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第五章 平行线与相交线章末总复习十大题型
【人教版】
题型一：对顶角和邻补角
【例题1】（七年级下·新疆巴音郭楞·阶段练习）如图， 和互为邻补角，已知，那么（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（七年级下·河南周口·阶段练习）如图，直线与相交于点O，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（七年级下·广西防城港·阶段练习）如图，直线与相交于点，为射线．
(1)写出的对顶角．
(2)写出的邻补角．
(3)若，求和的度数．
【变式1-3】（七年级下·山东日照·阶段练习）如图，直线相交于点O，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【变式1-4】．（七年级上·江苏苏州·期末）如图，直线、相交于O，平分，，，求和的度数．
【变式1-4】（七年级下·河南周口·阶段练习）如图，直线与相交于点M，于点M，，．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
题型二：垂线的定义与性质
【题型2】（七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，则下列结论：①线段是点A到直线的距离；②线段的长是点P到直线l的距离；③三条线段中，最短；④点C到直线的垂线段是线段，其中，正确的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．③④ D．①②③④
【变式2-1】（七年级下·山东德州·阶段练习）如图所示，，，下列说法不正确的是（ ）
A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段
C．线段是点D到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段
【变式2-2】（七年级下·陕西西安·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【变式2-3】（七年级下·山东临沂·阶段练习）如图，在三角形中，，，垂足为，，，，则点到的距离为 ，点到的距离为 ，点B到直线的距离为 ．
【变式2-4】（七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，直线、相交于点，平分，，与的度数之比为，则 ．
【变式2-5】（七年级下·河南信阳·阶段练习）如图，交直线于点O，射线在内，平分，其中．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
题型三：同位角、内错角、同旁内角
【例题3】（七年级下·江苏南通·阶段练习）图中，和是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（七年级下·河南漯河·阶段练习）如图，下列结论正确的是（ ）
A．与是对顶角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是同旁内角
【变式3-2】（七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直线，被直线和所截，则下列说法错误的是（ ）
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．，，互为邻补角
【变式3-3】（七年级·全国·课后作业）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（ ）
A．与是邻补角B．与是对顶角C．与是同位角 D．与是内错角
【变式3-4】（七年级下·甘肃武威·阶段练习）在如图所示的6个角中，同位角有 对，它们是 ；内错角有 对，它们是 ；同旁内角有 对，它们是 ．
【变式3-5】（八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，直线相交于点 O，于点 O．
(1)若 ，求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
题型四：平行线的位置关系
【例题4】（七年级下·福建莆田·期中）下列说法中，错误的有（ ）
若与相交，与相交，则与相交；
若，，那么；
过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【变式4-1】（七年级下·山东枣庄·阶段练习）下列语句中，①有公共顶点且相等的角是对顶角；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；③平行于同一条直线的两条直线平行；④经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4-2】（2023·贵州·模拟预测）如图，在平面内过点A作直线，可作平行线的条数（ ）
A．0条 B．1条
C．0条或1条 D．无数条
【变式4-3】（七年级下·湖北孝感·期中）如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（七年级上·河南周口·期末）如图，，直线分别交于点，平分，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-5】（七年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，将长方形纸片沿翻折，点、的对应点分别是点、．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
题型五：两直线平行同位角、内错角、同旁内角相等
【例题5】（八年级上·安徽合肥·期中）如图，的平分线与的平分线相交于点，过作交于，交于，若，则的长为 ．
【变式5-1】（七年级下·云南红河·阶段练习）将一个含有角的直角三角板如图所示放置，其中一个角的顶点落在直线上，含角的顶点落在直线上．若，，则的度数为 ．
【变式5-2】（2024·辽宁大连·一模）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，则的度数是 ．
【变式5-2】（七年级下·山东日照·阶段练习）已知如图，，直线l分别截、于P、C两点，平分交于点E，平分交于点F，若，则 ．
【变式5-3】（七年级下·山西太原·阶段练习）如图，直线，的顶点B在上，若，则的度数为 .
