7.2随机变量的分布于特征 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 7.2随机变量的分布于特征 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 716.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-13 22:03:58 | ||
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文档简介
7.2随机变量的分布与特征同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知随机变量，则（ ）
A．15 B．20 C．5 D．10
2．已知随机变量的分布列，则（ ）.
0 1 2
A． B． C． D．
3．已知，，则（ ）
A．0.75 B．0.5 C．0.45 D．0.25
4．有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望（ ）
A． B． C． D．
5．袋子中有8个大小相同的小球，其中5个红球，3个蓝球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到蓝球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜.小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，事件A为“取到的2个为同一类灯谜”，事件B为“取到的2个为事物谜”，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知与是两个事件，，则（ ）
A．0.18 B．0.3 C．0.5 D．0.6
8．已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（ ）
X 0 1 2 3
P a 5a
A． B． C． D．
二、多选题
9．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，则表示的可能结果为（ ）
A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局
10．（多选）第十四届全国运动会组织委员会欲从4名男志愿者、3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的有（ ）
A．设事件A：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则
B．设事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的3人中全是男志愿者”，则
C．用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则
D．用Y表示抽取的3人中男志愿者的人数，则
11．甲、乙两同学参加普法知识对抗赛，规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答．若回答正确，得1分，答题继续；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题．据经验统计，甲、乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题的顺序由抛掷硬币决定．设第i次答题者是甲的概率为，第i次回答问题结束后中甲的得分是，则（ ）
A． B．
C． D．
12．设A，B为随机事件，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则A，B相互独立
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题
13．袋中有个红球，个黄球，个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，则 ．
14．某一射手射击所得的环数的分布列如表：
4 5 6 7 8 9 10
0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
记“函数在区间上单调递增”为事件A，则事件A的概率是 ．
15．某大学生将参加知识竞赛，答题环节有6道题目，每答对一道题得3分，答错一题扣1分，已知该学生每道题目答对的概率是，且各题目答对正确与否相互独立，表示该生得分，则 ．
16．设随机变量服从二项分布 ，且 ，则 .
四、解答题
17．某县电视台决定于2023年国庆前夕举办“弘扬核心价值观，激情唱响中国梦”全县歌手大奖赛，比赛分初赛演唱部分和决赛问答题部分，各位选手的演唱部分成绩频率分布直方图（1）如下：已知某工厂的6名参赛人员的演唱成绩得分（满分10分）如茎叶图（2）（茎上的数字为整数部分，叶上的数字为小数部分）．
(1)根据频率分布直方分布图和茎叶图评估某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平是否高于全部参赛人员的平均水平？（计算数据精确到小数点后三位数）
(2)已知初赛9.0分以上的选手才有资格参加决赛，问答题部分为5组题，选手对其依次回答．累计答对3题或答错3题即结束比赛，答对3题者直接获奖，已知该工厂参赛人员甲进入了决赛且答对每道题的概率为这6位中任意抽取2位演唱得分分差大于0.5的概率，且各题对错互不影响，设甲答题的个数为，求的分布列及的数学期望．
18．已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：
若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，按规定须将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．若将Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K的芯片错误应用于A型手机会导致芯片生产商每部手机损失800元；若将Ⅱ级品中该指标大于临界值K的芯片错误应用于B型手机会导致芯片生产商每部手机损失400元；假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)设临界值时，将2个不作该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于A型手机，求芯片生产商的损失（单位：元）的分布列及期望；
(2)设且，现有足够多的芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A型手机、B型手机各1万部的生产：
方案一：将芯片不作该指标检测，Ⅰ级品直接应用于A型手机，Ⅱ级品直接应用于B型手机；
方案二：重新检测该芯片Ⅰ级品，Ⅱ级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元；
请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．
19．秋空晴澈，微风送爽，绿茵场上，喧腾鼎沸.为吸引同学们积极参与运动，鼓励同学们持之以恒地参与锻炼，养成良好的习惯， 2023年11月我校举办了第十四届田径运动会.来自高三的某学生为了在此次运动会中取得优秀成绩，决定每天在跳远，800m跑和三级蛙跳中选择一个项目训练.第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练.
(1)若该学生进行了3天的训练，求第三天训练的是“三级蛙跳”的概率；
(2)设该学生在赛前最后6天训练中选择“跳远”的天数为，求的分布列及数学期望.
