，∠OCD=25°，
∴∠CDB=∠OCD=25°，
∴∠COB=2∠CDB=50°，
∴∠A=180°-∠COB-∠OBA=40°，
故答案为：C.
【分析】根据切线的性质可知OB与AB垂直，根据平行线的性质可知∠CDB=∠OCD（内错角相等），再根据圆周角定理可知∠COB=2∠CDB（圆心角是圆周角的2倍），从而可求出∠A.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，如图：
根据题意可知OBBC，
∴四边形ACBD是矩形，
∵AC=6cm，CB=8cm，
∴AD=CB=8cm，BD=AC=6cm，
∵OA2=AD2+OD2=AD2+（OA-BD）2
∴OA=cm，
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可知OBBC，从而得到四边形ACBD是矩形，根据矩形的性质可知AD=CB=8cm，BD=AC=6cm，而OD=OB-BD=OA-BD，通过勾股定理可求出OA的长度.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示：
∵CD与相切，
∴∠ODC=90°，
∵，
∴∠DOC=180°-∠ODC-∠C=64°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠DOC=∠OAD+∠ODA，
∴∠A=∠DOC=32°，
故答案为：C.
【分析】先利用切线的性质及三角形的内角和求出∠DOC=180°-∠ODC-∠C=64°，再利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质求出∠A=∠DOC=32°即可.
8．【答案】C
【知识点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心；角平分线的定义
【解析】【解答】解：根据题意可得，BP为∠ABC的平分线，三角形内切圆的圆心为三角形三个内角角平分线的交点，
∴①正确，③错误；
三角形外接圆的圆心为三角形三条垂直平分线的交点，
∴②错误，④正确；
故答案为：2.
【分析】根据三角形外接圆、内切圆的性质，角平分线的作图判断即可。
9．【答案】 或
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接CA，BC，
∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠AOB+∠PAO+∠PBO+∠APB＝360°，
∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°，
∴∠ACB∠AOB＝62°．
当点C在劣弧AB上时，由圆内接四边形的性质得∠ACB＝180°-62°=118°，
故答案为：62°或118°．
【分析】首先由切线的性质求得∠PAO＝∠PBO＝90°，然后由四边形内角和定理可得∠AOB＝124°，再根据圆周角定理即可解答．
10．【答案】54
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质
【解析】【解答】∵MN是的切线，是切点，
∴∠OMN=90°，
∵∠N=36°，
∴∠MON=180°-∠OMN-∠N=180°-90°-36°=54°，
故答案为：54.
【分析】利用切线的性质可得∠OMN=90°，再利用三角形的内角和求出∠MON的度数即可.
11．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质
【解析】【解答】解：∵，是的切线，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
【分析】先根据切线的性质得到，进而根据四边形的内角和为360°即可求解。
12．【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解： ∵PA、PB分别切⊙O于A，B两点 ，
∴∠PBC=90°，PA=PB，
∵ ∠ABC=30°，
∴∠PBA=90°-30°=60°，
∴△PBA为等边三角形，
∴PB=PA=AB=2，
∴ △ABP的周长为PB+PA+AB=6.
故答案为：6.
【分析】先证△PBA为等边三角形，可得PB=PA=AB=2，从而求出△ABP的周长.
13．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；切线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：
过点O作OH⊥B'C，垂足为点H，连接OM，延长MO交D'C于点G，
∴OMB'=OHB'=90°
根据旋转的性质可得，B'CD'=B'，AB-CD=6，BC=B'C=4，
∴四边形OMB'H和四边形MB'CG均为矩形，OE=OD=OC=3，
∴B'H=OM=3，
∴CH=B'C-B'H=1，
∴CG=B'M=OH==2，
∵四边形MB'CG为矩形，
∴OGC=90°，即OG⊥CD'，
∴CN=2CG=4；
故答案为：4.
【分析】根据圆的切线的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质求出答案即可。连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B'C，由旋转性质知∠B'=∠B'CD'=90°，AB=CD=6，BC=B'C=4，从而得出四边形OEB'H和四边形EB'CG都是矩形且OE=OD=OC=3，继而求得CG=B'M=OH==2，根据垂径定理可得CF的长．
14．【答案】证明：连接OC，如图
∵OA= OB，CA= CB，
∴OC⊥AB，
又∵OC是O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线.
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】 连接OC，由OA= OB，CA= CB，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB， 又因为点C在 ⊙O上 ，利用切线的判定定理即可求解，可以简记为“点在圆上，连半径，证垂直”即可.
15．【答案】（1）证明：∵AB是☉O的直径，
∴∠ADB=90°.
∴∠DAB+∠DBA=90°.
∵=，∴∠AED=∠ABD.
∵∠PAD=∠AED，∴∠PAD=∠ABD.
∴∠BAD+∠PAD=∠BAD+∠ABD=90°，
即∠PAB=90°.
∴PA是☉O的切线.
（2）解：如图所示，连接OE，EB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE.
∴BE=DE=.
∴OE⊥BD.
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE.
∴∠DAE=∠AEO.
∴AD∥OE.
∵AB是☉O的直径，
∴∠ADF=∠BEF=90°.
∵=，∴∠DAE=∠DBE.
∴tan∠EBF=tan∠DAE=.
∴=.
∴EF=EB=1.
【知识点】角平分线的性质；圆周角定理；切线的判定；切线的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角求得∠ADB=90°，进而求得∠DAB+∠DBA=90°，利用同弧所对的圆周角相等得到∠AED=∠ABD，结合∠PAD=∠AED，利用等量代换求得∠PAB=90°，从而证明PA是☉O的切线；
（2）连接OE，EB，利用角平分线的性质求得∠DAE=∠BAE，从而得到OE⊥BD，根据等腰三角形的性质和圆周角定理求得AD∥OE、∠DAE=∠DBE，再利用∠EBF 的正切值求得 =，从而求解.
16．【答案】（1）证明：如图，连接OD，
，
，
，
，
，
，
MN是⊙O的切线.
（2）证明：如图，连接BD，
，，
，
四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
，
，
，
，
，
.
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)通过圆心角定理可得，再利用垂径定理证得，由∠ADM=∠DAC可判定AC||MN，然后利用平行线的性质判定，即可证得MN是⊙O的切线.
(2)利用平行线的性质和圆周角定理可得，再通过圆内接四边形的性质证得，进而可得，然后由相似三角形的性质得到，即可证得 AD2=AB·CN.
17．【答案】（1）解：当时，，
解得，，
、.
（2）解：如图，连接PT，
设，
，
，
，
、，
，
为⊙M的切线，
，
，
⊙M不经过点(3，2)，
或，
或，
，
或或.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形的面积；切线的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)由坐标轴上点的特征可得点A、B的纵坐标为0，再利用二次函数解析式求得点A、B的横坐标的值，进而得到点A、B的坐标.
(2)设，由可得，通过点P、A、B的坐标求得的面积，进而表示出PT的值，再根据切线的性质求得⊙M的半径长，即可得知点M的纵坐标不等于1或3，然后利用函数解析式求得PM的取值范围.
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