6.5二项式定理 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

6.5二项式定理同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B．40 C．41 D．82
2．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，则的值可以是（ ）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
3．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为（ ）
A． B． C．10 D．80
4．某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（ ）
A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34
5．已知，若，且，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
6．，的展开式中项的系数等于40，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7．的展开式中常数项为（ ）
A． B．15 C． D．
8．在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（ ）
A．32 B． C．0 D．1
二、多选题
9．已知二项式的展开式中共有项，则下列说法正确的有（ ）
A．为 B．所有项的二项式系数和为
C．二项式系数最大的项为第4项 D．没有常数项
10．已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A． B．展开式中奇数项的二项式系数和为256
C．展开式中第6项的系数最大 D．展开式中存在常数项
12．若，为正整数且，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
14．若则的值 ．
15．若的展开式中有理项的系数和为2，则展开式中的系数为 ．
16．设，则 ；当时， ．
四、解答题
17．（1）若，求的值；
（2）在的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，
①求的值；
②若第项是有理项，求的取值集合；
③求系数最大的项．
18．已知在的展开式中，第项与第项的二项式系数之比是．
(1)求展开式中的常数项，并指出是第几项；
(2)求展开式中的所有有理项；
(3)求展开式中系数绝对值最大的项．
19．已知二项式的展开式中，第7项为常数项，且各项系数之和等于其二项式系数之和.
(1)求与的值；
(2)求其展开式中所有的有理项.
20．设数列的前项和为，已知，且．
(1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，数列的前项和为，求除以16的余数．
21．（1）已知，求展开式中的第二十九项；
（2）已知展开式中各项二项式系数之和为64，求展开式所有项的系数之和；
（3）已知，求展开式中系数最大的项（结果中项的系数可以不计算）．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】利用赋值法求出、，从而解得.
【详解】因为，
令，可得，
令，可得，
两式相加可得.
故选：C
2．D
【分析】首先根据二项式定理化简，再判断余数，结合选项，即可求解.
【详解】，
所以除以9的余数是8，
选项中只有2024除以9余8.
故选：D
3．A
【分析】由所有项的二项式系数之和求出的值，然后借助于二项式展开式的通项求出含的项，确定的值，求出系数.
【详解】因为展开式中所有项的二项式系数之和为32，即，所以.
又的展开式的通项，
令，则的展开式中的系数为.
故选：A．
4．D
【分析】利用等比数列的通项公式、二项展开式计算可得答案.
【详解】存入大额存款元，按照复利计算，
可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
可得，
故选：D.
5．B
【分析】令，结合求出，令，求出，进而可得，再根据二项展开式即可得解.
【详解】对于，
令，得，故，
令，得，
故，
令，得，则等式变为，
则，又，所以，故．
故选：B.
6．A
【分析】结合二项式定理展开式通式的对应关系求出，再由充分、必要条件判断即可.
【详解】的展开式中含项为，
故，解得，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
7．C
【分析】将改写成，利用二项展开式的通项公式求出其通项，再按照常数项要求，对进行赋值即可求得.
【详解】对于可写成，故其通项为：，即
,
要求展开式中的常数项，需要x的幂指数为0，即需使，即，当时，；当时，.
故二项展开式中的常数项为：
故选：C.
．
8．D
【分析】根据二项式的所有二项式系数之和的表达式求得的值，再对赋值1即可求得.
【详解】依题，解得，则二项式的所有项系数之和为.
故选：D.
9．CD
【分析】根据二项式展开式的特征求出，即可判断A，再由二项式系数和为判断B，由二项式系数的特征判断C，写出展开式的通项，即可判断D.
【详解】因为二项式的展开式中共有项，所以，解得，故A错误；
二项式所有项的二项式系数和为，故B错误；
因为二项式展开式中共有项，所以二项式系数最大的项为第项，故C正确；
二项式展开式的通项为，
令，解得（舍去），所以展开式中没有常数项，故D正确.
故选：CD
10．ABD
【分析】根据条件，利用赋值法，即可判断出选项A、C和D的正误，选项B，直接展开，利用多项式乘法即可解决.
【详解】对于选项A，令，得到，所以选项A正确，
对于选项B，因是的系数，又，
所以，所以选项B正确，
对于选项C，令，得到，所以选项C错误，
对于选项D，令，得到，所以选项D正确，
故选：ABD.
11．ACD
【分析】根据已知结合组合数的性质，推得.令，即可求出；根据二项式的性质，即可判断B；写出展开式的通项，即可得出C、D.
【详解】由已知可得，，所以.
对于A项，令结合已知可得，展开式的各项系数之和为，
又，
所以，该二项式为，故A正确；
对于B项，根据二项式定理可知，展开式中奇数项的二项式系数和为.故B错误；
对于C项，根据二项式定理可知，
展开式的通项为.
