6.3组合 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

6.3组合同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，则甲、乙、丙分到同一个地区的概率为（）
A． B． C． D．
2．有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中，取出4张排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有（ ）种．
A．72 B．144 C．384 D．432
3．若一个四位数的各位数字之和为4，则称该四位数为“数”，这样的“数”有（ ）
A．20个 B．21个 C．22个 D．23个
4．下列等式中错误的个数是（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5200的偶数个数是（ ）
A．87 B．129 C．132 D．138
6．2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有（ ）
A．792种 B．1440种 C．1728种 D．1800种
7．某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）
A．40 B．35 C．495 D．330
8．学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色，米白色，橄榄绿，薄荷绿，现在给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，则共有（ ）种不同的涂色方法.

A．108 B．96 C．84 D．48
二、多选题
9．用数字组成无重复数字的四位数，则（ ）
A．可组成个四位数
B．可组成个是的倍数的四位数
C．可组成各位数字之和为偶数的四位数有个
D．若将组成的四位数按从小到大的顺序排列，则第个数为
10．若且，则（ ）
A． B．
C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．可表示为
B．6个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手15次
C．A，B，C，D，E共5名同学站成一排，要求A，C必须相邻，B，E不能相邻，则共有24种不同的站法
D．将4名医护人员安排到呼吸、感染两个科室，要求每个科室至少有1人，则共有18种不同的安排方法
12．甲、乙、丙、丁、戊5名大学生计划到某小学一、二、三、四年级从事教学实践，则下列说法正确的有（ ）
A．若一年级必须安排2人，其余年级各安排1人，则有60种不同的方案
B．若每个年级至少安排1人，则有480种不同的方案
C．若5人自由决定实习年级，则有625种不同的方案
D．若甲不去一年级，乙不去二年级，则有576种不同的方案
三、填空题
13．有位大学生要分配到三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这位学生中的甲同学分配在单位实习，则这位学生实习的不同分配方案有 种．（用数字作答）
14．若满足关系式，则 ．
15．将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有 不同的涂色方法.
16．为落实好乡村振兴计划，某单位将包含小李、小王在内的5名工作人员分配到3个乡村去指导工作，要求每个乡村至少有1名工作人员指导工作，每名工作人员只能去1个乡村，且小李、小王必须去同一个乡村指导工作，则不同的分配方案种数为 .
四、解答题
17．现有4名男生和3名女生.
(1)若安排这7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？
(2)若邀请这7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数；
(3)若将这7名学生全部安排到5个备选工厂中的4个工厂参加暑期社会实践活动，要求3名女生必须安排在同一个工厂，求这样安排的方法共有多少种？
18．如图，在一个的网格中填齐1至9中的所有整数，每个格子只填一个数字，已知中心格子的数字为5.

(1)若要求所有的偶数均与数字5相邻（横排相邻或者竖排相邻），共有多少种不同的填写方案？
(2)若要求每一横排的数字从左到右依次增大，共有多少种不同的填写方案？
(3)若要求第二横排 第二竖排的3个数字之和均为15，且数字1不在第一横排，共有多少种不同的填写方案？
19．（1）将9个互不相同的小球放入三个不同的盒子，可以出现空盒，共有多少种不同的放法？（用数字作答）
（2）9个小球中有5个红球，2个黑球和2个白球，除了颜色以外，小球完全相同．将这9个小球排成一列，能产生多少种不同的图案？（用数字作答）
（3）有9个除了颜色外完全相同的小球，9个小球中只有红、黑、白三种颜色，共有多少种可能的组合？（用数字作答）
20．如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花．
(1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
(2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
(3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？
21．若函数的定义域、值域都是有限集合，，则定义为集合A上的有限完整函数.已知是定义在有限集合上的有限完整函数.
(1)求的最大值；
(2)当时，均有，求满足条件的的个数；
(3)对于集合M上的有限完整函数，定义“闭环函数”如下：，对，且，.若，，，则称为“m阶闭环函数”.证明：存在一个闭环函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示的函数关系）.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】先求出将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人共有多少种分法，再求出甲、乙、丙分到同一个地区的分法数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，
则有3人分到一个地区，分配方法共有种，
其中甲、乙、丙分到同一个地区的分配方法有，
故所求的概率为，
故选：D
2．D
【分析】根据所取数字之和为10，分3类，再由分类加法计数原理求解即可.
