第2章 圆锥曲线 综合复习训练（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第一册

第2章圆锥曲线综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知圆，直线与圆C（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
2．在平面直角坐标系中，已知两点．若曲线C上存在一点P，使，则称曲线C为“合作曲线”，给出下列曲线：①；②；③．其中“合作曲线”是（ ）
A．①② B．②③ C．① D．②
3．直线截圆所得劣弧所对的圆心角为，则r的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形，点恰好在上．若线段的中点在直线上，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线上一点到其焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线的左，右两个焦点分别为，，A为其左顶点，以线段为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为，且，则的离心率（ ）
A． B． C． D．3
7．已知是双曲线右支上的动点，是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（ ）
A．12 B． C． D．
8．已知点P在椭圆C：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多选题
9．两数1，9的等差中项是，等比中项是，则曲线的离心率可能是 （ ）
A． B． C． D．
10．抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点，下列说法正确的是（ ）
A． B．若直线的倾斜角为，则
C． D．若在轴的上方，则直线的斜率为
11．已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，A，B为双曲线上两点，且满足，为C上异于A，B的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．C的渐近线方程为
B．双曲线C的焦点到渐近线的距离为
C．当时，的面积为6
D．设MA，MB的斜率分别为，则的最小值为24
12．已知抛物线C：的焦点为，点在抛物线C上，则（ ）
A．若三点共线，且，则直线的倾斜角的余弦值为
B．若三点共线，且直线的倾斜角为，则的面积为
C．若点在抛物线C上，且异于点，，则点到直线的距离之积为定值
D．若点在抛物线C上，且异于点，，其中，则
三、填空题
13．已知椭圆与双曲线有相同的左右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围为 .
14．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M，N都在双曲线C的左支上，是正三角形，点到直线的距离为2，则双曲线C的实轴长的取值范围是 ．
15．已知椭圆的两个焦点，，点在椭圆上，且，则 ．
16．已知为坐标原点，椭圆的离心率，短轴长为．若直线与在第一象限交于两点，与轴、轴分别相交于两点，，且，则 ．
四、解答题
17．已知抛物线C：过点.
(1)求过点M的抛物线C的切线方程；
(2)若A，B是抛物线C上异于M的两点记直线MA，MB的斜分别为，且，求点M到直线AB距离的最大值.
18．如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点．
(1)求焦点坐标，焦距，短轴长；
(2)若直线的倾斜角为，求的面积．
19．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数）．
(1)写出曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线与曲线C交于A，B两点，定点，若，求直线l的倾斜角．
20．已知定点，动点在直线上，过点作的垂线，该垂线与的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)已知点，动点在上，满足，且与轴不垂直．请从①在上；②三点共线；③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
注：如果选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分.
21．设F为抛物线的焦点，点P在H上，点，若．
(1)求的方程；
(2)过点F作直线l交H于A、B两点，过点B作x轴的平行线与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求的取值范围．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】根据题意，由直线的方程分析可得直线过定点，结合圆的方程分析可得在圆上，据此由直线与圆的位置关系分析可得直线与圆一定相交或相切，即可得答案．
【详解】根据题意，直线的方程为，恒过定点，
设为，又由圆，即，
其圆心为，半径，
由，则在圆上，
则直线与圆相交或相切.
故选：D．
2．A
【分析】根据题意，设点，由“合作曲线”的定义可知，曲线上存在点，使得，然后逐一判断，即可得到结果.
【详解】设点，则，
由可得，即，
即曲线上存在点，使得，即为“合作曲线”，
对于①，由双曲线可得，
则双曲线上存在点满足，故①为“合作曲线”；
对于②，由椭圆可得，
则椭圆上存在点满足，故②为“合作曲线”；
对于③，因为圆心到直线的结论，
故直线上不存在一点满足，故③不为“合作曲线”；
故选：A
3．B
【分析】根据给定条件用圆的半径r表示出圆心到直线距离即可计算作答.
【详解】因直线截圆所得劣弧所对的圆心角为，
令劣弧的两个端点为，则为等边三角形，
故圆心到直线的距离等于，
即，解得.
故选：B.
4．B
【分析】由题意，利用点差法得到，根据平行四边形的性质及点在椭圆上得到，求出k和点M的坐标，结合直线的点斜式方程即可求解.
【详解】设，，，
则，两式相减，得，
故，即①．
又四边形为平行四边形，为线段的中点，所以为线段的中点，
所以，又P在椭圆上，
所以，即②．
由①②，得，故直线的方程为，
即．
故选：B．
5．B
【分析】根据题意，求得抛物线的方程，得到焦点坐标和准线方程，结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】由抛物线上一点，可得，解得，即，
可得抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
又由抛物线的定义，可得.
故选：B.