【变式5-4】（七年级下·浙江·期中）已知如图，，点分别在上，平分．
(1)若，，分别求的度数；
(2)探求与的数量关系．
【变式5-5】（七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，，
(1)在图1中，写出的数量关系，并说明理由；
(2)在图2中，（1）的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请你探究的数量关系，并写出你探究的结论．
题型六：根据平行四边形的性质求角的度数
【例题6】（七年级下·重庆渝北·阶段练习）如图，直线、交于点，，且．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
【变式6-1】（八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知，一条直线分别交、于点E、F，，，点Q在上，连接．
(1)已知，直接写出的度数；
(2)求证：平分．
【变式6-2】（23-24七年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，，分别交，于点，，，平分交于点，求的度数．
【变式6-3】（七年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，点在直线上，点、、在直线上，，连接、、，其中，．
(1)证明：；
(2)当时，请求出的度数．
【变式6-4】（七年级下·山东德州·阶段练习）如图，，平分，设为，点是射线上的一个动点．
(1)若时，且，求的度数；
(2)若点运动到上方，且满足，，求的值；
【变式6-5】（七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知：在四边形中， ，，点为线段延长线上一点，连接交于，．
(1)求证：；
(2)若是的角平分线，，求的度数．
题型七：平行线的实际应用
【例题7】．（七年级下·河北邢台·阶段练习）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（七年级下·山西忻州·期末）如图，修建一条公路，从王村沿北偏东方向到李村，从李村沿北偏西方向到张村，从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，则张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【变式7-2】（七年级下·湖北武汉·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，依然在原来的方向上平行前进.那么两次拐弯的角度是（ ）
A．第一次右拐第二次左拐 B．第一次右拐第二次左拐
C．第一次左拐第二次左拐 D．第一次右拐第二次右拐
【变式7-3】（2023七年级下·江苏·专题练习）如图，在两条笔直且平行的景观道上放置P，Q两盏激光灯．其中光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至边便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至边就停止旋转，此时光线也停止旋转．若光线先转4秒，光线才开始转动，当时，光线旋转的时间为 秒．
【变式7-4】（八年级上·四川成都·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2＝103°，则∠3﹣∠4的度数为 ．
【变式7-5】（七年级下·重庆巴南·阶段练习）探索发现：（1）如图，已知直线．若，求的度数；
归纳总结：（2）根据（1）中的问题，直接写出图中、、之间的数量关系______；
实践应用：（3）如图，水务公司在由西向东铺设供水管道，他们从点铺设到点时发现了一个障碍物，不得不改变方向绕开障碍物，计划改为沿南偏东方向埋设到点，再沿障碍物边缘埋设到点处，测得．若要恢复原来的正东方向，则应等于多少度？
题型八：平行线的判定
【例题8】（七年级下·山西大同·阶段练习）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【变式8-1】（七年级下·上海静安·期末）如图，已知点E、D、C、F在一条直线上，，平分，．
（1）与平行吗？请说明理由；
（2）与的位置关系如何？为什么？
注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；
解：（1），理由如下：
∵（平角的定义），
（已知），
∴ （ ），
∴ （ ）．
（2）与的位置关系是： ．
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义），
又∵（已知），
∴ ，
∴ （ ）．
【变式8-2】（七年级上·重庆万州·期末）如图，已知，，，，则与平行吗？与平行吗？补全下面的解答过程（理由或数学式）．
解： （ ）
∴（ ），
∴（同位角相等，两直线平行）
又∵（ ），
，
∴（等式的性质），
同理可得，
∴（等量代换），
∴（ ）．
【变式8-3】（七年级下·河南郑州·期中）如图，已知，，求证：．
(1)请将下面证明过程补充完整．
证明：∵（已知），
∴（_______________）．
又∵（_______________），
∴______________（等角的补角相等），
∴（_______________），
∴（_______________）；
(2)若平分，于点，，求的度数．
【变式8-4】（七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知，一条直线分别与、交于点、，连接，且，过点作，试说明：是的平分线．
【变式8-5】（七年级下·四川成都·阶段练习）已知：如图，点在的一边上，过点的直线，平分，．
(1)若，求的度数；
(2)求证：平分；
(3)当为多少度时，，并说明理由．
题型九：利用平行线的判定求角度数
【例题9】（七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，，，平分．
(1)与平行吗？说明理由．
(2)与的位置关系如何？为什么？
(3)若，求出的度数．
【变式9-1】（七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，，，E为射线上一点，平分，、交于点F，点E在线段延长线上时，连接，若，，求的度数．
【变式9-2】（八年级上·四川达州·期末）如图1，在五边形中，，．
(1)猜想与之间的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，延长至，连接，若，，，求的度数．
【变式9-3】．（八年级上·陕西西安·期末）如图，已知．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