【详解】分3类：
①红1蓝1，红4蓝4，排成一排；
②红2蓝2，红3蓝3，排成一排；
③2个1选1张，2个2选1张，2个3选1张，2个4选1张，排成一排，
由分类加法计数原理，共种，
故选：D．
3．A
【分析】根据的不同构成，分类讨论求解.
【详解】易知，
当四位数由4，0，0，0构成时，共有1种情况，
当四位数由3，1，0，0构成时，共有种情况，
当四位数由2，2，0，0构成时，共有种情况，
当四位数由2，1，1，0构成时，共有种情况，
当四位数由1，1，1，1构成时，共有1种情况，
所以这样的“数”有20个.
故选：A.
4．A
【分析】利用组合数和排列数的阶乘公式一一判断即得.
【详解】对于（1），因，而，故不能恒成立，故（1）错误；
对于（2），因，则，故（2）正确；
对于（3），因，故（3）正确；
对于（4），因，故（4）正确.
故选：A.
5．A
【分析】按千位数分别是5，7，8进行分类讨论即可.
【详解】若千位数字是5，则百位数字不能是1，故共有（个）；
（①一个四位数为偶数，则其个位上的数字一定是偶数；②组成的四位数要大于5200，则其千位上的数字是5，7或8）
若千位数字是7，则共有（个）；
若千位数字是8，则共有（个）．
故符合条件的四位数共有（个）．
故选：A
6．B
【分析】分类讨论甲是否安排在初一或初二两种情况，结合平均分组分配法分别考虑两种情况的安排种数，从而利用分类加法计数原理即可得解.
【详解】当甲安排在初一或初二时，再安排一人在初二或初一，则有种排法，
再利用平均分组分配法将初三到初八分配给剩下的3人，有种排法，
所以一共有种排法；
当甲不安排在初一或初二时，安排两人在初一或初二，有种排法，
不考虑甲两天不能连排的情况，有种排法，
其中甲两天连排的排法有种，故初三到初八的值班安排有种排法，
所以一共有种排法；
综上可知共有种不同排法.
故选：B.
7．B
【分析】根据题意，将问题转化为将熄灭的4盏灯插到，排成一排的亮着的8盏灯的空位中，即插空法，从而得解.
【详解】根据题意，原来有12盏路灯，熄灭其中的4盏灯，还有8盏是亮着的，
先将亮的8盏灯排成一排，由于两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，
则亮着的8盏灯的空位中有7个符合条件的空位，
进而在这7个空位中，任取4个插入熄灭的4盏灯，有种方法.
故选：B.
8．C
【分析】分类考虑，选2种颜色，或选3种颜色，或选4种颜色涂色，计算出各种情况的涂色方法，根据分类加法原理，即可求得答案.
【详解】若选2种颜色，则①③同色，②④同色，共有种涂色方法；
若选3种颜色，则①③或者②④中必有两块区域同色，另两块区域不同色，共有种涂色方法；
若选4种颜色，共有种涂色方法；
故共有（种）涂色方法，
故选：C
9．BD
【分析】结合千位数字不能为，利用分步乘法计数原理列出式子可判断选项A；根据的倍数的数字特点分类讨论可判断选项B；先把各位数字之和为偶数的数字组合列举出来，再根据计数原理列出式子可判断选项C；对四位数的千位和百位进行讨论可判断选项D.
【详解】对于选项A：先安排千位上的数字，有种；再安排百位、十位和个位上的数字，有种；
根据分步乘法计数原理可得，共组成个四位数，故选项A错误；
对于选项B：因为的倍数的四位数个位上为或，
所以分为两类：当个位是时，有种；当个位上时，有种，
∴共有种，故选项B正确；
C选项，先把各位数字之和为偶数的数字组合列举出来，有，，，，，，，，，，，；
再将每个组合中的四个数字排列组成一个四位数共种；故选项C错误；
对于选项D选：因为千位为的四位数有个；
千位为，百位为的四位数有个；
千位为，百位为的四位数有个；
共；
而千位为，百位为的四位数从小到大排列有：，，，
所以第个数为，故选项D正确.
故选：BD.
