18.2.1.1　矩形的性质 同步练习题（含答案）初中数学人教版八年级下学期

第十八章　平行四边形
18.2.1　矩形
第1课时 矩形的性质
一、选择题
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，若∠BAG＝20°，则∠DAE＝（　　）
A.10° B.20°
C.30° D.45°
2.一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A，B对应的刻度为1，7，则CD＝（　　）
A.3.5 cm B.3 cm
C.4.5 cm D.6 cm
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在x轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧，交x轴的正半轴于点M，则点M的坐标为（　　）
A.（，0） B.（，0）
C.（－1，0） D.（－1，0）
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO＝2，则DB的长度是（　　）
A.2 B.4
C.2 D.4
5.矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠AOB＝40°，那么∠ADB的度数是（　　）
A.70° B.45°
C.30° D.20°
6.如图，四边形ABCD是矩形，连接BD，∠ABD＝60°，延长BC到点E使CE＝BD，连接AE，则∠AEB的度数为（　　）
A.15° B.20°
C.30° D.60°
7.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则＝（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题
8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为线段AB的中点，则∠BCD＝ 　　 °.
9.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为F，则BF的长为 　 　 .
10.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝2，则AC的长为 　 　 .
11.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为 　　 .
12．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF＋EG＝___________．
三、解答题
13.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，EC.求证：EB＝EC.
14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF.若AC＝10，求EF的长.
15．在矩形ABCD中，BC＝CD，点E，F分别是边AD，BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
(1)如图①，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
(2)如图②，当点P在线段CB的延长线上时，连接AC交EF于点O连接OP.求证：OP⊥EF.
16.如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，CE，∠ABE＝45°.
（1）如图①，若BE＝3，BC＝4，求EC的长；
（2）如图②，点P是EC的中点，连接BP并延长交CD于点F，H为AD上一点，连接HF，且∠DHF＝∠CBF，求证：BP＝PF＋FH.
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参考答案
一、选择题
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，若∠BAG＝20°，则∠DAE＝（　B　）
A.10° B.20°
C.30° D.45°
2.一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A，B对应的刻度为1，7，则CD＝（　B　）
A.3.5 cm B.3 cm
C.4.5 cm D.6 cm
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在x轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧，交x轴的正半轴于点M，则点M的坐标为（　D　）
A.（，0） B.（，0）
C.（－1，0） D.（－1，0）
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO＝2，则DB的长度是（　B　）
A.2 B.4
C.2 D.4
5.矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠AOB＝40°，那么∠ADB的度数是（　D　）
A.70° B.45°
C.30° D.20°
6.如图，四边形ABCD是矩形，连接BD，∠ABD＝60°，延长BC到点E使CE＝BD，连接AE，则∠AEB的度数为（　A　）
A.15° B.20°
C.30° D.60°
7.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则＝（　D　）
A. B.
C. D.
二、填空题
8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为线段AB的中点，则∠BCD＝ 　　 °.
【答案】50
9.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为F，则BF的长为 　 　 .
【答案】2
10.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，EF＝2，则AC的长为 　 　 .
【答案】4
11.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点，若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为 　　 .
【答案】
12．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF＋EG＝___________．
【答案】
三、解答题
13.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，EC.求证：EB＝EC.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°.
∵E是AD中点，
∴AE＝DE.
在△BAE与△CDE中，
∴△BAE≌△CDE（SAS）.
∴EB＝EC.
14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF.若AC＝10，求EF的长.
解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝AC，
AC＝BD＝10，
∵AF＝AC，
∴AF＝AO.∴点F为AO的中点.
又∵点E为边AD的中点，∴EF为△AOD的中位线.
∴EF＝OD＝BD＝.
15．在矩形ABCD中，BC＝CD，点E，F分别是边AD，BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．
(1)如图①，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；
(2)如图②，当点P在线段CB的延长线上时，连接AC交EF于点O连接OP.求证：OP⊥EF.
证明：(1)四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，由翻折的性质得：∠DEF＝∠PEF，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF
(2)四边形ABCD是矩形，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠DEF＝∠EFB，由翻折的性质得：∠DEF＝∠PEF，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF，∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴OE＝OF，∴OP⊥EF
16.如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，CE，∠ABE＝45°.
（1）如图①，若BE＝3，BC＝4，求EC的长；
（2）如图②，点P是EC的中点，连接BP并延长交CD于点F，H为AD上一点，连接HF，且∠DHF＝∠CBF，求证：BP＝PF＋FH.
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，
BC＝AD＝4，AD∥BC.
∵∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形.
∵BE＝3，∴由勾股定理易得AB＝AE＝3.
∴ED＝AD－AE＝1.∴EC＝＝.
解：（2）证明：延长BF交AD的延长线于点G，如图②所示.
∵AG∥BC，∴∠G＝∠PBC.
∵点P是EC的中点，∴EP＝CP.
在△EPG和△CPB中，
∴△EPG≌△CPB（AAS）.∴BP＝GP.
∵∠DHF＝∠CBF，∠CBF＝∠G，
∴∠DHF＝∠G.∴FH＝FG.
∴GP＝PF＋FG＝PF＋FH.
∴BP＝PF＋FH.