20．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
歌曲
猜对的概率 0.8 0.5 0.5
获得的奖励基金金额/元 1000 2000 3000
(1)求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
(2)甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
21．2023年12月2日，中央广播电视总台甲辰龙年春晚的主标识正式发布，中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，创新“思想＋艺术＋技术”融合传播，与全球华人相约除夕，共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴．为了解大家对“龘”这个字的认知情况，某网站进行了调查，并对每一类情况赋予相应的认知度分值，得到如下表格：
认知情况 A类：不会读不会写 B类：会读不会写 C类：会读且会写但不理解 D类：会读、会写且理解
人数/万人 10 30 5 5
认知度分值 50 70 90 100
(1)求参与调查的人员认知度分值的平均数与方差；
(2)为了帮助大家记住这个主题，该网站设计了一个有奖游戏，参与者点击游戏按钮，“龙行龘龘，欣欣家国”这8个字将进行随机排列，若相同的字分别相邻（即龘与龘相邻，欣与欣相邻），则这个参与者可以获得奖励，已知每个参与者是否获得奖励互不影响，若2人同时参与游戏，求恰好有1人获得奖励的概率；
(3)若从参与调查的人员中按照分层抽样的方法抽取20人进行座谈，再从这20人中随机选取3人赠送小礼品，这3人中属于D类的人数记为X，求X的分布列及数学期望．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】根据题意，利用二项分布的方差的计算公式以及方差的性质，即可求解.
【详解】由随机变量，可得，则.
故选：D.
2．B
【分析】根据分布列性质求出，再由期望公式得解.
【详解】由分布列性质可知，，
解得，
.
故选：B
3．A
【分析】根据条件概率公式，结合已知，即可得出答案.
【详解】根据条件概率公式可得，
.
故选：A.
4．D
【分析】由题意得的所有可能取值为，用古典概型算出相应的概率，进而即可求解.
【详解】的所有可能取值为，记三次得到的数组成数组，
满足的数组有：
，共4个，
所以，
满足的数组有：
，
，共18个，
所以，
满足的数组有：
，
，
，
，共24个，
所以，
满足的数组有：
，，
，，
，，共18个，
所以，
所以X的数学期望.
故选：D.
5．C
【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设事件表示第1次摸到红球，事件表示第2次摸到蓝球，
则，，
所以.
故选：C
6．B
【分析】根据题意，由条件概率公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，，
所以，
故选：B.
7．C
【分析】根据条件概率公式即可求解.
【详解】由题意得，故C正确.
故选：C.
8．A
【分析】由分布列中各概率之和为1求得参数，进一步将所求变形为即可求解.
【详解】由题意，解得，
而.
故选：A.
9．BC
【分析】根据可得答案.
【详解】由已知得
故表示的可能结果为甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.
故选：BC.
10．ABD
【分析】由古典公式公式可判断A；由条件概率公式可判断B；求出X的可能取值及其对应的概率，由均值公式求出可判断C；求出Y的可能取值及其对应的概率，由方差公式求出可判断D；
【详解】对A，所有可能的情况有（种），其中既有男志愿者，也有女志愿者的情况有（种），
故，故A正确；
对B，，，
所以，故B正确；
对C，X的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以，故C错误；
对D，Y的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
则，
，
则，故D正确．
故选：ABD．
11．BCD
【分析】由全概率公式和均值的概念逐项判断.
【详解】设“第i次答题者是甲”为事件，“第i次答题者是乙”为事件，
由第1题的顺序由抛掷硬币决定可得 ,
又，
由全概率公式，得
，故A错误；
第次回答问题结束后甲的得分是，即两次回答中只有一次答对，
所以，故B正确；
由题意知，，
所以，故C正确；
第i次答题结束后，甲得分可分为两种情况：①第i次答题后甲的得分加上1分，则第i次必由甲答题且得1分；
②第i次答题后甲的得分加上0分，则第i次由甲答题且不得分或第i次由乙答题，
所以，其中，故D正确．
故选：BCD．
【点睛】思路点睛：全概率公式的使用要点：
（1）如果所考虑问题的试验分两步，第一步试验结果可确定为样本空间的一个划分，求与第二步试验结果有关的事件的概率，此时可用全概率公式解决；
（2）用全概率公式解题的关键是确定样本空间的一个划分，这可以从第一步试验的结果确定.
