5.1导数的概念及意义 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

5.1导数的概念及意义同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设函数在上可导，且，则等于（ ）
A．1 B． C． D．0
2．已知函数，的大致图象如图所示，的导函数为，的导函数为，则（ ）
A．
B．
C．
D．无法判断与的大小
3．点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ）
A．6 B．2 C．3 D．
5．已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
6．如果说某物体做直线运动的时间与距离满足，则其在时的瞬时速度为（ ）
A．4 B． C．4.8 D．
7．函数在点处的切线斜率为（ ）
A． B．2 C．1 D．0
8．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列函数的图象与直线相切的有（ ）
A． B．
C． D．
10．如图显示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ）

A．在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度
B．在处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
11．抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景 丰富的性质产生了无穷的魅力.设是抛物线上两个不同的点，以为切点的切线交于点.若弦过点，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若，则点处的切线方程为
C．存在点，使得
D．面积的最小值为4
12．各地房产部门为尽快稳定房价，提出多种房产供应方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．设函数在处存在导数为，则
14．如图，函数的图象在点处的切线是，方程为，则 ；

15．已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为 .
16．已知动点在圆上，动点Q在曲线上．若对任意的，恒成立，则的最大值是 ．
四、解答题
17．设函数，函数在点处的切线方程为．
(1)求的解析式；
(2)证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
18．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点.
(1)求证：；
(2)设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值.
19．如果一个质点由定点A开始运动，其位移y关于时间t的函数为．
(1)当，时，求和；
(2)求函数在处的导数．
20．已知函数，且．
(1)求的值；
(2)设，求过点的切线方程．
21．已知曲线，
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求过点且与曲线相切的直线方程.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】根据题意结合导数的定义即得结果.
【详解】由导数定义可知：，
所以.
故选：A.
2．B
【分析】根据导数的几何意义分析判断.
【详解】由图可知：函数在处的切线斜率大于函数在处的切线斜率，
所以.
故选：B.
3．D
【分析】问题转化为过点的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小，利用导数的几何意义求得点的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案.
【详解】因为点是曲线上任意一点，
所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小．
因为直线的斜率等于1，曲线的导数，
令，可得或(舍去)，
所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为，
所以点P到直线的最小距离为.
故选：D.
4．A
【分析】根据导数的定义，结合导数的几何意义求解即可.
【详解】由题意，，
即，故，即曲线在点处的切线的斜率是6.
故选：A
5．A
【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可.
【详解】设直线与曲线的切点为且，
与曲线的切点为且，
又，，
则直线与曲线的切线方程为，即，
直线与曲线的切线方程为，即，
则，解得，故，
故选：A.
6．D
【分析】利用导数的定义即可求解.
【详解】根据导数的定义可得，在时的瞬时速度为
，
故选：D.
7．B
【分析】根据导数的几何意义，即可求解.
【详解】由题意可知，，当时，，
所以函数在点处的切线斜率为2.
故选：B
8．D
【分析】根据导数的几何意义，即可求解.
【详解】由函数，得，
则，，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故选：D
9．AC
【分析】假设选项中的曲线与直线相切，利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，求得切点进行逐一判断即可得出结论.
【详解】选项A中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，即切点为，切线为，A正确；
