6.4计数原理在古典概率中的应用 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

6.4计数原理在古典概率中的应用同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．随着国潮的兴起，大众对汉服的接受度日渐提高，中国大众穿汉服的场景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、日常活动、婚庆典礼7类．某自媒体博主准备从图片网站上精选15张中国大众穿汉服的照片，要求每类场景至少选1张、至多选3张，则不同的选择方案的种数为（ ）
A．252 B．162 C．357 D．324
2．如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（ ）
A．48种 B．36种 C．24种 D．12种．
4．五经为历代儒客学子核心研习书经，一般指儒家典籍《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，也是中国保存至今的最古老的文献．某文学社团将社团成员分成两组摘抄五经，每组分配两本或三本经文摘抄，每本经文只摘抄一次，则《诗经》与《春秋》恰好分配到同一组的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．用5种不同的颜色对如图所示的A，B，C区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有（ ）种不同的着色方法．
A．60 B．64 C．80 D．125
7．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，2，，，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法共有（ ）
A．21 B．24 C．27 D．30
8．一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光 蓝色光 绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（ ）
A．60种 B．68种 C．82种 D．108种
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．空间有个点，其中任何点不共面，以每个点为顶点作个四面体，则一共可以作个不同的四面体
B．甲 乙 丙个人值周，从周一到周六，每人值天，但甲不值周一，乙不值周六，则可以排出48种不同的值周表
C．从这个数字中选出个不同的数字组成五位数，其中大于的共有个
D．个不同的小球放入编号为的个盒子中，恰有个空盒的放法共有种
10．有甲、乙、丙等6名同学，则下列说法正确的是（ ）
A．6人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为240
B．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为240
C．6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有90种
D．6名同学分成三组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙、丙在一起，则不同的安排方法有36种
11．下列说法正确的有（ ）
A．某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有12种
B．某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，不同的选法有42种
C．两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人乘坐车厢的方法共有36种
D．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法有82种
12．有6本不同的书，按下列方法进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法
B．分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有180种分法
C．分给甲、乙、丙、丁四人，甲、乙每人2本，丙、丁每人1本，有180种分法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法
三、填空题
13．从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为 ．
14．雅礼中学将5名学生志愿者分配到街舞社 戏剧社 魔术社及动漫社4个社团参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个社团 每个社团至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 种
15．如图，三角形的每一边上都有两个点，在这9个点（包括三角形的顶点）中任取4个点，能构成四边形的概率为 （用最简分数表示）
16．某地为以下社会主义核心价值观宣传标语进行涂色装饰，要求相邻的标语之间不能用同一颜色，现在有四种颜色可供选择，有 种不同的涂色方案
自由 平等 公正 法制
四、解答题
17．甲、乙两队各有个队员，已知甲队的每个队员分别与乙队的每个队员各握手一次（同队的队员之间不握手），从这次握手中任意取两次．记事件：两次握手中恰好有4个队员参与；事件：两次握手中恰好有3个队员参与．
(1)当时，求事件发生的概率；
(2)若事件发生的概率，求的最小值．
18．现有4个数学课外兴趣小组，其中一、二、三、四组分别有3人、4人、5人、6人.
(1)选1人为负责人，有多少种不同的选法？
(2)每组选1名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选2人发言，这2人需来自不同的小组，有多少种不同的选法？
19．某中学为研究学生使用数学错题本的时长对数学成绩的影响，从高二年级学生中随机抽取了50人，统计了他们每周使用数学错题本的平均时长（单位：分钟）和数学成绩优秀的人数（单位：人），得到如下统计表：
每周使用数学错题本的平均时长
人数 6 14 21 3
数学成绩优秀的人数 1 6 15 4 2
(1)试估算该中学高二年级学生每周使用数学错题本平均时长的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
(2)若从统计表中每周使用数学错题本的平均时长在的学生中随机抽取2人，求这2人中最多有1人数学成绩优秀的概率．
20．将3个数字1，2，3随机填入如下99个空格中，每个空格中最多填一个数字，且填入的3个数字从左到右依次变大.