12．AC
【分析】由独立事件概率可判断A，由条件概率公式可判断BCD.
【详解】及，得，即，所以A，B相互独立，故A正确；
由，得，所以，故B错误；
由A知当时，，所以，故C正确；
，
，所以等式不成立，故D错误．
故选：AC．
13．
【分析】记取出的两个球都是红球为事件，则，即可求出，从而得到的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可求出数学期望.
【详解】依题意、为非负整数，记取出的两个球都是红球为事件，则，
所以，解得或（舍去），
所以的可能取值为、、，
则，，，
所以.
故答案为：
14．0.88/
【分析】结合二次函数的图象和性质，先确定的取值范围，再求对应事件的概率.
【详解】因为函数在区间上单调递增，所以，
结合的分布列，可得，
故答案为：
15．10
【分析】根据题意可知该生答对问题的个数服从二项分布，利用二项分布求得，再由与的关系求得即可.
【详解】依题意，设表示该生答对问题的个数，则服从二项分布，即，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：10.
16．/
【分析】根据题意，结合二项分布的期望和方差的计算公式，列出方程组，即可求解.
【详解】由题意，随机变量服从二项分布，且，
可得，可得，解得.
故答案为：.
17．(1)高于
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为求出，再分别根据频率分布直方图和茎叶图求平均数，比较即可；
（2）先利用古典概型的概率公式求出甲答对每道题的概率，再利用二项分布求出所有可能取值的概率，得到分布列，根据分布列求数学期望即可.
【详解】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为得，解得，
所以全部参赛人员的整体水平为，
根据茎叶图可知某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平为，
所以某工厂的参赛6名人员的演唱水平高于全部参赛人员的平均水平．
（2）从这6位抽取2位的基本事件总数为，分差大于0.5的基本事件为除数据，外的9个基本事件，
故概率为
依题意的取值为3，4，5，则；
；
,
所以的分布列为
3 4 5
所以．
18．(1)分布列见解析，
(2)，，方案二
【分析】（1）首先求出Ⅰ级品中该指标小于或等于的频率，依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；
（2）首先求出Ⅰ级品该指标小于或等于临界值的频率，Ⅱ级品中该指标大于或等于临界值K的频率，即可求出损失费用的估计值的解析式，再求出值域，即可判断.
【详解】（1）当临界值时，Ⅰ级品中该指标小于或等于的频率为，
所以将个不作该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于型手机，每部手机损失元的概率为，
所以芯片生产商的损失的可能取值为，，，
所以，，
，
所以的分布列为：
所以.
（2）当临界值且时，
若采用方案一：
Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值的频率为，
所以可以估计部型手机中有部手机芯片应用错误；
Ⅱ级品中该指标大于或等于临界值的频率为，
所以可以估计部型手机中有部手机芯片应用错误；
所以可以估计芯片生产商的损失费用，
即，，
因为，所以，
又采用方案二需要检测费用共万元，
故从芯片生产商的成本考虑，应选择方案二.
19．(1)
(2)分布列见详解，
【分析】（1）根据乘法原理，结合古典概型计算求解即可；
（2）由题知的可能取值为，再依次求对应的概率，列分布列，求期望即可．
【详解】（1）当第一天训练的是“三级蛙跳”且第三天也是训练“三级蛙跳”为事件；
当第一天训练的不是“三级蛙跳”且第三天是训练“三级蛙跳”为事件；
由题知，三天的训练过程中，总共的可能情况为种，
所以， ，，
所以，第三天训练的是“三级蛙跳”的概率．
（2）由题知，的可能取值为，
所以，考前最后6天训练中，所有可能的结果有种，
所以，当时，第一天有两种选择，之后每天都有1种选择，
故；
当时，
第一天选择“跳远”，则第二天有2种选择，之后每天只有1种选择，共2种选择；
第二天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第三天2种，后每天只有1种选择，共4种选择；
第三天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第二天有1种选择，第三天1种，第四天有2种选择，之后每天只有1种选择，共4种选择；
第四天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第六天有1种，第五天有2种选择，共4种选择；
第五天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第五天有1种，第六天有2种选择，共4种选择；
第六天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第五天，第六天都有1种选择，共2种选择；
综上，当时，共有种选择，
所以，；
当时，
第一天，第三天，第五天，选择“跳远”，有种选择；
第一天，第三天，第六天，选择“跳远”，有种选择
第一天，第四天，第六天，选择“跳远”，有种选择；
第二天，第四天，第六天，选择“跳远”，有种选择；
所以，当时，共有种选择，
所以，；
所以，当，
所以，的分布列为：
0 1 2 3
所以，．
20．(1)0.4
(2)期望都是2200，按照“A，B，C”的顺序猜歌名，理由见解析.