选项B中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，切点为，切线方程为，即B错误；
选项C中，若与相切，设切点为，
易知，则，解得，
当时，切点为，切线方程为，C正确；
选项D中，易知与有三个交点，，
又，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以不是切线，D错误.
故选：AC
10．AC
【分析】对AB，根据导数的物理意义判断即可；对CD，根据平均速度的定义判断即可.
【详解】对AB，由图象可得在处，甲图象斜率大于乙图象斜率，故甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故A正确，B错误；
对CD，在到范围内，甲增加的路程更多，故平均速度更大，故C正确，D错误.
故选：AC
11．ABD
【分析】联立方程组，结合韦达定理，可判定A正确；求得，得到切点坐标，得出切线方程，进而可判定B正确；由直线的斜率为，直线的斜率为，得到，可判定C错误；由过点的切线方程为，结合弦长公式，得到，可D正确.
【详解】对于A中，设直线，联立方程组，整理得，
再设，则，所以A正确；
对于B中，由抛物线.可得，则，
则过点的切线斜率为，且，即，
则切线方程为：，即，
若时，则过点的切线方程为：，所以B正确；
对于C中，由选项可得：直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以，即，所以C错误；
对于D中，由选项B可知，过点的切线方程为，
联立直线的方程可得，
所以，
，
，
则，当时，有最小值为，所以D正确.
故选：ABD.
12．ACD
【分析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处的导数的几何意义可得结果.
【详解】当单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，
故曲线是上升的，且越来越陡峭，
所以函数的图象应一直是下凹的，则选项B满足条件，
所以在时间内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有ACD选项．
故选：ACD．
13．1
【分析】根据导数的定义求解．
【详解】函数在处存在导数为3，
则（1），
故．
故答案为：1.
14．.
【分析】根据导数的几何意义可得.
【详解】因为在点处的切线的斜率为，
所以.
故答案为：.
15．(答案不唯一)
【分析】利用导数的几何意义，结合条件可知，，再根据函数的取值，即可求解.
【详解】，由题意可知，，
即，所以，得，，，
或，得，，，
所以，，,
所以的一个取值为.
故答案为：(答案不唯一)
16．
【分析】求得圆心的轨迹，结合导数的几何意义，求得的最小值，再求的最小值即可.
【详解】由题意可知的圆心在直线上，
曲线，，曲线在点处的切线为，与平行；
故曲线上的动点Q到直线的最小距离为到的距离为，
因此，故n的最大值是．
故答案为：.
17．(1)
(2)证明见解析，定值为6
【分析】（1）根据导数的几何意义以及切线方程，即可列式求解；
（2）首先求曲线上任一点处的切线方程，并结合图象，求三角形的面积，即可求解.
【详解】（1）直线的斜率为，将代入直线方程得，
，由题意可知，，且，
即，解得：，
所以；
（2）设曲线上任一点为，，
曲线在点处的切线方程为，
整理为，当时，，
联立，得，
如图，即，，
所以，
所以曲线上任意一点处的切线与直线和所围成的三角形面积为定值，定值为6.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）利用导函数的几何意义求得直线的表达式，得出三点的坐标，联立直线与抛物线方程根据韦达定理得出；
（2）利用点到直线距离公式可求得，可求出的最小值.
【详解】（1）因为抛物线的焦点为，
所以，即的方程为：，如下图所示：
设点，
由题意可知直线的斜率一定存在，设，
联立得，
所以.
由，得，
所以，即.
令，得，即，
同理，且，
所以.
由，得，即.
所以.
故.
（2）设点，结合（1）知，即
因为，
所以.
同理可得，
所以.
又，
所以.
当且仅当时，等号成立；
即直线斜率为0时，取最小值；
19．(1)，
(2)48
【分析】（1）由平均变化率公式计算即可;
（2）由导数的定义计算即可.
【详解】（1），
故当，时，，．
（2）由（1）得，
故函数在处的导数是48．
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用导数求解参数即可.
（2）先设切点，利用导数表示斜率，建立方程求出参数，再写切线方程即可.
【详解】（1）定义域为，，
而，而已知，可得，
解得，故的值为，
（2），设切点为，设切线斜率为，
而，故切线方程为，
将代入方程中，可得，解得(负根舍去)，
故切线方程为，
21．(1)
(2)或
【分析】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程.
【详解】（1）解：由函数，可得，可得，
即曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：因为点不在曲线上，
设切点为，所以，
所以切线方程为，
又因为在直线上，所以，
即，解得或.
当切点为时，切线方程为；
当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为，
综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或.
答案第1页，共2页
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