(1)求数字2填在第2个空格中的概率；
(2)记数字2填在第个空格中的概率为，求的最大值.
21．有5对夫妇和A，B共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法），而后进行合影留念.
(1)就餐时，5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，A，B不相邻，共有多少种坐法；
(2)合影时，若随机选择5人站成一排进行合影，求有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻的概率．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】先从7类场景中各选1张，然后将问题转化为从7类场景中选8张照片，且每类场景至多选2张，可以不选求解.
【详解】解：因为从7类场景中选15张照片，每类场景至少选1张、至多选3张，
所以先从7类场景中各选1张，然后将问题转化为从7类场景中选8张照片，且每类场景至多选2张，可以不选，
分四类情况，
所以不同的选择方案的种数为，
故选：C．
2．B
【分析】由排列组合以及分类加法计数原理求解个数，即可由古典概型概率公式求解.
【详解】使用4种颜色给四个区域涂色，有种涂法；
使用3种颜色给四个区域涂色，共有种涂法；
（使用3种颜色给四个区域涂色有两类情况：①区域A与区域C涂同一种颜色，区域B与区域D涂另外2种颜色；
②区域B与区域D涂同一种颜色，区域A与区域C涂另外2种颜色）
使用2种颜色给四个区域涂色，共有种不同的涂法．
所以所有的涂色方法共有（种），故使用2种颜色给四个区域涂色的概率为．
故选：B
3．A
【分析】满足条件的涂色方案可分为区域同色，且和其它区域不同色和区域同色两类，且和其它区域不同色，结合分步乘法计数原理，分类加法计数原理求解即可
【详解】满足条件的摆放方案可分为两类，
第一类区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案，
满足条件的方案可分四步完成，
第一步，先摆区域有种方法，
第二步，摆放区域有3种方法，
第三步，摆放区域有2种方法，
第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法，
由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案，
第二类，区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案，
满足条件的方案可分四步完成，
第一步，先摆区域有种方法，
第二步，摆放区域有3种方法，
第三步，摆放区域有2种方法，
第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法，
由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案，
根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有种，
故选：A.
4．C
【分析】先求出总的基本事件数，再求出《诗经》与《春秋》恰好分配到同一组的基本事件数，再根据古典概型的公式求解即可.
【详解】将《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》这五本经书分给两组，每组分配两本或三本，其所有等可能事件总数为，
其中，《诗经》与《春秋》恰好分配到同一组所包含的基本事件个数为，
所以《诗经》与《春秋》恰好分配到同一组的概率为．
故选：C．
5．C
【分析】应用分组分配法、分步计数求活动安排的方法数，最后运用古典概率模型概率公式即得.
【详解】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3，1，1，第二类分法是2，2，1，再分配到三项活动中，总方法数为，
因甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同，故只需先把甲,乙,丙三人在三项活动上安排好，再让丁，戊两人分别在三项活动中选择，
其方法数为. 故甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为．
故选:C．
6．C
【分析】根据给定条件，按用色多少分类，再利用分步乘法计数原理列式计算即得.
【详解】依题意，对A，B，C区域进行着色，可以用2种颜色，也可以用3种颜色，
用2种颜色，则A，C必同色，不同着色方法有（种），
用3种颜色，不同着色方法有（种），
所以不同着色方法共有（种）.
故选：C
7．C
【分析】根据题意可将回到点处问题转化为所掷点数之和为8或16，分情况讨论按照分类分步计数原理即可求得结果.
【详解】根据题意，正方形的边长为2个单位，则其周长是8，
若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处，则三次骰子的点数之和是8或16，
若三次骰子的点数之和是8，有1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共5种组合，
若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，
其中1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，这5种组合有种顺序，
1、2、5，1、3、4，这2种组合有种顺序，
则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法种，
故选：C
8．D
【分析】利用插空法结合组合数求解.
