5.2导数的运算 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

5.2导数的运算同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，则函数的导函数为（ ）
A． B． C． D．
3．对函数求导正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则（ ）
A． B．1 C． D．
5．下列求导计算中正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．曲线与轴的交点为，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B．2 C． D．4
7．已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在上的奇函数，为的导函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
二、多选题
9．已知函数与，记，其中，且．下列说法正确的是（ ）
A．一定为周期函数
B．若，则在上总有零点
C．可能为偶函数
D．在区间上的图象过3个定点
10．已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．
D．设，则
11．下列求导正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
12．已知函数及其导函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，，且，则（ ）
A．为偶函数 B．的图象关于点对称
C． D．
三、填空题
13．曲线的一条切线方程为，则 ．
14．若函数的导函数为，则 .
15．已知函数，函数．若过点的直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则的值为 ；当、两点不重合时，线段的长为 ．
16．已知函数，若，且，则的最小值是 ，此时在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ．
四、解答题
17．过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且．

(1)求抛物线的方程；
(2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；
(3)设是“圆边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：．
18．已知函数.
(1)曲线在点P处的切线与直线互相垂直，求点P的坐标.
(2)过点作曲线的切线，求此切线的方程.
19．已知函数，点在曲线上.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线过点的切线方程.
20．如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆沿着轴正向无滑动地滚动，点为圆上一个定点，其初始位置为原点为绕点转过的角度（单位：弧度，）.