【变式9-4】（七年级下·贵州黔西·阶段练习）（1）如图①，如果，求证：．
（2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________．
（3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）．
【变式9-5】（七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，的角平分线与的角平分线交于点F，与交于点M，，求的度数．
题型十：利用平行线的性质与判定探究角的关系
【题型10】（七年级下·吉林松原·阶段练习）通过第5章的学习，我们知道：已知直线，若直线，则．这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题．已知直线，点E在之间，点P，Q分别在直线上，连接．
(1)如图①，作，运用上述结论，探究与的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，若，，探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，直接写出、、、、之间的数量关系．
【变式10-1】（七年级下·四川德阳·阶段练习）问题情景：已知直线，点在之间，点分别在直线上，连接．
(1)如图1，过点作，运用上述结论，探究之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，类比（1）中的方法，运用上述结论，探究之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，平分平分，当时，直接写出的度数．
【变式10-2】（七年级下·江西新余·阶段练习）如图，在四边形中，，，点是直线上一个动点（不与重合），过点作，交直线于点．
(1)当点在线段上时，求证：；
(2)若点在线段的延长线上，与之间有怎样的数量关系，并证明；
(3)若点在线段的反向延长线上，，，求的度数．
【变式10-3】（七年级下·河南信阳·阶段练习）已知，如图1，，点为射线上一点（不与重合），连接．
(1)[问题提出]如图1，，则________．
(2)[类比探究]在图2中，类比问题（1），探究和之间有怎样的数量关系？并说明存在的理由；
(3)[拓展延伸]如图3，在射线上取一点，过点作直线使平分交于点，平分交于点，交于点，当点沿着射线方向运动时，的度数是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个不变的值．
【变式10-4】（七年级下·吉林·阶段练习）学行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
(1)小明遇到了下面的问题：如图①， ，点P在 、 内部，探究，，的关系，小明过点P作的平行线，可证，，之间的数量关系是： ；
(2)如图②，若，点在、外部，试判断， ，的数量关系并说明理由；
(3)随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．试构造平行线解决以下问题：如图③，已知三角形，求证：．
【变式10-5】（22-23七年级下·辽宁·阶段练习）如图，射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．
（1）当时，求证：；
（2）用含的式子表示为______（直接写出答案）；
操作探究：
（3）当点P在射线上运动时，与之间的数量关系始终保持不变，请写出它们的关系，并说明理由；
（4）点P运动到使时，求的度数．
题型梳理
知识点1
对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角。
对顶角的性质：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
邻补角定义:一个角的一条线延长线和另一条线组成的角,就是邻补角.它们的和是180° 一个角的一条线延长线和另一条线组成的角就是邻补角
相反意义的量
知识点2
垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。
垂线的性质：
过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。
从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。
知识点3
内错角、同位角、同旁内角的定义
同位角：在截线同旁，被截线相同的一侧的两角。
内错角：在截线两旁，被截线之内的两角
同旁内角：在截线同旁，被截线之内的两角
同位角的边构成“F“形，内错角的边构成”Z“形，同旁内角的边构成”U“形。
知识点4
平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线。
平行线的传递性：如果a∥b，b∥c，则a∥c
平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
知识点5
平行线的性质
两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补。
知识点6
本题型主要考查了角的计算，平行线的性质，垂线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
知识点7
本题型考查了方位角、平行线的知识，解题的关键是熟练掌握平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，结合的生活实际问题进行出题。
知识点8
同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行；
两条直线平行于第三条直线时，两条直线平行；
在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；
知识点9
利用平行线的判定求角度数
本题型考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的关键．
知识点10
本题型属于考试中的压轴题型，考查了平行线的判定定理和性质定理，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理并进行推理论证是解题的关键．根据平行线的判定定理和性质定理解答．
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第五章 平行线与相交线章末总复习十大题型
【人教版】
题型一：对顶角和邻补角
【例题1】（七年级下·新疆巴音郭楞·阶段练习）如图， 和互为邻补角，已知，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵ 和互为邻补角，，