【详解】每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，
所以需把3个亮的发光原件插入未点亮的元件中，有种方法，
且不同颜色数有种，
所以这排电子元件能表示的信息种数共有种.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查组合计数问题，关键是插空法的应用.
9．ACD
【分析】直接利用组合数计算，判定A；对甲的值周按照是否在星期六分类，利用组合结合分步乘法计数原理计算，从而判定B；按照首位分类，利用排列数计算可以判定C；利用先分组后排列的方法，结合乘法原理和排列组合计算判定D.
【详解】对于：空间有个点，其中任何点不共面，以每个点为顶点作个四面体，可以
有种取法，即可以作个不同的四面体，A正确；
对于B：分种情况讨论：①甲排在星期六，有种排法；②甲不排在星期六，
有种排法；则值班方案种数为种，B错误；
对于C：分种情况讨论：①五位数的首位为时，有个五位数，
②五位数的首位为时，其千位数字不能为，有个五位数，
则共有个大于五位数，C正确；
对于D：分步进行：①将个小球分为组，有种分组方法，②在个盒子中
任选个，放入三组小球，有种情况，则有种不同的放法，D正确；
故选：ACD.
10．ACD
【分析】用捆绑发即可判断A，用倍缩法即可判断B，用平均分组公式即可判断C，用分类加法分步乘法即可判断D.
【详解】对于A，6人站成一排，甲、乙两人相邻，可以采用捆绑法，则不同的排法种数为，故A正确；
对于B，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种，故B错误；
对于C，6名同学平均分成三组分别到、、三个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则有种，故C正确；
对于D，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，若还有一位同学与他们一组，共有种分法；
若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有种分法；共有6种分组方法，再分配到三个活动中，共有种，D正确．
故选：ACD.
11．AC
【分析】根据排列组合的知识逐项判断可得答案.
【详解】对于A，某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，
不同的选法有种,故A正确；
对于B，某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，
不同的选法有种，故B错误；
对于C，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，
两人乘坐车厢的方法共有种，故C正确；
对于D，先排列丙、丁、戊有种排法，再让甲、乙去插空位，
有种排法，则甲乙不相邻的排法有种,故D错误.
故选：AC.
12．AC
【分析】利用分步乘法原理和排列数、组合数的性质逐一判断即可.
【详解】选项A：先从6本书中分给甲2本有种分法，
再从其余4本书中分给乙2本有种分法，
最后2本书给丙有种分法，
所以不同的分配方法有种，选项A说法正确；
选项B：先把6本书分成3堆：4本、1本、1本，有种分法，
再分给甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有种，选项B说法错误；
选项C：先把6本不同的书分给甲乙两人每人各2本有种分法，
再将其余2本分给丙丁两人有种方法，
所以不同的分配方法有种，选项C说法正确；
选项D：先把6本不同的书分成4堆：2本、2本、1本、1本，有种方法，
再分给甲乙丙丁四人，所以不同的分配方法有种，选项D说法错误；
故选：AC
13．
【分析】分别求出11个零件的平均数49、第六十百分位数50，众数45，然后分别求出取出3个零件有165种，3个零件符合平均数、第六十百分位数、众数有6种情况，再利用古典概率从而可求解.
【详解】由题意知11个零件的平均数为，
第六十百分位数的位置为，即取第7位数50，故第六十百分位数为50，
由题可知众数为45，
所以当从11中取出3个零件共有种情况，
则3个数分别为平均数49、第六十百分位数50，众数45共有种情况，
所以其概率为，
故答案为：.
14．240
【分析】根据题意，先将5名学生志愿者分为4组，再将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①将5名学生志愿者分为4组，有种分组方法，
②将分好的4组安排参加4个社团参加志愿活动，有种情况，
则有种分配方案.