10．BC
【分析】根据排列数和组合数的公式及性质逐项判断即可.
【详解】由组合数的性质知，故A错误；
因为，，故，故B正确；
由，得，故C正确；
，故D错误.
故选：BC.
11．BC
【分析】根据排列数的计算公式可判断A；
两两握手，即随便选出两人握手的所有可能结果数，通过计算即可判断B；
利用捆绑法，将捆绑排列，再把当成一个整体与排列，再利用插空法将插入3个空位中，列出式子计算即可判断C；
按3，1分组，和2，2分组两种情况，分别求出对应的安排方法，相加即可判断D.
【详解】对于A选项，，故A错误；
对于B选项，6人两两握手，共握（次），故B正确；
对于C选项，5名同学站成一排，要求A，C必须相邻，B，E不能相邻，故有（种）不同的方法，故C正确；
对于D选项，将4人按3，1分组，共（种）分法，再分到科室有（种）分法；
将4人按2，2分组，共有（种）分法，再分到科室有（种）分法.
故每个科室至少有1人，共有（种）安排方法，故D错误.
故选：BC.
12．AD
【分析】利用分步计数原理结合排列知识判断A，根据分堆分配问题的解决方法判断B，根据分步计数原理判断C，D.
【详解】对于A，事件一年级必须安排2人，其余年级各安排1人，可分为两步完成，
第一步从5人中选2人去一年级，共有种方法，
第二步将余下3人分到二，三，四年级，共有种方法，
由分步乘法计数原理可得满足条件的方案有种，A正确；
对于B, 每个年级至少安排1人的方法数为种，B错误；
对于C，事件5人自由决定实习年级的方法共有种，C错误；
对于D，事件甲不去一年级，乙不去二年级可分为5步完成，
第一步安排甲，有3种方法，
第二步安排乙，有3种方法，
第三步安排丙，丁，戊，有种方法，
由分步乘法计数原理可得，共有种方法，D正确，
故选：AD.
13．
【分析】根据特殊元素进行分类计数，具体分类下是不相同元素分配问题，先分堆再配送，注意平均分堆的要除以顺序.
【详解】根据特殊元素“甲同学”分类讨论，
当单位只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种；
当单位不只有甲时，其余四人分配到，不同分配方案有种；
合计有种不同分配方案，
故答案为：.
14．
【分析】根据组合数性质得：或，并且的取值满足与都为区间上的整数，解出并验证即可.
【详解】由组合数性质可知：若满足关系式，
则或，解得或；
又因为与都为区间上的整数，
当时，不合题意，舍去；
当时，，符合题意，所以.
故答案为：
15．
【分析】根据题意，分类讨论，若、同色．若、不同色，由分类加法原理，计算可得答案.
【详解】图中区域分别为，，，，，则分类讨论，
若、同色，先涂，方法有种，再涂、，方法有种，最后涂、，
共有种不同方法．
若、不同色，先涂，方法有种，再涂、，方法有，
最后涂、只有种方法，所以若、不同色时共有种不同方法，
综上，所有的涂法共有种.
故答案为：
16．36
【分析】根据题意可分为一个乡村分配3人，其余各村分配1人，和一个乡村分配1人，2个乡村各分配2人的2种分配方案，从而可求解.
【详解】①1个乡村分配3人，另外2个乡村各分配1人的分配方案有（种）；
②1个乡村分配1人，另外2个乡村各分配2人的分配方案有（种）.
依据分类加法计数原理可知不同的分配方案种数为.
故答案为：36
17．(1)1440
(2)25
(3)1200
【分析】（1）采用插空法进行求解即可；
（2）采用去杂法进行求解即可；
（3）根据分类加法计数原理，结合排列和组合的定义进行求解即可.
【详解】（1）由题意可知；运用插空法，可得共有排法数为种.
（2）由题意可知：邀请这7名学生中的4名参加一项活动共有种方法，
男生甲和女生乙同时参加的方法有
共有邀请方法数为种.
（3）有两类不同情形：
①先选4个工厂，将3名女生和1名男生安排在同一个工厂，其余3名男生分别在另三个工厂，一厂安排一人，其方法数为种；
②先选4个工厂，将3名女生安排在一个工厂，4名男生安排在另外三个工厂，有一厂两人，另两厂各一人，
其方法数为种.