∴，
故选：C．
【变式1-1】（七年级下·河南周口·阶段练习）如图，直线与相交于点O，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题可知，
，
．
故选：C．
【变式1-2】（七年级下·广西防城港·阶段练习）如图，直线与相交于点，为射线．
(1)写出的对顶角．
(2)写出的邻补角．
(3)若，求和的度数．
【答案】(1)(2)(3)，
【详解】（1）解：的对顶角是．
（2）解：的邻补角．
（3）解：∵，，且，
∴，
∵，
∴，
∵．
【变式1-3】（七年级下·山东日照·阶段练习）如图，直线相交于点O，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，平分，
，
；
（2）设，则
，
解得：
则，
又平分，
，
．
【变式1-4】．（七年级上·江苏苏州·期末）如图，直线、相交于O，平分，，，求和的度数．
【答案】，
【详解】解：∵，，为直线，
∴，
∴．
∵与互补，
∴，
∵平分，
∴．
【变式1-4】（七年级下·河南周口·阶段练习）如图，直线与相交于点M，于点M，，．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：设 ，
∴，
∵ ，
∴，
∴， ，
∴；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴．
题型二：垂线的定义与性质
【题型2】（七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且于点B，，则下列结论：①线段是点A到直线的距离；②线段的长是点P到直线l的距离；③三条线段中，最短；④点C到直线的垂线段是线段，其中，正确的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．③④ D．①②③④
【答案】A
【详解】解：①线段的长度是点A到直线的距离，原来的说法错误；
②线段的长是点到直线的距离，正确；
③，，三条线段中，最短，正确；
④点C到直线的垂线段是线段，正确．
故选：A．
【变式2-1】（七年级下·山东德州·阶段练习）如图所示，，，下列说法不正确的是（ ）
A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段
C．线段是点D到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段
【答案】C
【详解】解：、点B到的垂线段是线段，说法正确，故本选项不符合题意；
、点C到的垂线段是线段，说法正确，故本选项不符合题意；
、线段是点A到的垂线段，原说法错误，故本选项符合题意；
、线段是点B到的垂线段，说法正确，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式2-2】（七年级下·陕西西安·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【详解】解：A．在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种，正确；
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故不正确；
C．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故不正确；
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故不正确．
故选A．
【变式2-3】（七年级下·山东临沂·阶段练习）如图，在三角形中，，，垂足为，，，，则点到的距离为 ，点到的距离为 ，点B到直线的距离为 ．
【答案】 6 8 4.8
【详解】解：∵
∴
∴点到的距离为；点到的距离为；
即点到的距离为6；点到的距离为8；
∵
∴点B到直线的距离为；
则
∴点B到直线的距离为4.8；
故答案为：6，8，4.8
【变式2-4】（七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，直线、相交于点，平分，，与的度数之比为，则 ．
【答案】/153度
【详解】解：，
，
平分，
，
与的度数之比为，
，
，
，，
，，
，
故答案为：
【变式2-5】（七年级下·河南信阳·阶段练习）如图，交直线于点O，射线在内，平分，其中．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∴．
题型三：同位角、内错角、同旁内角
【例题3】（七年级下·江苏南通·阶段练习）图中，和是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A、和不是同位角，故A不符合题意；
B、和不是同位角，故B不符合题意；
C、和是同位角，故C符合题意；
D、和不是同位角，故D不符合题意．
故选：C．
【变式3-1】（七年级下·河南漯河·阶段练习）如图，下列结论正确的是（ ）
A．与是对顶角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是同旁内角
【答案】B
【详解】解：A．与不是对顶角，故此选项不符合题意；
B．与是同位角，故此选项符合题意；
C．与不是内错角，故此选项不符合题意；
D．与不是同旁内角，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式3-2】（七年级下·河北邢台·阶段练习）如图，直线，被直线和所截，则下列说法错误的是（ ）
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．，，互为邻补角
【答案】D
【详解】解：A. 与是同位角，选项正确，不符合题意；
B. 与是内错角，选项正确，不符合题意；
C. 与是同旁内角，选项正确，不符合题意；
D. ，，不互为邻补角，选项错误，符合题意．
故选：D．
【变式3-3】（七年级·全国·课后作业）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（ ）
A．与是邻补角B．与是对顶角C．与是同位角 D．与是内错角
【答案】D
【详解】
解：A、与有一条公共边，另一边互为反向延长线，故A正确；
B、与的两边互为反向延长线，故B正确；
C、与的位置相同，故C正确；
D、与是同旁内角．故D错误；
故选：D．
【变式3-4】（七年级下·甘肃武威·阶段练习）在如图所示的6个角中，同位角有 对，它们是 ；内错角有 对，它们是 ；同旁内角有 对，它们是 ．
【答案】 2 与，与 2 与，与 4 与，与，与，与
【详解】解：在如图所示的6个角中，同位角有2对，它们是与，与,内错角有2对，它们是与,与；同旁内角有4对，它们是与，与，与，与．
故答案为：2；与，与；2； 与，与；4；与，与，与，与.
