第3章 空间向量及其应用 综合复习训练（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第一册

第3章空间向量及其应用综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．圆锥的底面半径为，高为2，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，则异面直线与所成角的余弦值及与底面所成角的正弦值分别为（ ）
A． B． C． D．
2．由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（ ）

A．1 B．2 C．4 D．8
3．已知，若三个向量共面，则实数（ ）
A． B．2 C．3 D．5
4．如图，在三棱锥中，，，，是棱的中点，是棱上靠近点的四等分点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面的法向量分别为，则这两个平面的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交但不垂直 C．相交垂直 D．不能确定
6．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ）
A．1 B． C． D．
7．在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得直线与直线相交
B．存在点，使得直线平面
C．直线与平面所成角的大小为
D．平面被正方体所截得的截面面积为
8．已知正方体的棱长为1，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．则（　　）
A．
B．若是平面的法向量，则
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点与点到平面的距离相等
10．如图，已知二面角的棱上有，两点，，，，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当二面角的大小为时，
C．若，则与所成的角的余弦是
D．若，则二面角的余弦值为
11．已知向量，，，则（ ）
A． B．在上的投影向量为
C． D．向量共面
12．在空间直角坐标系O－xyz中，以下结论正确的是（ ）
A．点关于x轴对称的点的坐标为(－1，－3，4)
B．点关于xOy平面对称的点的坐标为(－1，2，－3)
C．点关于原点对称的点的坐标为(3，－1，－5)
D．两点间的距离为3
三、填空题
13．已知空间三点，则在上的投影向量坐标为 .
14．正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为 .
15．已知空间向量，若，则 .
16．如图，矩形的对角线交于，，沿把折起，使二面角为直二面角，则在平面的射影长度为 ， .

四、解答题
17．如图，在正方体中，分别为的中点，点在的延长线上，且.
(1)证明：平面.
(2)求平面与平面的夹角余弦值.
18．如图，为圆锥顶点，是圆锥底面圆的圆心，，是长度为的底面圆的两条直径，，且，为母线上一点．
(1)求证：当为中点时，平面；
(2)若，二面角的余弦值为，试确定P点的位置．
19．如图，在四棱锥中，平面平面，，点是的中点．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
20．如图甲是由正方形ABCD，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿AB，BC，AC折起得三棱锥P-ABC，如图乙．
(1)求证：平面平面；
(2)过棱AC作平面ACM交棱PB于点M，且三棱锥和的体积比为1∶2，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值．
21．如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点．

(1)求证：平面；
(2)平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】设底面圆心为，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】设底面圆心为，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，．
所以,
所以异面直线与所成角的余弦值为．
因为底面，所以底面的一个法向量为，
设与底面所成的角为，则，
所以与底面所成角的正弦值为．
故选：D．
2．A
【分析】根据数量积的几何意义即可求解.
【详解】由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为，
由数量积的几何意义可知，.
故选：A
3．B
【分析】根据向量共面得到存在实数，使，从而得到方程组，求出答案.
【详解】三个向量共面，
存在实数，使，
即，
即
故选：B．
4．B
【分析】将三棱锥补形成长、宽、高分别为4，2，2的长方体，以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据向量即可求解.
【详解】根据题意可将三棱锥补形成长、宽、高分别为4，2，2的长方体中，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，故，，
所以，
所以异面直线与所成角的大小为．
故选：B．
5．C
【分析】先判断法向量的位置关系，进而判断两平面的位置关系.
【详解】因为，
所以，
则，所以.
故选：C.
6．C
【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解.
【详解】因为，所以，可化简为：，即，
由于，，，四点共面，则，解得：；
故选：C
7．C
【分析】连接，，取的中点，连接，点到线段的最短距离大于，即可判断；建立空间直角坐标系，点到平面的距离为，即可判断；由平面，连接交于点，与全等，所以，即可判断；平面被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为，可求截面面积.
【详解】
连接，，所以，，取的中点，连接，
所以，点到线段的最短距离大于，所以不存在点，使得直线与直线相交，故不正确；
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，所以，即，
令，则，，所以，
所以点到平面的距离为，而，所以不存在点，使得直线平面，故不正确；
因为，所以平面，连接交于点，所以为的中点，，
所以为直线与平面所成角，
因为，在中，，
所以，因为与全等，所以，故正确；
延长交的延长线于，连接交于，连接，取的中点，的中点，
连接，，，，，，
平面被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为，
所以截面面积为，故不正确.
故选：.
8．B
【分析】方法一：由条件可得外接球的半径，再由球的表面积公式即可得到结果；方法二：建立空间直角坐标系，结合空间中两点距离公式即可得到球的半径，从而得到结果.
【详解】方法一：由题意知平面，又平面，所以，
又平面，所以平面，
所以在三棱锥中，平面.
在中，，所以，
则，设的外接圆半径为，
则.
三棱锥的外接球即三棱锥的外接球，
易知，设三棱锥的外接球半径为，则
，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
方法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，.
设三棱锥的外接球的球心为，连接，
则，
得
，解得，
所以，
故三棱锥的外接球的表面积为.
故选：B.
9．BC
【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间坐标运算可判断选项A,B;根据条件求得平面截正方体所得的截面图形，计算面积即可判断选项C;利用，即可判断D.
【详解】如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则,,，
则，所以，故A错误；
设平面的法向量为，又,
所以,即，取，得，
所以，又，所以，故B正确；
连接,则且，又所以,
连接,因此面截正方体所得的截面为四边形，易得四边形为等腰梯形，
,过点作于,
梯形的高为,
则梯形的面积为,故C正确；
,
,
故,三棱锥和三棱锥同底，
因此点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，故D错误，
故选：BC.
10．ABD
【分析】由空间向量的数量积运算计算判断A；由数量积的运算律计算判断B；由利用空间向量求出异面直线夹角的余弦判断C；由几何法求出二面角的余弦判断D.
【详解】二面角中，，于，于，，
对于A，，A正确；
对于B，由二面角的大小为，得，
则
，B正确；
对于C，由选项A知，，则与所成的角的余弦为，C错误；
对于D，过作，且使，连接，则四边形是正方形，
有，，而平面，则平面，
又平面，因此，即，由，得，
所以为等边三角形，取中点，连接，则，，
取中点，连接，，有，

