18.2.2.2　菱形的判定 同步练习题（含答案）初中数学人教版八年级下学期

第十八章　平行四边形
18.2.2　菱形
第2课时 菱形的判定
一、选择题
1.下列选项中能使 ABCD成为菱形的是（　　）
A.AB＝CD B.AB＝BC
C.∠BAD＝90° D.AC＝BD
2.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形，则a的值为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图，以点O为圆心，OA长为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，以OA长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接AC，BC，则四边形OACB一定是（　　）
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.无法判断
4. ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出 ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　　）
A.AB＝CD B.AC＝BD
C.AC⊥BD D.AB⊥BD
5.顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，要使四边形EFGH是菱形，应添加的条件是（　　）
A.AD∥BC B.AC＝BD
C.AC⊥BD D.AD＝AB
6.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF.在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是( )
A.EB⊥EC B.AB⊥AC C.AB＝AC D.BF∥CE
二、填空题
7.下列命题：
①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.其中正确的是 　 　 .（填序号）
8.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件： 　 　 ，使四边形ABCD成为菱形.
9.有两张全等的矩形纸条，长与宽分别为8和6.将两张纸条按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形的周长为 　 　 .
10.在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)，B(6，0)，点C在第一象限，且AC＝BC＝6.若存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为_________________________________.
三、解答题
11.如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF.
求证：四边形DFCE是菱形.
12.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点O，OA＝3，BD＝8，AB＝5.
（1）△AOB是直角三角形吗？请说明理由；
（2）求证：四边形ABCD是菱形.
13.如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.
（1）求证：AE∥BF；
（2）若DF＝FC，求证：四边形DECF是菱形.
14.如图，在△ABC中，D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F.
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）连接AF，CD，如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？并证明你的结论.
15.如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，AD＝5 cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于点F，连接BF.
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动，当点Q与点C重合时（如图②），菱形BFEP的边长为 　 cm .
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参考答案
一、选择题
1.下列选项中能使 ABCD成为菱形的是（　B　）
A.AB＝CD B.AB＝BC
C.∠BAD＝90° D.AC＝BD
2.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形，则a的值为（　B　）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图，以点O为圆心，OA长为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，以OA长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接AC，BC，则四边形OACB一定是（　B　）
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.无法判断
4. ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出 ABCD是菱形，那么这个条件可以是（　C　）
A.AB＝CD B.AC＝BD
C.AC⊥BD D.AB⊥BD
5.顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，要使四边形EFGH是菱形，应添加的条件是（　B　）
A.AD∥BC B.AC＝BD
C.AC⊥BD D.AD＝AB
6.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF.在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是( C )
A.EB⊥EC B.AB⊥AC C.AB＝AC D.BF∥CE
二、填空题
7.下列命题：
①四边都相等的四边形是菱形；
②两组邻边分别相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
④对角线相等的四边形是菱形；
⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.
其中正确的是 　 　 .（填序号）
【答案】①③⑤
8.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件： 　 　 ，使四边形ABCD成为菱形.
【答案】AD∥BC（AB＝CD或OB＝OD或∠ADB＝∠CBD等）
9.有两张全等的矩形纸条，长与宽分别为8和6.将两张纸条按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形的周长为 　 　 .
【答案】25
10.在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)，B(6，0)，点C在第一象限，且AC＝BC＝6.若存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为_________________________________.
【答案】(9，3)
三、解答题
11.如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF.
求证：四边形DFCE是菱形.
证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC.
∴四边形DECF是平行四边形.
∵AC＝BC，∴DE＝DF.
∴四边形DFCE是菱形.
12.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点O，OA＝3，BD＝8，AB＝5.
（1）△AOB是直角三角形吗？请说明理由；
（2）求证：四边形ABCD是菱形.
解：（1）△AOB是直角三角形.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝8，
∴OB＝OD＝BD＝4.
∵OA＝3，OB＝4，AB＝5，
∴OA2＋OB2＝AB2.
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°.
解：（2）证明：由（1）可知，∠AOB＝90°，∴AC⊥BD.
∴平行四边形ABCD是菱形.
13.如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.
（1）求证：AE∥BF；
（2）若DF＝FC，求证：四边形DECF是菱形.
证明：（1）∵AD＝BC，
∴AD＋CD＝BC＋CD.
∴AC＝BD.
∵AE＝BF，CE＝DF，
∴△AEC≌△BFD（SSS）.
∴∠A＝∠B.∴AE∥BF.
证明：（2）∵△AEC≌△BFD，
∴∠ECA＝∠FDB.
∴EC∥DF.
∵EC＝DF，∴四边形DECF是平行四边形.
∵DF＝FC，
∴四边形DECF是菱形.
14.如图，在△ABC中，D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F.
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）连接AF，CD，如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？并证明你的结论.
解：（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠CFD，
∠DAC＝∠FCA.
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE.
∴△ADE≌△CFE（AAS）.
解：（2）当AC⊥BC时，四边形
ADCF是菱形.证明如下：
由（1）知，AD＝CF，
∵AD∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形.
∵点D是AB的中点，∴AD＝BD.
又AE＝CE，∴DF∥CB.
∵AC⊥CB，∴AC⊥DF.
∴四边形ADCF是菱形.
15.如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，AD＝5 cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于点F，连接BF.
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动，当点Q与点C重合时（如图②），菱形BFEP的边长为 　 cm .
解：（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称.
∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF.
又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP.
∴∠EPF＝∠EFP.∴EP＝EF.∴BP＝BF＝EF＝EP.
∴四边形BFEP为菱形.
（2） cm