故答案为：.
15．/0.5
【分析】计算在这9个点中任取4个点的情况，减去四点共线以及三点共线的情况，结合古典概型概率公式可得结果.
【详解】从这9个点中任选4个点共有种情况，
当四点共线或三点共线时，均不能构成四边形，此时有种情况，
所以能构成四边形的概率为：.
故答案为：
16．108
【分析】分步乘法原理，求出依次涂色时选择颜色的种类，再作乘法计算即可.
【详解】依次涂色，涂“自由”时可用4种颜色，涂“平等”时有3种颜色，涂“公正”时有3种，涂“法制”时有3种颜色，
所以共有种，
故答案为：108.
17．(1)
(2)20
【分析】（1）根据古典概型的求法，求出基本事件空间，及A事件的基本事件数即可得解；
（2）根据古典概型求出概率建立不等式求解，可得的最小值.
【详解】（1）样本空间包含的基本事件总数为，事件包含的基本事件总数为，
所以．
（2）因为样本空间包含的基本事件总数为，事件包含的基本事件总数为，
所以，故，即，
而当时，，
所以的最小值为20．
18．(1)18
(2)360
(3)119
【分析】（1）根据分类加法计数原理即可求解；
（2）根据分步乘法计数原理即可求解；
（3）根据分步乘法、分类加法计数原理即可求解；
【详解】（1）分四类：第一类，从一组中选1人，有3种方法；
第二类，从二组中选1人，有4种方法；
第三类，从三组中选1人，有5种方法；
第四类，从四组中选1人，有6种方法.
所以不同的选法共有种方法.
（2）分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四组中选1名组长，
所以不同的选法共有种方法；
（3）分六类：第一类，从一、二组中各选1人，有种方法；
第二类，从一、三组中各选1人，有种方法；
第三类，从一、四组中各选1人，有种方法；
第四类，从二、三组中各选1人，有种方法；
第五类，从二、四组中各选1人，有种方法；
第六类，从三、四组中各选1人，有种方法；
所以不同的选法共有种方法.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，求出，再利用平均数的计算公式，即可求出结果；
（2）分没有一人数学成绩优秀和恰有一人数学成绩优秀两种情况，利用古典概率公式和互斥事件的概率公式，即可求出结果.
【详解】（1）由统计表，得，设高二年级学生每周使用数学错题本平均时长的平均数为，
则.
（2）由（1）知，所以每周使用数学错题本的平均时长在的学生中随机抽取2人，
没有一人数学成绩优秀的概率为，
恰有一人数学成绩优秀的概率为，
所以2人中最多有1人数学成绩优秀的概率为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）由题意第1格填1，第2格填2，从而可得概率；
（2）由题意可得，再分析1和3的位置求解概率与最大值即可.
【详解】（1）由题意第1格填1，第2格填2，3在第3格到99格中任意一个，
所有可能的情况有种，故数字2填在第2个空格中的概率为.
（2）由题意可得，且，1填在第个空格的前格中1格，3填在第个空格的后格中1格.
故.
当时，取得最大值，最大值为
21．(1)1152种
(2)
【分析】（1）先排甲、乙二人的太太及这两对夫妇，再排余下3对夫妇，最后用插空法排，，借助分步乘法计数原理计算即得.
（2）有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻，分都被选中，只有一个被选中，都没被选中，三种情况，再按古典概型求概率.
【详解】（1）分成三步来完成第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2种坐法，
甲、乙二人的座位也随之确定；
第二步，排其余3对夫妇的座位，有种坐法；
第三步，排，，二人的座位，有种坐法，
根据分步乘法计数原理，共有种坐法.
（2）若随机选择5人站成一排进行合影，有种，
有且只有1对夫妇被选中且合影时相邻，
分为：当都被选中，有种，
当只有一个被选中，有种，
当都没被选中，有种，
则概率为：.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页