6．B
【分析】根据题意求得点的坐标，再由条件得到关于的齐次方程，从而得解.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
而以线段为直径的圆的方程为，
联立，结合，解得或，
因为在第一象限，所以，
又，则，
而，，所以，
所以，即，则，
所以双曲线的离心率为.
故选：B.
7．C
【分析】根据可得双曲线定义，得，再由结合二次函数的性质即可得解.
【详解】因为是双曲线右支上的动点，
由双曲线定义，得，
则
，
当且仅当取得最小值．
故选：C.
8．B
【分析】利用三角形的中位线定理与圆的半径求得，再利用椭圆的定义即可得解.
【详解】因为椭圆C：
所以该椭圆，，则，
设椭圆的右焦点为，连接，记线段的中点为，连接，
因为，所以，
因为分别为的中点，所以，
又，所以.
故选：B.
9．AB
【分析】先根据条件求出，再分曲线为椭圆或曲线为双曲线两种情况来求离心率.
【详解】由已知得，则，
当时，曲线为椭圆，离心率为，
当时，曲线为双曲线，离心率为，
故选：AB.
10．BCD
【分析】由抛物线的概念求出，判断A；直曲联立求出过焦点的弦长，判断B；设出过点的直线方程，直曲联立，由抛物线的性质表示出，然后代入，化简可得，判断C；由抛物线的概念，算出直线倾角的正切值，即可判断D.
【详解】对于A，，错误．
对于B，直线的方程为，由得．
设，则，故，正确．
对于C，设过点的直线方程为，代入抛物线方程，得，
化简后为，设，则有．
根据抛物线性质可知，，
，正确．
对于D，过分别向准线作垂线，交于点，过作于点，
不妨设，则，
在中，，直线的斜率为，正确．
故选：BCD．
11．ACD
【分析】A选项，求出，得到渐近线方程，B选项，利用点到直线距离公式进行求解；C选项，由对称性得到为直角三角形，进而由勾股定理和双曲线定义得到方程，求出，求出三角形面积；D选项，利用点差法得到，结合基本不等式求出答案.
【详解】由双曲线的方程可知，
由题意可知，两点关于点对称，
设，
对于，渐近线方程，故A正确；
对于B，焦点到渐近线的距离，故B不正确；
对于C，由对称性可知，，故四边形为平行四边形，
当时，四边形为矩形，为直角三角形，故，
由双曲线定义可得，两边平方得，故，
所以，故C正确；
对于D，设，联立可得，由于，
所以，由，当且仅当时取等号，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中点弦问题或涉及直线斜率问题时，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握.
12．BCD
【分析】分别设定抛物线C和直线的方程，设，，联立求得关于点坐标的韦达定理形式，进而转化各个选项即可；选项A，将转化为，求解即可；选项B，，求解即可；选项C，求得点的坐标，进而求得点到直线的距离，求解即可；选项D，设点到直线的距离为，可得，求解即可.
【详解】对A，设抛物线C：，设直线：，
设，，联立，
则，，
由于，可得，代入上式得：，
解得：，且直线的斜率为，
设直线MN的倾斜角为，则，且，
则，解得，故A错误；
对B，设抛物线C：，且直线的倾斜角为，
设直线：，
设，，联立，
则，，
，故B正确；
对C，由于点在抛物线C上，此时抛物线C：，
设，，
设直线AM：，
联立
则，解得（舍去，此时重合）或，
则点到直线的距离为，
同理可得，因为，则到直线的距离为，
故所求距离之积为，故C正确；
对D，由于点在抛物线C上，此时抛物线C：，
设直线AM：，
与抛物线方程联立可得，
则，则，用替换可得，
则，
则，，
故直线MN：，即，
则点F到直线MN的距离，
而
即，
，
得，
令，
故，
，
当且仅当时等号成立，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】方法点睛：若点在抛物线C上，且异于点，，则直线的斜率为定值，且该定值为处切线斜率的相反数.
13．
【分析】设椭圆与双曲线的焦距，，由题意可得，用表示出，结合二次函数的性质即可得答案.
【详解】设椭圆与双曲线的焦距，，
由题意可得：，，
，，，
，，，.
，
，设，则，
，
.
故答案为：.
14．
【分析】求实轴长取值范围关键是找到关于a的方程和建立关于a的不等式关系，先由双曲线及正三角形的对称性可得关于x轴对称，从而推出直线的斜率，再与渐近线斜率进行比较建立关于a的不等式关系，下来再由点到直线的距离可求出c的值，再结合方程进行转换即可求出a的取值范围，进而求出实轴长取值范围.
【详解】如图，假设点M在x轴上方，由双曲线及正三角形的对称性可得关于x轴对称，
直线的倾斜角为，斜率为，直线与双曲线C的左支有交点，
所以，得，即．
因为，所以点到直线的距离为，所以，
所以，所以，即C的实轴长的取值范围是．
故答案为：.