所以共有种不同的安排方法.
18．(1)576种；
(2)320种；
(3)720种
【分析】（1）先安排4个偶数，再安排4个奇数，按照分步计数原理，即可求解；
（2）先选数字排第二行，再排第一行，第三行，结合组合数公式，即可求解；
（3）先排有5的第二横排和第二竖排，再排其他.
【详解】（1）要求4个偶数均与数字5相邻，则4个偶数只能填写在5的上 下 左 右4个网格，再排4个奇数，共有种不同的填写方案.
（2）先从中选1个数字放在5的左边，再从中选1个数字放在5的右边，然后从剩下的6个数字中选3个数字放在第一排，最后剩下3个数字放在第三排，共有种不同的填写方案.
（3）先完成有5的第二横排和第二竖排，第二横排或第二竖排的其他2个数字之和必然为10，则要从1和9，2和8，3和7，4和6这4个组合中选出两个组合填写.
第一类，当第二横排的其他2个数字为1和9时，共有种不同的填写方案.
第二类，当第二竖排的其他2个数字为1和9时，且数字1不在第一横排，共有种不同的填写方案.
第三类，当第二横排且第二竖排的其他2个数字均不是1和9时，且数字1不在第一横排，共有种不同的填写方案.
故共有种不同的填写方案.
19．（1） ；（2）；（3）
【分析】（1）利用分步乘法计数原理进行求解；（2）利用倍缩法进行求解；（3）转化为9个相同的球放入三个盒子，每个盒子中至少有一个球，使用隔板法进行求解.
【详解】（1）每个球均有三种选择，共种选择；
（2）先将9个小球进行全排列，共有种选择，
由于5个红球，2个黑球和2个白球，除了颜色以外，小球完全相同，
故会有种重复情况，所以共有种不同的图案；
（3）可以看作将9个相同的球放入三个盒子，每个盒子中至少有一个球，
将9个小球排成一排，9个小球之间共有8个空，选出两个空插入隔板，故共种．
20．(1)种
(2)种
(3)种
【分析】（1）由全排列公式求出答案；
（2）先选出两个区域种植同一种颜色的花，再考虑其他三种颜色的花，利用分步乘法计数原理得到答案；
（3）对区域种植的花的颜色分类讨论，求出各种情况的种植方案数，相加后得到答案.
【详解】（1）由全排列可得，共有种不同的种植方案．
（2）第一步，先将5个区域选出2个区域种植一种相同颜色的花，共有种方案；
第二步，再将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域，共有种方案．
所以共有种不同的种植方案．
（3）要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中，则必然有2个区域种植相同颜色的花．
第一类，区域种植红色的花，4个区域中有2个区域种植其他相同颜色的花，
则相同颜色的花必然种植在或区域，共有种方案．
第二类，区域种植黄色的花，同理可得，共有种方案．
第三类，区域种植蓝色的花，若有2个区域种植白色的花，
则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，所以不可能有2个区域种植白色的花，
故2个区域种植的相同颜色的花是红色或黄色的花，共有种方案．
第四类，区域种植白色的花，同理可得，共有种方案．
综上，共有种不同的种植方案．
21．(1)140
(2)42
(3)证明见解析
【分析】
（1）根据有限完整函数的定义，结合基本不等式，即可求的答案；
（2）由题可得出，由此结合排列组合的知识，即可求得答案；
（3）由题意可知，不妨取一个闭环函数，然后结合“m阶闭环函数”的定义，证明该函数既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数，即可证明原命题.
【详解】（1）
由题意得
，
当且仅当时取等号，
即的最大值为140；
（2）
由题意知，
从集合M中任取5个数，记为，共有中取法，然后剩余的两个数全排列，
故共有个满足条件；
（3）证明：以下面表格作为的函数关系：
x 1 2 3 4 5 6 7
2 3 1 5 6 7 4
，
故为3阶闭环函数；
又，
故也为4阶闭环函数，
故原命题得证.
【点睛】难点点睛：本题考查函数的新定义问题，解答时要理解新定义的含义，并由此去解决问题，解答的难点在于（3）中对“m阶闭环函数”的定义的理解，关键在于取一个闭环函数后，要说明该函数符合3阶闭环函数以及4阶闭环函数的定义，从而证明结论.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页