【分析】（1）根据互斥事件和独立重复试验的概率公式即可求解.
（2）先根据题意写出甲决定按“”的顺序猜歌名获得奖金数的所有可能取值，根据独立重复试验的概率公式求得每一个取值对应的概率，由数学期望的计算方法得出；再同理得出甲决定按“”顺序猜歌名的数学期望；最后可通过计算、比较方差得出答案或者分析获得0元的概率得出答案.
【详解】（1）由题意可知甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：猜对；猜对，这两种情况不会同时发生.
设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，
由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得
.
（2）甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为，
则的所有可能取值为，
所以；
甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为，
则的所有可能取值为，
所以.
参考答案一：由于，
由于，所以应该按照“”的顺序猜歌名.
参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
其他合理答案均给分
21．(1)71，209
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据表格中的条件结合平均数、方差公式计算即可求解
（2）根据古典概型，结合排列的知识求解即可；
（3）先确定X的所有可能取值为0，1，2，再分别求出概率即可得到X的分布列，利用数学期望的计算式进行计算即可.
【详解】（1）参与调查的人员认知度分值的平均数为
，
方差为．
（2）将这8个字随机排列，不同的排列方法有种，
相同的字分别相邻的不同情况有种，
故参与者可以获得奖励的概率．
若2人同时参与游戏，则恰好有1人获奖的概率为．
（3）根据分层抽样的规则可知，A类抽取4人，B类抽取12人，C类抽取2人，D类抽取2人，则X的所有可能取值为0，1，2，则，，，
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∴X的数学期望为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知随机变量，则（ ）
A．15 B．20 C．5 D．10
2．已知随机变量的分布列，则（ ）.
0 1 2
A． B． C． D．
3．已知，，则（ ）
A．0.75 B．0.5 C．0.45 D．0.25
4．有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望（ ）
A． B． C． D．
5．袋子中有8个大小相同的小球，其中5个红球，3个蓝球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到蓝球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．元宵节是中国传统节日，当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜.小华爸爸手里有6个灯谜，其中4个事物谜，2个字谜，小华随机抽取2个灯谜，事件A为“取到的2个为同一类灯谜”，事件B为“取到的2个为事物谜”，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知与是两个事件，，则（ ）
A．0.18 B．0.3 C．0.5 D．0.6
8．已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（ ）
X 0 1 2 3
P a 5a
A． B． C． D．
二、多选题
9．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，则表示的可能结果为（ ）
A．甲赢三局 B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局
10．（多选）第十四届全国运动会组织委员会欲从4名男志愿者、3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的有（ ）
A．设事件A：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则
B．设事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的3人中全是男志愿者”，则
C．用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则
D．用Y表示抽取的3人中男志愿者的人数，则
11．甲、乙两同学参加普法知识对抗赛，规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答．若回答正确，得1分，答题继续；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题．据经验统计，甲、乙每次答题正确的概率分别是和，且第1题的顺序由抛掷硬币决定．设第i次答题者是甲的概率为，第i次回答问题结束后中甲的得分是，则（ ）
A． B．
C． D．
12．设A，B为随机事件，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则A，B相互独立
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题
13．袋中有个红球，个黄球，个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，则 ．
14．某一射手射击所得的环数的分布列如表：
4 5 6 7 8 9 10
0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
记“函数在区间上单调递增”为事件A，则事件A的概率是 ．
15．某大学生将参加知识竞赛，答题环节有6道题目，每答对一道题得3分，答错一题扣1分，已知该学生每道题目答对的概率是，且各题目答对正确与否相互独立，表示该生得分，则 ．
16．设随机变量服从二项分布 ，且 ，则 .
