5.3导数的应用 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

5.3导数的应用同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若函数，则函数零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或3
3．已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，其中是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
6．不等式对于任意的，恒成立，则a的最大值为（ ）
A． B．1 C．e D．
7．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数（）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若时，，则的最小值为
D．若方程有两个实根，则
10．已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示．则对于任意，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．单调递减 B．在处取得极大值
C．有两个不同零点 D．在处的切线方程为
12．设定义在R上的函数的导函数为，若，均有，则（ ）
A． B．（为的二阶导数）
C． D．是函数的极大值点
三、填空题
13．设函数，则满足的的取值范围是 .
14．如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 ．
15．已知函数有零点，当取最小值时，的值为 ．
16．若函数在处取得极小值，则实数 ．
四、解答题
17．已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围．
18．已知函数.
(1)若是函数的极值点，求a的值；
(2)求函数的单调区间.
19．已知函数．
(1)讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
(2)函数；若方程在上存在实根，试比较与的大小．
20．已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)令，求在处的切线的方程，并证明的图象在直线的上方．
21．设函数，．
(1)求函数的单调性区间；
(2)设，证明函数在区间上存在最小值A，且．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】先利用导数研究当时，函数的图象和性质，结合对数函数的图象及绝对值的意义作出函数的大致图象，然后根据题意及一元二次方程根的分布得到关于的不等式，解不等式即可得到实数的取值范围．
【详解】当时，，，
令，得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，当趋近于时，趋近于0，
结合对数函数的图象及绝对值的意义可作出函数的图象如图所示．

令，则，数形结合可知要使有6个零点，
则有两个不相等的实数根、，不妨令，有如下两种情况：
若，但，故排除此种情况，
若，对于二次函数开口向上，又，则，得，
综上，实数的取值范围是．
故选：A
【点睛】关键点点睛：解决此类问题需注意以下几点：
（1）会转化，即会将问题转化为方程的根的问题，然后利用函数、方程、不等式的关系进行解答；
（2）会作图，即会根据基本初等函数的图象、图象的平移变换法则或函数与导数的关系画出相关函数的大致图象；
（3）会观察，即会利用数形结合思想列方程（组）或不等式（组）．
2．A
【分析】令，则，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解.
【详解】，
令，则，
则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，
令，
当时，，则，
所以函数在上单调递增，且，
当时，，
当时，，则，
所以函数在上单调递增，且，
又当时，当时，，
作出函数的大致图象如图所示，
由图可知函数的图象有且仅有一个交点，
所以函数零点的个数为个.
故选：A.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
3．B
【分析】构造函数，利用导数法求最值得，从而有，再利用函数单调递减得，利用函数单调递增得，即可比较大小.
【详解】对，因为，则，即函数在单调递减，
且时，，则，即，所以，
因为且，所以，
又，所以.
故选：B
4．D
【分析】求得，令，求得在上单调递增，根据的大小不确定，可判定A、B不正确；由是锐角的两个内角，得到，可得判定C错误；再由，可判定D正确.
【详解】由函数，所以，
令，则当时，，
所以单调递增，可得，即，
所以在上单调递增；
因为的大小不确定，故与，与的大小关系均不确定，
所以与，与的大小关系也均不确定，
所以A、B不能判断．
因为是锐角的两个内角，所以，则，
因为在上单调递减，所以，
所以，所以C错误；
因为是锐角的两个内角，所以，则，
因为在上单调递减，所以，
故，所以D正确.
故选：D.
5．C
【分析】根据给定条件，借助圆的对称性可得已知3个圆的圆心构成正三角形，由此建立函数关系，再利用导数求出最大值即得.
【详解】要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的情况，
设三个半径为1的圆的圆心分别为，设被覆盖的圆的圆心为，如图，
设圆与交于交于交圆于，显然为正的中心，
设，则，
，又，
因此圆的最大半径为，令，求导得，
由，得，当时，，当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，，
所以被完全覆盖的最大的圆的半径为，
此时，即圆 圆 圆中的任一圆均经过另外两圆的圆心．
故选：C
【点睛】关键点睛：涉及几何图形最值问题，借助几何图形建立函数关系，再求出函数最值是关键.
