第4章 数列 综合复习训练（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第一册

第4章数列综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设是等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．设数列的前项之积为，满足（），则（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列的，前n项和为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知公差为负数的等差数列的前项和为，若是等比数列，则当取最大值时，（ ）
A．2或3 B．2 C．3 D．4
5．设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．等差数列：，，，，满足，，则（ ）
A．5.4 B．6.3 C．7.2 D．13.5
7．已知公差不为0的等差数列满足成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
8．等差数列的通项公式为，其前项和为，则数列的前100项的和为（ ）
A．-10100 B．10100 C．-5050 D．5050
二、多选题
9．记数列的前n项和为，则下列说法错误的是（ ）
A．若存在，使得恒成立，则必存在，使得恒成立
B．若存在，使得恒成立，则必存在，使得恒成立
C．若对任意，恒成立，则对任意，恒成立
D．若对任意，恒成立，则对任意，恒成立
10．已知函数，则（ ）
A．直线是曲线的切线
B．有两个极值点
C．有三个零点
D．存在等差数列，满足
11．已知数列满足：（m为正整数），，若，则m可能的取值有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．32
12．下列叙述不正确的是（ ）
A．1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B．是等比数列
C．数列0，1，2，3，…的通项公式为 D．数列是递增数列
三、填空题
13．已知数列满足，，则 ．
14．已知为等比数列的前n项和，，则 .
15．数列满足．前项和为，则 ．
16．已知等比数列的前项和为，则 .
四、解答题
17．已知为数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求.
18．在数列中，．
(1)求证是等差数列．
(2)令为数列的前项和，求．
19．已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合．若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质．
(1)若数列的通项公式为写出集合A与集合B；
(2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当时，证明：；
(3)若满足，证明：．
20．已知等差数列的前项和为，满足．等比数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
21．已知等差数列的首项，公差，且，设关于x的不等式的解集中整数的个数为．
(1)求数列的前n项和为；
(2)若数列满足，求数列的通项公式．
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参考答案：
1．D
【分析】根据成等比数列，得到方程，求出，得到答案.
【详解】由题意得，，
因为成等比数列，故，
即，解得，
故.
故选：D
2．C
【分析】由已知递推式可得数列是等差数列，从而可得，进而可得的值．
【详解】因为，
所以，即，所以，
所以，显然，
所以，
所以数列是首项为，公差为2的等差数列，
所以，
即，所以．
故选：C．
3．B
【分析】根据求出数列的通项公式，利用裂项相消法求数列的和，即得答案.
【详解】由于，则时，，则，
也适合该式，故，
故，
则
，
故选：B
4．B
【分析】利用等比数列的意义列式，用公差表示出，再确定数列的所有非负数项即可得解.
【详解】设等差数列的公差为，由是等比数列，
得，解得，则，
显然等差数列单调递减，当时，，当时，，
所以当取最大值时，.
故选：B
5．A
【分析】利用等差数列通项公式求出，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即得.
【详解】由等差数列的公差为，得，则，
当时，，而，则，因此，为递增数列；
当为递增数列时，则，即有，整理得，不能推出，
所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
6．B
【分析】利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解.
【详解】设等差数列的的公差为，
由题意可知，解得，
所以.
故选：B.
7．A
【分析】借助等差数列的性质计算可得，代入计算即可得.
【详解】设等差数列的公差为，
由题意可得，
即，即，即，即，
则.
故选：A.
8．C
【分析】利用等差数列求和，再判断数列是等差数列，再求前100项和.
【详解】等差数列，所以，
所以，因为，即数列是等差数列，
所以数列数列的前项的和为.
故选：C
9．BCD
【分析】由两个数的差的绝对值小于等于两个数的绝对值之和结合已知可得A正确；举反例令，可判断BD错误；举反例令可得C错误（注意题目中让选错误的）.
【详解】对A：若恒成立，则，，故A正确；
对B、D：反例为，，故B、D错误；
对C：反例为，故C错误．
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：对于抽象数列题，可用排除法快速选择，较为简便快捷.
10．BCD
【分析】由导数的意义可知斜率为时，求出切点，再由点斜式判断A错误；求导后由单调性可判断B正确；代入极值点后可判断C正确；由等差中项可判断D正确.
【详解】，
A：令，而，
由点斜式可知此时切线方程为；
，由点斜式可知此时切线方程为；
所以直线不是曲线的切线，故A错误；
B：令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故时取得极大值，取得极小值；故B正确；
C：因为，所以由单调性可知函数由三个零点，故C正确；
D：取，则，故D正确；
故选：BCD
11．BCD
【分析】利用和递推关系进行逆推可得答案.