(1)用表示点的横坐标和纵坐标；
(2)设点的轨迹在点处的切线存在，且倾斜角为，求证：为定值；
(3)若平面内一条光滑曲线上每个点的坐标均可表示为，则该光滑曲线长度为，其中函数满足.当点自点滚动到点时，其轨迹为一条光滑曲线，求的长度.
21．已知曲线，设点坐标为，
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线过点的切线方程．
(3)若曲线在点处的切线与曲线相切，求点的坐标
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
【详解】函数，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
故选：D
2．D
【分析】利用复合函数的求导法则即可得解.
【详解】因为，，
所以由复合函数的求导法则，得.
故选：D.
3．D
【分析】根据给定条件，利用导数公式及求导法则求出导数即得.
【详解】依题意，.
故选：D
4．C
【分析】根据函数的定义及求出答案.
【详解】由导数的定义可知，又，
故选：C
5．A
【分析】根据初等函数求导公式及导数的四则运算，结合复合函数求导法则即可求解.
【详解】对于A ，；故A正确；
对于B，；故B错误；
对于C ，；故C错误；
对于D，；故D错误.
故选：A.
6．B
【分析】结合函数单调性可知，求导，利用导数的几何意义求切线方程，进而可得结果.
【详解】由题意可知的定义域为，
令，
因为均在内单调递增，则在内单调递增，
当时，且，可知的根为1，即，
又因为，则，
可知曲线在点处的切线为，
令，可得，即切线与y轴的交点为，
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为.
故选：B.
7．A
【分析】先将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，然后利用导数的几何意义及建立关于的不等式，即可得解.
【详解】由可得，要使恰有一个零点，只需函数的图象与直线相切.
设切点坐标为.由，可得，则切线方程为，即，
故需使.
由可得，解得.
故选：A
8．A
【分析】本题考查函数的奇偶性，根据奇函数的定义和性质进行运算研究即可．
【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，得．
由为奇函数可得，得，
又，所以，
所以，，
故，
故选：A.
9．ABD
【分析】对于A：计算，化简即可；对于B：求出，然后计算的正负即可；对于C：计算是否恒相等即可；对于D：令，求解即可.
【详解】对于A，，，A正确；
对于B，，
则，，
因为，即，同号，所以，
由零点存在定理知在上总有零点，故B正确；
对于C，，
，
由得
对恒成立，
则与题意不符，故C错误；
对于D，令，
则
，即，，
故所有定点坐标为，，，，
又因为，所以函数的图象过定点，，，故D正确；
故选：ABD．
10．ABD
【详解】对于A：令可得；对于B：令可得；对于C ：先确定的奇偶性，然后令后对两边同时求导，再代入即可；对于D：利用累加法求通项公式.
【点睛】对于A：令得，所以，A正确；
对于B：令得，所以，B正确；
对于C：因为，所以，即，
所以为偶函数，由可得，
令得，
则，令，得，
所以，C错误；
对于D：因为，，
所以，且
所以，相加可得，
所以，则，D正确.
故选：ABD.
11．BD
【分析】利用简单复合函数求导法则进行计算即可.
【详解】A选项，，A错误；
B选项，，B正确；
C选项，，C错误；
D选项，，D正确.
故选：BD
12．BCD
【分析】首先根据抽象函数的对称性，判断函数的对称性，以及周期，并结合条件转化，判断函数的对称性，利用抽象函数的导数公式，以及周期性，求，最后利用函数与的关系求和.
【详解】由的图象关于直线对称，可得的图象关于直线对称，即的图象关于直线对称，则
由，可得，又，
所以，所以的图象关于点对称，即为奇函数，
所以，即，即函数的周期为4，
由，可得，因为的周期为4，所以，
则，即，所以的图象关于点对称，故B正确；
因为的图象关于直线对称，则，所以，所以，
因为的周期为4，所以的周期也为4.由，可得，所以，故C正确；
由，可得，所以，即，故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题考察抽象函数的性质，以及导数运算问题，本题的关键是以条件等式为桥梁，发现函数与的性质关系，以及解析式的关系.
13．
【分析】设切点为，根据导数的几何意义求斜率，即可得解.
【详解】，
设切点为，则，
又在切线上，
所以，解得，
所以.
故答案为：
14．
【分析】计算出后代入计算即可得.
【详解】，则.
故答案为：.
15． 或1
【分析】设点，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可得到切点坐标，从而得到切线方程，再由切线与也相切，利用判别式即可求出；根据确定点，即可求；
【详解】，设点，
所以
，解得，
切点，，
方程，即，
联立，
由，可得或1；
当时，，此时，重合，舍去.
当时，，此时，
此时.
故答案为：或1；
16．
【分析】根据给定条件，求出与直线平行的直线切曲线的切点，再求出即可得最小值，然后求出切线方程即可求出面积.
【详解】由求导得，令，解得，
得与直线平行的直线切曲线的切点，
由，解得，因此，
函数的图象在点处的切线的方程为，
直线交于点，交轴于点，
所以切线与坐标轴所围三角形面积为.
故答案为：；
17．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据圆的几何性质可知，据此求出可得解；
（2）求出弦长及点到直线的距离，可得出面积，由点在圆上，可得面积取值范围，再由“囧边形”面积与面积关系得解；
（3）求出过点切线方程，联立可得横坐标，据此利用横坐标可得，即可得证.
【详解】（1）由题意得，，
由，
所以
（2）设，
联立，，
设方程的两根为，则，
由，所以，
联立直线可得，
代入方程中，得，即，
故的面积.
因为在圆上，所以且，
于是，
显然此式在上单调递增，故，
也即，因此，
由题干知“囧边形”面积，所以“囧边形”面积的取值范围为.
（3）由（2）知，,
设，过的切线，即，
过点切线交得，同理，
因为，
.
所以，即.
【点睛】关键点点睛：联立直线与抛物线，根据韦达定理及弦长公式得出，再由切线相交得出点坐标，求出三角形面积，再由点在圆上得出面积的范围是求解“囧边形”面积范围的关键，第三问中利用直线上线段长度之比可化为横坐标（或纵坐标）之比是解题的关键.
18．(1)或
(2)或
【分析】（1）借助导数的几何意义与直线垂直斜率间的关系计算即可得；
（2）设出切点，借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】（1），由题意可得，故，
当时，，当时，，
故点P的坐标为或；
（2）设切点坐标为，则有，
故，整理得，
即，故或，
当时，有，即，
当时，有，即，
故此切线的方程为或.
19．(1)
(2)或
【分析】（1）由已知条件求出的值，求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）设切点坐标为，利用导数的几何意义写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程.
【详解】（1）解：因为函数，点在曲线上，则，所以，，
所以，，则，
因此，曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：设切点坐标为，则，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
将点的坐标代入切线方程可得，解得或，
当时，所求切线方程为；
当时，所求切线方程为.
综上所述，曲线过点的切线方程为或.
20．(1)；
(2)证明见解析；
(3)8.
【分析】（1）根据给定条件，结合三角函数及弧长计算求解.
（2）利用复合函数的求导公式，求出切线斜率，再借助三角恒等变换推理即得.
（3）由（1）及给定信息，求出并确定原函数，再求出弧长即得.
【详解】（1）依题意，，则，
所以.
（2）由复合函数求导公式及（1）得，因此，
而
，
所以为定值1.
（3）依题意，.
由，得，则，于是（为常数），
则，
所以的长度为8.
【点睛】结论点睛：函数是区间D上的可导函数，则曲线在点处的切线方程为：.
21．(1)
(2)或
(3)或.
【分析】
（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得；
（2）设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，再将点代入切线方程中，求出，即可求出切线方程；
（3）设，表示出曲线在点处的切线，联立直线与，根据求出，即可求出点的坐标.
【详解】（1）由，可得，
所以，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）设切点为，则，
所以切线方程为，即，
又切线过点，所以，即，
即，即，
即，即，解得或，
则切线方程为或，
所以过点的切线方程为或.
（3）设，则，，
所以曲线在点处的切线为，
又曲线在点处的切线与曲线相切，
由，可得，
则，解得或，
则或，
所以或.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页