【变式3-5】（八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，直线相交于点 O，于点 O．
(1)若 ，求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见详解(2)的度数为，的度数为．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，即，
．
的度数为；
∴
（2）解：，
，
，
，即，
解得，
，．
的度数为，的度数为．
题型四：平行线的位置关系
【例题4】（七年级下·福建莆田·期中）下列说法中，错误的有（ ）
若与相交，与相交，则与相交；
若，，那么；
过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【详解】解：若a与c相交， b与c相交，则a与b相交的说法错误，a与b还有可能平行，如图所示：
，故①说法错误，符合题意；
若，，那么，故②说法正确，不符合题意；
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法错误，符合题意；
在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，垂直是相交的特殊情况，故④说法错误，符合题意；
综上所述，说法错误，
故选A．
【变式4-1】（七年级下·山东枣庄·阶段练习）下列语句中，①有公共顶点且相等的角是对顶角；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；③平行于同一条直线的两条直线平行；④经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】解：①有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角是对顶角，故该说法错误；
②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该说法错误；
③平行于同一直线的两直线平行，正确；
④同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该说法错误．
故正确的有1个，
故选：A．
【变式4-2】（2023·贵州·模拟预测）如图，在平面内过点A作直线，可作平行线的条数（ ）
A．0条 B．1条
C．0条或1条 D．无数条
【答案】B
【详解】解：∵在平面内过点A作直线
∴可作平行线的条数为1条（过直线外一点有且只有一条直线已知直线平行）
故选：B
【变式4-3】（七年级下·湖北孝感·期中）如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A.当时，，故选项A不符合题意；
B.当时，无法判断a与b平行，故选项B符合题意；
C.当时，，故选项C不符合题意；
D.当时，，故选项D不符合题意；
故选：B．
【变式4-4】（七年级上·河南周口·期末）如图，，直线分别交于点，平分，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：平分，，
，
，，
，
故选：C．
【变式4-5】（七年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，将长方形纸片沿翻折，点、的对应点分别是点、．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：长方形中，，
，，
，
由轴对称的性质得：，
，
故选：D．
题型五：两直线平行同位角、内错角、同旁内角相等
【例题5】（八年级上·安徽合肥·期中）如图，的平分线与的平分线相交于点，过作交于，交于，若，则的长为 ．
【答案】10
【详解】解：∵的平分线与的平分线相交于点，
∵，
∴
故答案为：10．
【变式5-1】（七年级下·云南红河·阶段练习）将一个含有角的直角三角板如图所示放置，其中一个角的顶点落在直线上，含角的顶点落在直线上．若，，则的度数为 ．
【答案】/30度
【详解】解：如下图，过点作直线，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式5-2】（2024·辽宁大连·一模）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，则的度数是 ．
【答案】/度
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【变式5-2】（七年级下·山东日照·阶段练习）已知如图，，直线l分别截、于P、C两点，平分交于点E，平分交于点F，若，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式5-3】（七年级下·山西太原·阶段练习）如图，直线，的顶点B在上，若，则的度数为 .
【答案】/110度
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式5-4】（七年级下·浙江·期中）已知如图，，点分别在上，平分．
(1)若，，分别求的度数；
(2)探求与的数量关系．
【答案】(1)的度数分别为；(2)．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴ ，
∴，
∴的度数分别为；
（2）解：由（）得，
∴ ，
∴
，
．
【变式5-5】（七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，，
(1)在图1中，写出的数量关系，并说明理由；
(2)在图2中，（1）的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请你探究的数量关系，并写出你探究的结论．
【答案】(1)，理由见解析；(2)不成立，，理由见解析．
【详解】（1）解：如图：过点作，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴．
（2）解：不成立，理由如下：
如图：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
题型六：根据平行四边形的性质求角的度数
【例题6】（七年级下·重庆渝北·阶段练习）如图，直线、交于点，，且．
(1)求证：；
(2)若平分，，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
设，，
则，
即，解得，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【变式6-1】（八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知，一条直线分别交、于点E、F，，，点Q在上，连接．
(1)已知，直接写出的度数；
(2)求证：平分．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∴
∴，
∴平分．
【变式6-2】（23-24七年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，，分别交，于点，，，平分交于点，求的度数．
【答案】
【详解】解：，
，
平分，
，
，
，
的度数为.