又平面，则平面，又平面，则，
因此为二面角的平面角，又，，
显然，即，则，D正确.
故选：ABD
11．ABD
【分析】根据向量模长、投影向量求法、向量垂直的坐标表示、向量共面的判断方法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，，A正确；
对于B，，
在上的投影向量为，B正确；
对于C，，与不垂直，C错误；
对于D，，共面，D正确.
故选：ABD.
12．BCD
【分析】结合空间直角坐标系的对称关系可判断A，B，C；结合两点间距离公式可求D.
【详解】点关于x轴的对称点的坐标为，故A错误；
点关于xOy平面对称的点的坐标为，故B正确；
关于原点的对称的点的坐标为，故C正确；
两点间的距离为，故D正确.
故选：BCD
13．
【分析】根据题意，求得，结合，即可求解.
【详解】由三点，
可得，则，
则在上的投影向量坐标为.
故答案为：.
14．4
【分析】利用向量运算化简变形，设，将向量等式转化为两动点轨迹为均为球面，再利用球心距求两球面上任意两点间距离最大值即可.
【详解】已知正三棱锥，则，且，
由化简得，
由化简得.
设，代入，，
分别化简得，且，
故点在以为直径的球面上，半径；
点在以为直径的球面上，半径
分别取线段、的中点、，
则，
故.
故答案为：4
【点睛】将向量的代数关系转化为动态的几何表达，借助几何意义求解动点间的距离最值是解决本类题型的关键所在.
15．
【分析】利用空间向量共线的坐标运算，即可求出结果.
【详解】因为，，
所以，解得，
故答案为：.
16．
【分析】根据题意，选择适当的点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用面面垂直的性质定理与平面几何的知识求得点的坐标，从而利用空间向量法即可得解.
【详解】依题意，以点为坐标原点，平面为平面，方向分别为轴的正方向，
建立空间直角坐标系，

则，
在矩形中，作于，于，于，

因为二面角为直二面角，即平面平面，
又平面平面，，平面，
所以平面，则在平面上的射影为，
因为，所以，，
所以，所以，，，
所以，则，
所以.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用平面几何的知识，求得点的坐标，从而得解.
17．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）由（1）的坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.
【详解】（1）在正方体中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
令，则，
于是，显然，
则，而平面；
所以平面.
（2）由（1）知平面的一个法向量为，，
设平面的一个法向量，则，取，得，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值是.
18．(1)证明见详解
(2)是线段靠近点的四等分点
【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，设，，求解平面和平面的法向量，根据二面角的余弦值为求，即可得P点的位置.
【详解】（1）连接，因为，分别为，的中点，
所以为的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）如图：过点作交圆与，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设，，则，所以，
设平面的法向量为，
则，所以，令，则，，
即，
易知平面的一个法向量为，
则，
解得（负值舍去），所以是线段靠近点的四等分点.
19．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质及线面垂直的性质推理即得.
（2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出相关点及向量的坐标，利用空间向量求出线面角的正弦.
【详解】（1）在四棱锥中，由，点是的中点，得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，又平面，
所以.
（2）在平面内过点作，由（1）知直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，，得，
则，，
设平面的一个法向量，则，令，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，得到线面垂直，进而证明出面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的正弦公式求出答案.
【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接．
．
，
，
同理．
又，
，
平面平面．
又平面平面平面．
（2）如图建立空间直角坐标系，
根据边长关系可知，，，
．
三棱锥和的体积比为，
，
，
．
设平面的法向量为，
则，令，则，得．
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
21．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明平面，可得，再利用向量法证明，然后由线面垂直判定定理可证；
（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可解.
【详解】（1）因为为正三角形，是中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
，
又在平面内且相交，故平面
（2）分别为的中点，，
又平面过且不过，平面．
又平面交平面于，故，进而，
因为是中点，所以是的中点．
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，，

设平面法向量为，
则，即，取，得，
则，
因为，所以.
答案第1页，共2页
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