四、解答题
17．某县电视台决定于2023年国庆前夕举办“弘扬核心价值观，激情唱响中国梦”全县歌手大奖赛，比赛分初赛演唱部分和决赛问答题部分，各位选手的演唱部分成绩频率分布直方图（1）如下：已知某工厂的6名参赛人员的演唱成绩得分（满分10分）如茎叶图（2）（茎上的数字为整数部分，叶上的数字为小数部分）．
(1)根据频率分布直方分布图和茎叶图评估某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平是否高于全部参赛人员的平均水平？（计算数据精确到小数点后三位数）
(2)已知初赛9.0分以上的选手才有资格参加决赛，问答题部分为5组题，选手对其依次回答．累计答对3题或答错3题即结束比赛，答对3题者直接获奖，已知该工厂参赛人员甲进入了决赛且答对每道题的概率为这6位中任意抽取2位演唱得分分差大于0.5的概率，且各题对错互不影响，设甲答题的个数为，求的分布列及的数学期望．
18．已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：
若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，按规定须将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．若将Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K的芯片错误应用于A型手机会导致芯片生产商每部手机损失800元；若将Ⅱ级品中该指标大于临界值K的芯片错误应用于B型手机会导致芯片生产商每部手机损失400元；假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)设临界值时，将2个不作该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于A型手机，求芯片生产商的损失（单位：元）的分布列及期望；
(2)设且，现有足够多的芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A型手机、B型手机各1万部的生产：
方案一：将芯片不作该指标检测，Ⅰ级品直接应用于A型手机，Ⅱ级品直接应用于B型手机；
方案二：重新检测该芯片Ⅰ级品，Ⅱ级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元；
请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．
19．秋空晴澈，微风送爽，绿茵场上，喧腾鼎沸.为吸引同学们积极参与运动，鼓励同学们持之以恒地参与锻炼，养成良好的习惯， 2023年11月我校举办了第十四届田径运动会.来自高三的某学生为了在此次运动会中取得优秀成绩，决定每天在跳远，800m跑和三级蛙跳中选择一个项目训练.第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练.
(1)若该学生进行了3天的训练，求第三天训练的是“三级蛙跳”的概率；
(2)设该学生在赛前最后6天训练中选择“跳远”的天数为，求的分布列及数学期望.
20．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
歌曲
猜对的概率 0.8 0.5 0.5
获得的奖励基金金额/元 1000 2000 3000
(1)求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
(2)甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
21．2023年12月2日，中央广播电视总台甲辰龙年春晚的主标识正式发布，中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，创新“思想＋艺术＋技术”融合传播，与全球华人相约除夕，共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴．为了解大家对“龘”这个字的认知情况，某网站进行了调查，并对每一类情况赋予相应的认知度分值，得到如下表格：
认知情况 A类：不会读不会写 B类：会读不会写 C类：会读且会写但不理解 D类：会读、会写且理解
人数/万人 10 30 5 5
认知度分值 50 70 90 100
(1)求参与调查的人员认知度分值的平均数与方差；
(2)为了帮助大家记住这个主题，该网站设计了一个有奖游戏，参与者点击游戏按钮，“龙行龘龘，欣欣家国”这8个字将进行随机排列，若相同的字分别相邻（即龘与龘相邻，欣与欣相邻），则这个参与者可以获得奖励，已知每个参与者是否获得奖励互不影响，若2人同时参与游戏，求恰好有1人获得奖励的概率；
(3)若从参与调查的人员中按照分层抽样的方法抽取20人进行座谈，再从这20人中随机选取3人赠送小礼品，这3人中属于D类的人数记为X，求X的分布列及数学期望．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】根据题意，利用二项分布的方差的计算公式以及方差的性质，即可求解.
【详解】由随机变量，可得，则.
故选：D.
2．B
【分析】根据分布列性质求出，再由期望公式得解.
【详解】由分布列性质可知，，
解得，
.
故选：B
3．A
【分析】根据条件概率公式，结合已知，即可得出答案.
【详解】根据条件概率公式可得，
.
故选：A.
4．D
【分析】由题意得的所有可能取值为，用古典概型算出相应的概率，进而即可求解.
【详解】的所有可能取值为，记三次得到的数组成数组，
满足的数组有：
，共4个，
所以，
满足的数组有：
，
，共18个，
所以，
满足的数组有：
，
，
，
，共24个，
所以，
满足的数组有：
，，
，，
，，共18个，
所以，
所以X的数学期望.
故选：D.
5．C
【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设事件表示第1次摸到红球，事件表示第2次摸到蓝球，
则，，
所以.
故选：C
6．B
【分析】根据题意，由条件概率公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，，
所以，
故选：B.