【变式6-3】（七年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，点在直线上，点、、在直线上，，连接、、，其中，．
(1)证明：；
(2)当时，请求出的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴设，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
【变式6-4】（七年级下·山东德州·阶段练习）如图，，平分，设为，点是射线上的一个动点．
(1)若时，且，求的度数；
(2)若点运动到上方，且满足，，求的值；
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）∵，，
∴
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴ ；
（2）根据题意画图，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵平分，
∴ ，
∴．
【变式6-5】（七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，已知：在四边形中， ，，点为线段延长线上一点，连接交于，．
(1)求证：；
(2)若是的角平分线，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
题型七：平行线的实际应用
【例题7】．（七年级下·河北邢台·阶段练习）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式7-1】（七年级下·山西忻州·期末）如图，修建一条公路，从王村沿北偏东方向到李村，从李村沿北偏西方向到张村，从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，则张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∵王村沿北偏东方向到李村
∴
∵从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，且从李村沿北偏西方向到张村
∴
∴张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为
故选：B．
【变式7-2】（七年级下·湖北武汉·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，依然在原来的方向上平行前进.那么两次拐弯的角度是（ ）
A．第一次右拐第二次左拐 B．第一次右拐第二次左拐
C．第一次左拐第二次左拐 D．第一次右拐第二次右拐
【答案】B
【详解】解：如图，第一次右拐20°，即∠ACE=20°，要想与原来方向一致，即AC∥DE，需要∠DEF=20°，即左拐20°；
如果第一次左拐20°，第一次左拐160°则左拐了180°，这时与原方向相反；
∴第一次右拐多少度，要想方向不变，需要在左拐多少度．
故选：B
【变式7-3】（2023七年级下·江苏·专题练习）如图，在两条笔直且平行的景观道上放置P，Q两盏激光灯．其中光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至边便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至边就停止旋转，此时光线也停止旋转．若光线先转4秒，光线才开始转动，当时，光线旋转的时间为 秒．
【答案】6或43.5
【详解】解：当，则，如下图：
∵，
∴．
∴．
设光线旋转时间为t秒，
∴
∴．
当，则，如下图：
∵，
∴．
∴．
设光线旋转时间为t秒，此时光线由处返回，
∴．
∴．
∴．
∴．
综上，光线PB旋转的时间为6或43.5秒．
故答案为：6或43.5．
【变式7-4】（八年级上·四川成都·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2＝103°，则∠3﹣∠4的度数为 ．
【答案】77°．
【详解】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠5+∠2＝180°，
∴∠5＝180°﹣∠2，
∵AC∥BD，
∴∠3＝∠5，
∵AE∥BF，
∴∠1＝∠6，
∵EF∥AB，
∴∠4＝∠6，
∴∠3﹣∠4＝∠5-∠6=∠5-∠1=180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣（∠1+∠2）＝77°．
故答案为：77°．
【变式7-5】（七年级下·重庆巴南·阶段练习）探索发现：（1）如图，已知直线．若，求的度数；
归纳总结：（2）根据（1）中的问题，直接写出图中、、之间的数量关系______；
实践应用：（3）如图，水务公司在由西向东铺设供水管道，他们从点铺设到点时发现了一个障碍物，不得不改变方向绕开障碍物，计划改为沿南偏东方向埋设到点，再沿障碍物边缘埋设到点处，测得．若要恢复原来的正东方向，则应等于多少度？
【答案】（1）；（2）；（3）应等于
（1）过点P作，根据两直线平行内错角相等可得，根据进行求解即可；
（2）根据两直线平行内错角相等即可推到出；
（3）过点C作，先求出的度数，再根据两直线平行同旁内角互补求解即可．
【详解】解：（1）如图，过点P作，
，
，
，
；
（2）由（1）可得：；
（3）如图，过点C作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
若要恢复原来的正东方向，则应等于．
题型八：平行线的判定
【例题8】（七年级下·山西大同·阶段练习）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【变式8-1】（七年级下·上海静安·期末）如图，已知点E、D、C、F在一条直线上，，平分，．
（1）与平行吗？请说明理由；
（2）与的位置关系如何？为什么？
注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；
解：（1），理由如下：
∵（平角的定义），
（已知），
∴ （ ），
∴ （ ）．
（2）与的位置关系是： ．
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义），
又∵（已知），
∴ ，
∴ （ ）．
【答案】见解析
【详解】解：解：（1），理由如下：
∵（平角的定义），
（已知），
∴（同角的补角相等），
∴ （同位角相等，两直线平行）．
（2）与的位置关系是：．
