广东省东莞中学松山湖学校，深圳大学附属中学2023-2024学年高二下学期4月第一次段考数学试题（含答案）

2023-2024学年度第二学期第一次段考高二年级数学试题
试卷分值：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的选项中，只有一个选项符合要求.）
1．曲线在点 ）处的切线的斜率为（）
A.S B.6 C.7 D.8
2．若，则
A.7 B.6 C.5 D.4
3．从1；2；3；4,5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到奇数的条件下，第2次又抽到奇数的概率是（）
A. B. C. D.
4．若，则
A.2
5．函数的图象大致为（
A. B.
C. D.
6.的展开式中，项的系数为
A.60 B.-60 C.-30 D.10
7．将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有（）
A．18种 B．24种 C．54种 D．60种
8．设函数 在上的零点分别为a， ，则a，b，c的大小顺序为（）
A. B. C. D.
数学试券第1共页
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二、多项选择题（本题共3个小题，每个小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9．在某次太空旅行中，字航员们要对需要完成的A，B，C，D，E，F六个科学实验进行排序，则下列说法下确的是（）
A．若C，D相隔一个实验，则不同的排序种数有96种2
B．若A、B相邻，则不同的排序种数有240种
C．若E不在第一个，F不在最后一个，则不同的排序种数有504种
D.A排在B，C之前的概率为
10．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球；分别以4,4，和4，表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示从乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是
A. B.
C.事件B与事件3）相互独立 D．
11．已知函数为定义在上的奇函数，若当时，，且则（）
A. B.当时， (1)
C. D.不等式解集为
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．若随机变量，且，则
13．已知随机变量X，y满足，且随机变量X的分布列如图：则随机变量Y的方差 等于
X 0 1 2
a
14．对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部反比例对称函数”.若的导函数是定义在区问L的“局部反比例对称函数”，则实数m的最大值与最小值之和为.
高二数学试卷第2页，共4页
四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答过程需要写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（13分）已知数列满足，数列前n项和
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求的通项公式；
（3）设，求的最大值.
16．（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中， PA1平面 .E为PD的中点，点F在PC上，且
（1）求证：CDL平面PAD；
（2）求二面角F-AE-P的余弦值；
（3）设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.
17．（15分）甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为P，且每次投篮相互独立，经商定共设定5个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛规则如下：甲分别在5个投篮点投球，且每投中一次可获得1分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投篮中止，且每投中一次可获得2分．按累计得分高低确定胜负．
（1）若乙得6分的概率，求P；
（2）由（1）问中求得的p值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？
18．（17分）已知椭圆C： 的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三．角形的面积为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知白线 C相交于A、B两点，轴，y轴交于M、N两点.①若 AN，求k的值：
②若点Q的坐标为，求证： 力定值.
19．（17分）已知函数
（1）若x-1是函数的一个极值点，求实数a的值；
（2）若函数有两个极值点x ，其中
①求实数a的取值范围；
②若不等式恒成立，求实数k的取值范围.
2023-2024学年度第二学期第一次段考高二年级数学参考答案
一、单项选择题1-8．BDCC CABB
二．多项选择题9．BCD 10．ABD 11． ACD
三、填空题12.0.3（或)
13. （或14.
四、解答题15．（13分）解（1）因为
所以 则 2分
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． 分
（2）由（1）可得： ，所 4分
当时，
分
时， 满足，所以 分
（3）由（2）可得 可得
所以 山，（也可作差完成）· 分
可得当n-1,2时， ，当 单调递减，
可得 为最大值，
16．（15分）解（1）因为PA工平面 平面AB（ ，则 又，且 平面，故CD1平面 ····3分
（2）过点A作AD的重线交BC于点M，
因为PAL平面AB D，且 C平面，所以PALAM，PALAD，故以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则
所以
，故 分
设平面AEF的法向量为，则
令：1，则--1． 1，故n（-1,1,1）， 分
易知上面的法向量 （1,0.0），所
由题总可加. 血角F一E P为锐 血角，
故二面角FAC-P的余弦值为11分
（3）直线AG不在平面AEF内，
因为点G在PB上，且 ，故
则 13分
山（2）可知，半面AEF的法向量为，所以AG
所以直线AG不在平面 15分
17．（15分）解（1）若乙得6分，则需乙前3个投篮投中，第4个投篮未中，
其概率为 ，故，解得 分
（2）设X为甲累计获得的分数，则，所以 分设Y为乙累计获得的分数，则Y的可能取值为0,2,4,6,8,10，
分
所以Y的分布列为：
Y / 0 2 4 6 8 10
所以 11分
因为，所以甲获胜的可能性大 15分
18．（17分）解（1） ，代得
又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即，即
以上各式联立解得，则椭圆方程为 分
(2)①设，直线轴交点为，与y轴交点为
，由得
分
联立，消去y得
则，则，得
解得，山得 1分
②由①知
为定值. ·17分
18．（17分）解（1）定义域为，易知
x 是函数的 个极值点，，即 分
此时，令
上单调递增，且
当，当 在（0.1）上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，即符合题总：因此实数a的值为-1． 分
（2）①因为，且有两个极值点
所以方程有两个不同的根，即方程有两个不同的正数根，
将问题转化为函数函数的图象在上有两个不同交点，
则，令，解得
单调递减， 单调递增，····8分
H时，
故作出的图象如下：由图象可得满足题意，即
即实数a的取值范围为 0分
②由（知的两个根.
故，则
不妨设 所以 11分
可得 ，即2lnx， ，所以Inx
故山可得
即，所以
也即，化简得
由于，所以等价于对任意的恒成立，·········13分
令 ，故对任意的恒成立，
则，设，则 14分
(1)时， 单调递增，
故单调递减，故，不满足，舍去：
（ii）当 时， 单调递减，
故单调递增，故，故恒成立、符合题点：
（m）当 ，令，则／-k，
当时， 单调递增，时，单调递减.
又，故 单调递减，故
因此当k ＜1时， ，不符合题恶，舍去。综上，实数k的取值范围为分