6．B
【分析】由题意将原问题等价转换为对于任意的，恒成立，从而构造函数，利用导数求得的最小值是1即可得解.
【详解】由题意对于任意的，恒成立，
令，从而,
令，则，
这意味着在定义域内关于单调递增，
注意到与符号相同，且，
所以当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以，
所以a的最大值为1.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：关键是在得到之后，还要继续构造函数来判断的符号，由此即可顺利得解.
7．C
【分析】求出函数导数，令可得解.
【详解】因为，
所以令可得，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：C
8．B
【分析】求出函数的导数，由已知可得函数在上有两个零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可.
【详解】函数的定义域为，，
又函数既有极大值也有极小值，所以函数在上有两个零点，
由，所以方程有两个不同的正实数，
所以，即.
故选：B
9．BD
【分析】求导后，结合正负可得单调性；利用零点存在定理可说明零点个数，知A错误；根据极值定义可知B正确；采用数形结合的方式可求得CD正误.
【详解】定义域为，，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增；
对于A，，，，
在区间和内各存在一个零点；
当时，，，恒成立；
有且仅有两个不同的零点，A错误；
对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确；
对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解，
若当时，，则，C错误；
对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点，
作出图象如下图所示，
结合图象可知：，D正确.
故选：BD.
10．ABC
【分析】利用导函数的图象和性质，进而可得的大致图象，根据原函数和导函数的单调性和凹凸性即可求解.
【详解】由导函数的图象可知，导函数的图象在轴下方，即，且其绝对值越来越小，
因此过函数图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，
故函数为减函数，并且递减的速度是先快后慢，由此可得的大致图象可为：
因为，设，
所以，
A选项：因为函数为减函数，
所以，即，
所以，故A正确；
B选项：由导函数图象可知导函数为增函数，
所以，即，
所以，故B正确；
C选项：分别作直线，与函数图象交于点，,连接，
作直线交线段于点，交函数图象于点,
所以，，
由图可知，
所以，故C正确；
D选项：分别作直线，与函数图象交于点，,连接，
作直线交线段于点，交函数图象于点,
所以，，
由图可知，
所以，故D错误.
故选：ABC.
11．BD
【分析】求出函数的导数，利用函数探讨单调性、极值及零点判断ABC；利用导数的几何意义求出切线方程判断D.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
当时，，当时，，
因此函数在上递增，在递减，
对于A，由函数在上递增，得A错误；
对于B，在处取得极大值，B正确；
对于C，函数在上递增，且，
而当时，恒有，函数只有1个零点，C错误；
对于D，，因此在处的切线方程为，D正确.
故选：BD
12．AB
【分析】由，令，即可判断A；由已知得，即得函数，确定，从而可得，求导数，即可判断B；令，判断其单调性，即可判断C；根据极值点与导数的关系可判断D.
【详解】由，，令，则，A正确；
当时，由得，故，
即，则（c为常数），则，
满足该式，故，则，
将代入中，得，
即，而，故，
则，，，
故，B正确；
令，，故在上单调递增，
故，即，C错误；
由于，令，即得，
令，即得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故是函数的极小值点，D错误，
故选：AB
13．
【分析】构造函数，确定单调性及奇偶性，利用函数性质来解不等式.
【详解】,
令，定义域为，
得，
所以函数为奇函数，
又，当且仅当时，等号成立，
所以函数在上单调递增，
由得，
即
则，
所以，解得.
故答案为：
14．
【分析】由函数图象的单调性可得其导数的正负，即可解出该不等式.
【详解】由的图象可得在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，当x∈时，，
因为，所以或，
即或或，解得或，
所以原不等式的解集为．
故答案为：.
15．
【分析】首先将方程转化为，再通过构造几何意义，转化为求函数的最大值，再结合几何意义，即可求解.