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义），
又∵（已知），
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）．
【变式8-2】（七年级上·重庆万州·期末）如图，已知，，，，则与平行吗？与平行吗？补全下面的解答过程（理由或数学式）．
解： （ ）
∴（ ），
∴（同位角相等，两直线平行）
又∵（ ），
，
∴（等式的性质），
同理可得，
∴（等量代换），
∴（ ）．
【答案】详见解析
【详解】解：∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
又∵（已知），
，
∴（等式的性质），
同理可得，
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
【变式8-3】（七年级下·河南郑州·期中）如图，已知，，求证：．
(1)请将下面证明过程补充完整．
证明：∵（已知），
∴（_______________）．
又∵（_______________），
∴______________（等角的补角相等），
∴（_______________），
∴（_______________）；
(2)若平分，于点，，求的度数．
【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；已知；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；(2)．
【详解】（1）证明：∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵（已知），
∴（等角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等）
故答案是：两直线平行，同旁内角互补；∠FAC=∠2；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案是：．
【变式8-4】（七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知，一条直线分别与、交于点、，连接，且，过点作，试说明：是的平分线．
【答案】见解析
【详解】解：，
，．
，
，
．
，
，
．
，
，
是的平分线．
【变式8-5】（七年级下·四川成都·阶段练习）已知：如图，点在的一边上，过点的直线，平分，．
(1)若，求的度数；
(2)求证：平分；
(3)当为多少度时，，并说明理由．
【答案】(1)(2)见详解(3)当为60度时，，理由见详解
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
又平分，
，
（2）证明：，
，
，
又，
，
，
，
平分；
（3）结论：当时，．
理由：
，，
，
，
平分，
，
，
，
当为60度时，
题型九：利用平行线的判定求角度数
【例题9】（七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，，，平分．
(1)与平行吗？说明理由．
(2)与的位置关系如何？为什么？
(3)若，求出的度数．
【答案】(1)平行，理由见解析(2)平行，理由见解析(3)
【详解】（1）平行，理由如下：
∵，
∴
∴
（2）平行，理由如下：
∵
∴
∵，
∴
∴
（3）∵
∴，
∵平分．
∴，
∴
∴
【变式9-1】（七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，，，E为射线上一点，平分，、交于点F，点E在线段延长线上时，连接，若，，求的度数．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
【变式9-2】（八年级上·四川达州·期末）如图1，在五边形中，，．
(1)猜想与之间的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，延长至，连接，若，，，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析(2)
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
解得．
【变式9-3】．（八年级上·陕西西安·期末）如图，已知．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【变式9-4】（七年级下·贵州黔西·阶段练习）（1）如图①，如果，求证：．
（2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________．
（3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】（1）证明：过P作，如图，
∴，
∵（已知），
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，过点P作，过点Q作，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
故答案为：；
（3）过点P作，过点Q作，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
【变式9-5】（七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知，．
(1)求证：；
(2)若，的角平分线与的角平分线交于点F，与交于点M，，求的度数．
【答案】(1)见详解(2)
【详解】（1）解：如图：
∵
∴
∵
∴
∴；
（2）解：如图：过点F作直线
∵
∴
∴
∵平分
∴
∵
∴
∵
∴
∵平分
∴
∵
∴
∴
题型十：利用平行线的性质与判定探究角的关系
【题型10】（七年级下·吉林松原·阶段练习）通过第5章的学习，我们知道：已知直线，若直线，则．这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题．已知直线，点E在之间，点P，Q分别在直线上，连接．
(1)如图①，作，运用上述结论，探究与的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，若，，探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，直接写出、、、、之间的数量关系．
【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析
(3).