15．40
【分析】根据余弦定理，结合椭圆定义即可求解.
【详解】由题意可得，
在中，，由余弦定理，
得，
得，
得，
所以．
故答案为：40．
16．
【分析】结合题意可得椭圆方程，借助点差法可得，设出直线的方程，结合可得其斜率，再借助韦达定理与弦长公式即可得解.
【详解】由题意得，解得，故椭圆的方程为，
设，线段的中点为，连接，如图，
点在椭圆上，，两式相减得，
则，
设直线的方程为，则，
点也为的中点，，
，解得，
，
，故直线的方程为，
联立，消去整理得，
则，
则,
故答案为：
【点睛】方法点睛：点差法是处理中点弦问题常用的求解方法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点坐标公式可求得斜率．
17．(1)
(2)
【分析】（1）解法一：将点的坐标代入抛物线方程求得，设出切线方程，与抛物线方程联立，利用判别式法求得切线斜率，代入点斜式方程即可求解；解法二：将点的坐标代入抛物线方程求得，利用导数法求得切线斜率，代入点斜式方程即可求解；
（2）设，，利用得，设直线AB的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理代入得，从而求得直线AB过定点，易知当时，点M到直线AB的距离最大，利用两点间的距离公式求解即可.
【详解】（1）将M的坐标代入抛物线C的方程中，得，故抛物线C的标准方程为.
解法一 ：由题意知过点M的抛物线的切线的斜率一定存在且不为0，
设过点M的抛物线的切线方程为，
将其代入，得，
由，得，
故过点M的抛物线C的切线方程为.
解法二 ：当时，由得，而，
所以过点M（1，2）的抛物线C的切线的斜率为1，
故过点M的抛物线C的切线方程为，即；
（2）设，，则，同理，
故，化简得.
易知直线AB的斜率不为0，则可设直线AB的方程为，
将其代入，得，所以，，
所以，即，
直线AB的方程为，直线AB过定点.
连接MQ，易知当时，点M到直线AB的距离最大，
故点M到直线AB距离的最大值为.
18．(1)焦点坐标为，，焦距为，短轴长为；
(2).
【分析】（1）根据椭圆方程求得，再根据求出，再根据相关定义即可求解；
（2）通过直线与椭圆方程建立方程组，化简得到关于的一元二次方程，进而得到，根据图象可得，进而得解.
【详解】（1）设长半轴、短半轴、焦距分别为，由已知方程得到，，所以，，由得，
故焦点坐标为，，焦距为，短轴长为；
（2）设，，
由已知得直线的方程为，与联立方程组得，
则，，
故，
令的面积为，所以.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式即可得解；
（2）联立直线参数方程与曲线的直角坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义即可得解.
【详解】（1）将
代入曲线的极坐标方程中，
得曲线的直角坐标方程为，即；
（2）因为点在直线上，
将直线的参数方程(为参数)代入曲线的直角坐标方程，
整理得，满足，
设点对应的参数分别为，则，
由参数的几何意义，不妨令，
所以，
当时，，，
所以，则，
所以直线的倾斜角为.
20．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据条件判断动点轨迹是抛物线，再根据抛物线的标准方程直接求解.
（2）由三选二作为条件另一个作为结论，逐一选择，与第一问求得的结果联立，得出相应结论.
【详解】（1）由题意：动点到点的距离与到直线：的距离相等，
所以的轨迹是以为焦点，以直线：为准线的抛物线，
所以的方程为：
（2）（1）若选择①③②
如图：
因为，，都在上，所以，所以，可设，.且.
由
所以
此时，，
所以
，
即，所以A，B，Q三点共线.
（2）若选择①②③
如图：此时点可在线段上任意选择一点，则和未必满足③，故该选择无法证明.
（3）若选择②③①
因为，且，，所以，设，.
因为
（*）
又因为三点共线，
所以
因为，所以
，代入（*）整理得：
因为，故，所以在曲线：上.
【点睛】关键点点睛：本题第一要选择适当的条件，选择不当的话可能就证明不出结论，第二，题目的运算量较大，需细心和坚持.
21．(1)
(2)
【分析】（1）先由得点的横坐标，再利用抛物线的定义即可得解；
（2）联立直线与抛物线的方程，得到，再根据题意依次求得点与点的坐标，从而将转化为关于的表达式，从而得解.
【详解】（1）依题意，点的坐标为，
又，，所以点的横坐标为，
由拋物线的定义得，所以，
所以拋物线的方程为.
（2）由（1）知点的坐标为，设直线的方程为，
联立，消去，得，易知，
设，则，故，
因为的准线为，因为直线平行于轴，
所以点的坐标为，则直线的斜率为，
所以直线的斜率为，其方程为，
因为点的纵坐标为，
所以点的横坐标为，
所以
，
因为，则，所以，
即的取值范围是.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
答案第1页，共2页
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