显然，系数最大为，即展开式中第6项的系数最大.故C正确；
对于D项，当，即时，
即展开式的第9项为常数项，且.故D正确.
故选：ACD.
12．BD
【分析】对A：借助二项式的展开式计算即可得；对B、C、D：结合排列数与组合数的计算公式计算即可得.
【详解】对A：，又，故A错误；
对B：
，
故B正确；
对C： ，
，即，故C错误；
对D：，
，即，故D正确.
故选：BD.
13．84
【分析】由条件结合二项式系数的性质列方程求，结合展开式通项公式求解展开式中常数项.
【详解】因为的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，
所以，解得，
所以二项式的展开式的通项公式为，，
令得，所以的展开式中常数项为.
故答案为：84
14．
【分析】根据题意，分别令令和令，分别求得和，即可求解.
【详解】由，
令，可得；
令，可得，
所以.
故答案为：.
15．1
【分析】利用二项式展开式的通项公式即可求解.
【详解】
时为有理项，，
由系数：,
故答案为：1.
16．
【分析】令可求出；先求出的通项，令和，求出，再由，即可求出的值.
【详解】令可得：，
的通项为：，
令可得，
令可得，
所以由可得，所以.
故答案为：；.
17．（1）；（2）①；②；③.
【分析】（1）分别令，即可求解；
（2）①由二项式系数的性质可得；②利用通项中x的指数为整数可解；③先求系数绝对值最大项，然后验证即可求解.
【详解】（1）令得，
再令得，
所以.
（2）①因为展开式中只有第五项的二项式系数最大，
所以，展开式共有9项，所以.
②第项为，
若第项为有理项，则为整数，则，
所以，第项为有理项，所以的取值集合为.
③因为第项的系数为，
所以第项的系数绝对值为，
设第项的系数的绝对值最大，则，
整理得，解得,
又因为第6项的系数，第7项的系数，
所以，第7项的系数最大，.
18．(1)常数项为，为第项
(2)，，，
(3)
【分析】（1）首先求出，再由二项式展开式通项求解即可；
（2）由展开通项，有理项即，求出依次代入即可；
（3）假设系数绝对值最大，则它的系数的绝对值不小于前一项的系数的绝对值，并且不小于后一项的系数的绝对值，利用不等式组求解即可.
【详解】（1）依题意可得第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，
所以，即，则，∴或（舍去），
所以展开式的通项为，
令，解得，
所以为常数项，所以常数项为，为第项.
（2）由（1）知，
令，则，，，，
当时，
当时，
当时，
当时，
故有理项为，，，.
（3）令
，
解得，又，∴，
∴，即展开式中系数绝对值最大的项为.
19．(1)，
(2)，
【分析】（1）根据第7项为常数项结合通项公式求得，再根据各项系数之和等于其二项式系数之和列式求解；
（2）求出二项式的通项公式，令，求得，即可求出所有的有理项.
【详解】（1）在二项式的展开式中，第7项为，
由题意可知，，所以.
因为各项系数之和等于其二项式系数之和，所以令得，解得.
（2）二项式的展开式的通项为，，
令，解得，
所以其展开式中所有的有理项为，.
20．(1)
(2)
(3)8
【分析】（1）根据求出，构造出，得到为首项为，公比为的等比数列，并求出通项公式，得到；
（2）变形得到，构造，作差得到，得到数列单调性，得到；
（3），结合及二项式定理得到当为奇数时，，当为偶数时，，分组求和得到，利用二项式定理得到除以16的余数为除以16的余数，求出答案.
【详解】（1）当时，，又，所以，
当时，①，
故②，
式子①-②得，，即，
又，故当时，，
故，即，
因为为首项为，公比为的等比数列，
故，故，
（2）由（1）知，，故，
对于任意的，不等式恒成立，
即恒成立，
设，于是，
当时，，即，
当时，，即，
故，所以，
综上，的取值范围是；
（3）由（1）知，，
因为
，
当为奇数时，，故，
当为偶数时，，故，
所以
，
，
考虑当时，能被16整除，另外也能被16整除，
故除以16的余数为除以16的余数，
，
故除以16的余数为8.
【点睛】方法点睛：数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.
21．（1），（2）；（3）和.
【分析】综合运用组合数的性质及计算式，二项式定理、二项式系数的性质进行求解即可.
【详解】（1）由得，即，解得，
则展开式的通项为，其中，
所以.
（2）根据题意可得，解得，
所以令中，则所有项的系数之和为.
（3）若，展开式的通项为，其中，
设展开式中第项的系数最大，
则，即，
化简得，解得，因为，所以或，
所以展开式中系数最大的项为和.
答案第1页，共2页
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