【详解】（1）解：，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，
理由：由（1）可得：，
∵，
∴，
∴
，
∴；
（3）解：，
理由：过点F作，
由（1）可得：，
∴，
∴，即
【变式10-1】（七年级下·四川德阳·阶段练习）问题情景：已知直线，点在之间，点分别在直线上，连接．
(1)如图1，过点作，运用上述结论，探究之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，类比（1）中的方法，运用上述结论，探究之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，平分平分，当时，直接写出的度数．
【答案】(1)，理由见解析；(2)，理由见解析；
(3)
【详解】（1），
理由如下：
证明：，
，
，
，
．
（2），
理由如下：
证明：过点作，
，
，
，
，
，
即．
（3）根据（1）（2）可得，
，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
根据题意可得，
∴，
∴．
【变式10-2】（七年级下·江西新余·阶段练习）如图，在四边形中，，，点是直线上一个动点（不与重合），过点作，交直线于点．
(1)当点在线段上时，求证：；
(2)若点在线段的延长线上，与之间有怎样的数量关系，并证明；
(3)若点在线段的反向延长线上，，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，理由见解析；
(3)．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），理由如下，如图，
由（）得，
∴；
（3）如图，
由（）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式10-3】（七年级下·河南信阳·阶段练习）已知，如图1，，点为射线上一点（不与重合），连接．
(1)[问题提出]如图1，，则________．
(2)[类比探究]在图2中，类比问题（1），探究和之间有怎样的数量关系？并说明存在的理由；
(3)[拓展延伸]如图3，在射线上取一点，过点作直线使平分交于点，平分交于点，交于点，当点沿着射线方向运动时，的度数是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个不变的值．
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)不变，
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴；
故答案为：；
（2）解：，
理由：过点作，如图，
则，
，
；
（3）解：不变，
设，
平分，
，
由（2）结论可知，且，
则：，
，
平分，
，
，
∴，
．
【变式10-4】（七年级下·吉林·阶段练习）学行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．
(1)小明遇到了下面的问题：如图①， ，点P在 、 内部，探究，，的关系，小明过点P作的平行线，可证，，之间的数量关系是： ；
(2)如图②，若，点在、外部，试判断， ，的数量关系并说明理由；
(3)随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．试构造平行线解决以下问题：如图③，已知三角形，求证：．
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)见解析
【详解】（1）如图1，过点作，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
过点作，如图2，
，
，
，
，
，
；
（3）证明：如图3，过点作，
，，
，
．
【变式10-5】（22-23七年级下·辽宁·阶段练习）如图，射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），，分别平分和，分别交射线于点C，D．
（1）当时，求证：；
（2）用含的式子表示为______（直接写出答案）；
操作探究：
（3）当点P在射线上运动时，与之间的数量关系始终保持不变，请写出它们的关系，并说明理由；
（4）点P运动到使时，求的度数．
【答案】（1）见详解；（2）；（3），理由见详解；（4）
【详解】（1）证明：，分别平分和，
，
，
，
，
，
；
，
；
（2）解：由（1）同理可得
，
，
；
故答案：；
（3）解：，理由如下：
，
，
，
平分，
，
；
（4）解：，
，
当时，
有，
，
，
，分别平分和，
，
，
，
，
，
，
，
．
题型梳理
知识点1
对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角。
对顶角的性质：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
邻补角定义:一个角的一条线延长线和另一条线组成的角,就是邻补角.它们的和是180° 一个角的一条线延长线和另一条线组成的角就是邻补角
相反意义的量
知识点2
垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。
垂线的性质：
过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。
从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。
知识点3
内错角、同位角、同旁内角的定义
同位角：在截线同旁，被截线相同的一侧的两角。
内错角：在截线两旁，被截线之内的两角
同旁内角：在截线同旁，被截线之内的两角
同位角的边构成“F“形，内错角的边构成”Z“形，同旁内角的边构成”U“形。
知识点4
平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线。
平行线的传递性：如果a∥b，b∥c，则a∥c
平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
知识点5
平行线的性质
两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补。
知识点6
本题型主要考查了角的计算，平行线的性质，垂线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
知识点7
本题型考查了方位角、平行线的知识，解题的关键是熟练掌握平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，结合的生活实际问题进行出题。
知识点8
同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行；
两条直线平行于第三条直线时，两条直线平行；
在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；
知识点9
利用平行线的判定求角度数
本题型考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的关键．
知识点10
本题型属于考试中的压轴题型，考查了平行线的判定定理和性质定理，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理并进行推理论证是解题的关键．根据平行线的判定定理和性质定理解答．
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