第八章 8.6.3 平面与平面垂直（第1课时）(共27张PPT)

(共27张PPT)
第七章
8.6.3 平面与平面垂直（第1课时）
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解二面角及其相关概念； 1.几何直观素养.
2.掌握平面与平面垂直的定义及判定定理. 2.空间想象素养和数学抽象素养.
3.运用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直问题. 3.几何直观素养和逻辑推理素养.
温故知新
1.直线与平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.
2.直线与平面垂直的判定定理
定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.
3.异面直线所成角
a
b
O
4.直线与平面所成角
α
l
P
A
θ
新知引入
在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线垂直.所以直线与直线垂直是研究直线、平面垂直的基础.
在平面几何中，我们 先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直.
水坝在修建的时候，为了坚固耐用，水坝的坡面与水平面要成一个适当的角度.
虚掩的门是指门和墙面什么关系？
新知探究
l
A
B
β
α
·P
·Q
如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle)．
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面.
①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作α-AB-β.
②为了方便，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P,Q，将这个二面角记作P-AB-Q.
③如果将棱记作l,那么这个二面角记作α-l-β或P-l-Q.
二面角
新知探究
在日常生活中，有很多平面与平面相交的例子．比如笔记本电脑打开过程中，屏幕和键盘所在的平面相交并形成了一定的角度；
书的两个页面；折截手机的两个面等.
二面角
新知探究
二面角的平面角
如图 ，在日常生活中，我们常说"把门开大一些"，
是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画
二面角的大小呢
在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
β
α
l
O
A
B
∠AOB的大小与点O在l上的位置有关吗？
为什么？
由等角定理可知，∠AOB的大小与点O在l上的位置无关.
新知探究
二面角的平面角
二面角的平面角的特征：
①角的顶点在棱上；
②角的两边分别在两个半平面内；
③角的边都要垂直于二面角的棱；
④∠AOB的大小与点O在棱上的位置无关.


l
O
A
B


A
O
B
新知探究
二面角的平面角
β
α
l
O
A
B
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.
图1
平面角θ为锐角
图2
平面角θ为直角
图3
平面角θ为0°
图4
平面角θ为180°
平面角是直角的二面角叫做直二面角．
二面角的平面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°．
新知探究
教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数.
教室的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上.
一般地， 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β．
如图 ，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．
在明确了两个平面相互垂直的定义的基础上，我们先研究平面与平面垂直的判定.
两个平面互相垂直的定义
知新探究
如图，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与
地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认
为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面．这种方
法说明了什么道理？
这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.
类似的结论也可以在长方体中发现.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，平面ABB′A′经过平面ABCD的一条垂线AA′，此时，平面ABB′A′垂直于平面ABCD.
两个平面互相垂直的判定定理
知新探究
一般地，我们有下面判定两个平面互相垂直的定理：
定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
图形语言表示
符号语言表示
a α，a⊥β α⊥β.
这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直.
线面垂直
线线垂直
面面垂直
两个平面互相垂直的判定定理
知新探究
已知：a⊥β，a α，a∩α=O.
求证：α⊥β.
证明：
设α∩β=l，则O∈l.
∴a⊥b，
则直线a与直线b所成角是二面角α-l-β的平面角.
∴α⊥β.
在平面内过点O作直线b⊥l．．
∴a⊥l．
O
l
∵a⊥β，l β
b
又∵a⊥β，b β
即二面角α-l-β的平面角是直二面角.
两个平面互相垂直的判定定理
知新探究
【例1】如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'．
证明：
∴AA'⊥BD，
∵ABCD-A'B'C'D'是正方体
分析：要证平面A'BD⊥平面ACC'A'，根据两个平面垂直的判定定理，只要证明平面A'BD经过平面ACC'A'的一条垂线即可.这需要利用AC、BD是正方形ABCD的对角线.
∴AA'⊥平面ABCD.
又BD⊥AC，AA'∩AC=AC，
∴平面A'BD⊥平面ACC'A'．
∴BD⊥平面ACC'A'.
注意：①直棱柱侧棱垂直于底面的任一条直线；
②正方形的对角线互相垂直.
知新探究
【例2】如图所示，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC．
分析：要证两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，
只需证明其中一个平面中的一条直线垂直于另一个平面，而
由直线与平面垂直的判定定理，还需证明这条直线与另一个平面内的两条相交直线垂直.
在本题中，由题意可知，BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA=A，从而BC⊥平面PAC，进而平面PAC⊥平面PBC.
知新探究
【例2】如图所示，AB是 O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC．
证明：
又PA∩AC=A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
∴PA⊥BC.
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴∠BCA=90°，即BC⊥AC.
∵C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是 O的直径，
∴BC⊥平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBC.
知新探究
【例3】如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AD=2AC，二面角A BD C的大小为 ．
解：
∵AC⊥平面BCD，BD 平面BCD，
∴AC⊥BD.
又BD⊥CD，AC∩CD＝C，
∴BD⊥平面ACD，
∴∠ADC即为二面角A BD C的平面角.
∵AD⊥BD，
在Rt△ACD中，AD=2AC，
∴∠ADC=30°，即二面角A BD C为30°.
30°
初试身手
1.如图所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求证：平面ABC⊥平面SBC.
证明：
方法1：（利用定义）∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
∴△ASB和△ASC都是等边三角形，
令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
∴∠ADS=90°,即二面角A－BC－S为直二面角，
则AD⊥BC，SD⊥BC，
SD＝，BD＝＝.
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，
∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
在Rt△BSC中，SB＝SC＝a，
如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，
在Rt△ABD中，AD＝，在△ADS中，∵SD2＋AD2＝SA2，
故平面ABC⊥平面SBC.
初试身手
1.如图所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求证：平面ABC⊥平面SBC.
证明：
方法2：（利用判定定理）
∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
∴SA＝AB＝AC，
∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
∴AD⊥平面SBC.
∵△SBC为直角三角形，
又∵AD 平面ABC，
∴平面ABC⊥平面SBC.
初试身手
证明：
⑵∵E,F分别为AC,AB的中点，
⑴∵E,P分别为AC，A'C的中点，
∵BC⊥AC,
∴EP∥平面AA'B，即EP∥平面A'FB.
∴EF∥BC.
2.如图，E,F分别为Rt△ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A'EF的位置,连接A'B,A'C,P为A'C的中点.
⑴求证：EP∥平面A'FB；
⑵求证：平面A'EC⊥平面A'BC.
∴EP∥AA'，
又AA' 平面AA'B，EP 平面AA'B，
∴EF⊥AC.
∴EF⊥A'E，
∴BC⊥A'E，
又A'E∩AC=E，
∴BC⊥平面A'EC，
∵BC 平面A'BC，
∴平面A'EC⊥平面A'BC.
初试身手
3.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,二面角D1-AB-C的大小是 .
解：
∵AB⊥平面BB1C1C，且BC1 平面BB1C1C，
又∵AB⊥BC，
而∠C1BC=45°，
在正方体ABCD -A1B1C1D1中,
∴二面角D1-AB-C的大小为45°.
∴AB⊥BC1，
∴∠C1BC为二面角D1-AB-C的平面角，
45°
课堂小结
1.二面角及其相关概念
2.两个平面互相垂直的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
β
α
l
O
A
B
平面角是直角的二面角叫做直二面角．
二面角的平面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°．
一般地， 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β．
课堂小结
3.两个平面互相垂直的判定定理
定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
图形语言表示
符号语言表示
a α，a⊥β α⊥β.
这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直.
线面垂直
线线垂直
面面垂直
作业布置
作业： P159 练习 第3, 4题
P163 习题8.6 第6, 7，8题
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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