【详解】因为，，所以，
若，不合题意，舍去，所以；
若，则，进而可得；
若，则，进而可得，所以或.
故选：BCD
12．ABC
【分析】根据数列的概念判断A，当时可判断B，写出C的通项即可判断，利用作差法判断数列的单调性，即可判断D.
【详解】对于A：1，3，5，7与7，5，3，1显然不是相同的数列，
因为顺序不一样，故A错误；
对于B：当时常数数列不是等比数列，故B错误；
对于C：数列0，1，2，3，…的通项公式为，故C错误；
对于D：因为，
又，函数在上单调递增且，
所以，所以，
即，
所以数列是递增数列，故D正确.
故选：ABC
13．
【分析】根据递推公式推导出，即可得解.
【详解】由数列满足，，
可得，
又由，所以
因为，可得，
所以.
故答案为：
14．3
【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，由此可得出的值.
【详解】设等比数列的公比为，
则
，
显然，
整理可得，解得，
因此，
.
所以
故答案为:3.
15．
【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，分别求得和，结合分组求和，即可求解.
【详解】当时，，
即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，则；
当时，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，则，
所以．
故答案为：.
16．
【分析】由求出，检验首项即得参数值.
【详解】由，当时，；当时，，
因是等比数列，故时，，解得,此时，，符合题意.
故答案为：.
17．(1)；
(2)
【分析】（1）利用的关系，结合等比数列的定义求通项公式.
（2）利用错位相减法求和可得结果.
【详解】（1）当时，，可得，
当时，，可得，则，
是首项 公比都为的等比数列，
故.
（2）由题设，，
，
则，
所以
，
所以.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用取倒数法可得，结合等差数列的定义即可求解；
（2）由（1），结合等差数列的通项公式可得，进而，再利用错位相减法即可．
【详解】（1）由题意知，，得，
即，又，
所以数列是以为公差，2为首项的等差数列；
（2）由（1）知数列是以为公差，2为首项的等差数列，
则，所以
故，
①
②
由①-②得：
，
.
19．(1)，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）定义，可知，结合题中通项公式分析求解；
（2）根据题意可知，可得，即可分析证明；
（3）由题意可知：，可知集合在均不在元素，分类讨论集合是否为空集，结合题意利用数学归纳法分析证明.
【详解】（1）定义，由题意可知，
若数列的通项公式为，可知，
所以，
因为2只能写成，不合题意，即；
，符合题意，即；
，符合题意，即；
，符合题意，即；
，符合题意，即；
，符合题意，即；
所以.
（2）因为，由题意可知：，且，
即，
因为，即存在不相同的项，使得
可知，所以.
（3）因为，
令，可得，则，即，
即集合在内均不存在元素，此时我们认为集合在内的元素相同；
（i）若集合A是空集，则B是空集，满足；
（ⅱ）若集合A不是空集，集合A中的最小元素为t，可知，
由（2）可知：集合B存在的最小元素为s，且，
设存在，使得，
可知集合在内的元素相同,
可知，则，
因为，即，则，
可知，
且，
即集合在内的元素相同，可知集合在内的元素相同，
现证对任意，集合在内的元素相同，
当，可知集合在内的元素相同，成立；
假设，集合在内的元素相同，
可知集合在内的元素相同；
对于，因为，则，
若，则，可知，
可以认为集合在内的元素相同；
若，则，
若存在元素不属于集合C，
则元素属于集合A，且，可知元素属于集合B，
即数列中存在不相同的项，使得，
则，可知，
可知，
即集合在内的元素相同；
综上所述：对任意，集合在内的元素相同，
所以集合在内的元素相同，结合n的任意性，可知；
综上所述：.
【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把新定义问题转化为已经学过的知识，常常利用数学归纳法分析证明.
20．(1)，
(2)
【分析】（1）设的公差为，的公比为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解.
【详解】（1）设的公差为，的公比为，则，解得，
所以数列的通项公式为，
又由，解得，所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，可得，
所以，则．
两式相减，可得，
所以．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，列出方程，求得，得到，结合等差数列的求和公式，求得的值，得到答案；
（2）根据题意，结合一元二次不等式的解法，求得，得到，进而得到，当时，，两式相减得，进而得到数列的通项公式．
【详解】（1）由等差数列的首项，且，
可得，整理得，即，
因为，所以，所以，
可得．
（2）由不等式，即，
解得，
因为的解集中整数的个数为，所以，
又因为
可得，
即，
当时，，
两式相减得，则，
当时，，解得，满足上式，所以，
所以数列的通项公式为．
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