【详解】设的零点为，则，即，
设为直线上任意一点，
坐标原点到直线的距离为，因为到原点的距离，
下求的最小值，令，则
在为减函数，在为增函数，即，
此时，所以的斜率为，
此时的最小值为，此时，
（此时）．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键点以及难点是构造几何意义，将点看成直线上的任一点，从而根据几何意义解决问题.
16．4
【分析】根据求出，再根据单调性检验即可得解.
【详解】，
所以，解得或，
当时，，
当或时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以在处取得极小值，符合题意；
当时，，
当或时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以在处取得极大值，不符合题意.
故答案为：4
17．(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3).
【分析】（1）先求出函数的导函数，进而分析导函数的正负区间与单调区间；
（2）先求出函数的导函数；再分和两种情况，再每一种情况中借助导数即可解答；
（3）先根据函数在处取得极值得出；再将问题“对，恒成立”转化为“对，恒成立”；最后构造函数，并利用导数求出即可解答.
【详解】（1）当时，，，
令可得，故当时，单调递减；
当时，单调递增；
故递减区间为，递增区间为.
（2）由可得：函数定义域为，.
当时，，此时函数在定义域上单调递减；
当时，令，解得；令，解得，
此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上可得：当时，函数在定义域上单调递减；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（3）因为函数在处取得极值，
所以，即，解得.
此时，
令，解得；令，解得，
所以函数在处取得极值，故.
所以.
因为对，恒成立，
所以对，恒成立.
令，则.
令，解得；令，解得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，则，解得：.
所以实数b的取值范围为
18．(1)1
(2)见解析
【分析】（1）由是函数的极值点，，求解验证即可；
（2）利用导函数求解函数的单调区间即可.
【详解】（1）函数定义域为，，
因为是函数的极值点，
所以，解得或，
因为，所以.此时，
令得，令得，
∴在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点.
所以.
（2）.
因为，所以，令得；令得；
∴所以时，函数的增区间为,
时函数的单调减区间为，单调增区间为.
19．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性与极值；
（2）利用导数说明的单调性，即可得到，，令，则方程在，上存在实根，结合（1）中函数的单调性，可得，即，则，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得解.
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
当时，恒成立，所以在上单调递增，无极值，
当时，令，解得，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，取到极小值，无极大值，
综上所述，当时，在上单调递增，无极值，
当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值．
（2）因为，，
则，
令，解得或（舍），
所以当时，单调递增，
所以，即，
令，，则，
若方程在上存在实根，
则方程在，上存在实根，
当时在上单调，则在上有解，
即应该在上有解，但是在上无解，不合题意，
所以在上不单调，即，
由（1）知，即，
所以，，
令，，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
20．(1)增区间是和的减区间是
(2)，证明见解析
【分析】（1）对函数求导并根据导函数符号可得其单调区间；
（2）利用导函数的几何意义可求得切线的方程，构造函数，求出其最值可证明恒成立即可得出结论.
【详解】（1）的定义域为，
则
当或时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
所以的增区间是和的减区间是．
（2）由（1）知，
则，
又，，
所以在处的切线方程为.
令，
则
令可得
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
所以当时，取得最小值，
当趋近于时，趋近于，又；
故当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
因此当时，取得最小值，
即恒成立，所以恒成立，
所以的图象在直线的上方．
21．(1)增区间为，无单调递减区间
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数解析式明确定义域，求导，根据导数与单调性的关系，可得答案；
（2）根据函数解析式求导，整理导数，利用（1）的结论，结合隐零点做题思路，可得答案.
【详解】（1）由，则，所以的定义域为，
求导可得，
当且仅当时等号成立，
的增区间为，无单调递减区间.
（2），
由（1）知，在上单调递增，
由知，，，
使且时，，由，则，
时，，由，则，
即在单调递减，在单调递增，
在上存在最小值，且，
又得：，即，
，
设，，
在上单调递增，，，
又，故.
【点睛】本题的第二问重点在于对于隐零点问题的理解与解决，隐零点问题的解题步骤：1、函数求导；2、根据零点存在性定理在某个区间设出零点；3、将零点代入导数整理等量关系；4、利用等量关系化简函数表示出最值即可.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页