7．C
【分析】根据条件概率公式即可求解.
【详解】由题意得，故C正确.
故选：C.
8．A
【分析】由分布列中各概率之和为1求得参数，进一步将所求变形为即可求解.
【详解】由题意，解得，
而.
故选：A.
9．BC
【分析】根据可得答案.
【详解】由已知得
故表示的可能结果为甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.
故选：BC.
10．ABD
【分析】由古典公式公式可判断A；由条件概率公式可判断B；求出X的可能取值及其对应的概率，由均值公式求出可判断C；求出Y的可能取值及其对应的概率，由方差公式求出可判断D；
【详解】对A，所有可能的情况有（种），其中既有男志愿者，也有女志愿者的情况有（种），
故，故A正确；
对B，，，
所以，故B正确；
对C，X的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以，故C错误；
对D，Y的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
则，
，
则，故D正确．
故选：ABD．
11．BCD
【分析】由全概率公式和均值的概念逐项判断.
【详解】设“第i次答题者是甲”为事件，“第i次答题者是乙”为事件，
由第1题的顺序由抛掷硬币决定可得 ,
又，
由全概率公式，得
，故A错误；
第次回答问题结束后甲的得分是，即两次回答中只有一次答对，
所以，故B正确；
由题意知，，
所以，故C正确；
第i次答题结束后，甲得分可分为两种情况：①第i次答题后甲的得分加上1分，则第i次必由甲答题且得1分；
②第i次答题后甲的得分加上0分，则第i次由甲答题且不得分或第i次由乙答题，
所以，其中，故D正确．
故选：BCD．
【点睛】思路点睛：全概率公式的使用要点：
（1）如果所考虑问题的试验分两步，第一步试验结果可确定为样本空间的一个划分，求与第二步试验结果有关的事件的概率，此时可用全概率公式解决；
（2）用全概率公式解题的关键是确定样本空间的一个划分，这可以从第一步试验的结果确定.
12．AC
【分析】由独立事件概率可判断A，由条件概率公式可判断BCD.
【详解】及，得，即，所以A，B相互独立，故A正确；
由，得，所以，故B错误；
由A知当时，，所以，故C正确；
，
，所以等式不成立，故D错误．
故选：AC．
13．
【分析】记取出的两个球都是红球为事件，则，即可求出，从而得到的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可求出数学期望.
【详解】依题意、为非负整数，记取出的两个球都是红球为事件，则，
所以，解得或（舍去），
所以的可能取值为、、，
则，，，
所以.
故答案为：
14．0.88/
【分析】结合二次函数的图象和性质，先确定的取值范围，再求对应事件的概率.
【详解】因为函数在区间上单调递增，所以，
结合的分布列，可得，
故答案为：
15．10
【分析】根据题意可知该生答对问题的个数服从二项分布，利用二项分布求得，再由与的关系求得即可.
【详解】依题意，设表示该生答对问题的个数，则服从二项分布，即，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：10.
16．/
【分析】根据题意，结合二项分布的期望和方差的计算公式，列出方程组，即可求解.
【详解】由题意，随机变量服从二项分布，且，
可得，可得，解得.
故答案为：.
17．(1)高于
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为求出，再分别根据频率分布直方图和茎叶图求平均数，比较即可；
（2）先利用古典概型的概率公式求出甲答对每道题的概率，再利用二项分布求出所有可能取值的概率，得到分布列，根据分布列求数学期望即可.
【详解】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为得，解得，
所以全部参赛人员的整体水平为，
根据茎叶图可知某工厂6名参赛人员的演唱部分的平均水平为，
所以某工厂的参赛6名人员的演唱水平高于全部参赛人员的平均水平．
（2）从这6位抽取2位的基本事件总数为，分差大于0.5的基本事件为除数据，外的9个基本事件，
故概率为
依题意的取值为3，4，5，则；
；
,
所以的分布列为
3 4 5
所以．
18．(1)分布列见解析，
(2)，，方案二
【分析】（1）首先求出Ⅰ级品中该指标小于或等于的频率，依题意的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；
（2）首先求出Ⅰ级品该指标小于或等于临界值的频率，Ⅱ级品中该指标大于或等于临界值K的频率，即可求出损失费用的估计值的解析式，再求出值域，即可判断.
【详解】（1）当临界值时，Ⅰ级品中该指标小于或等于的频率为，
所以将个不作该指标检测的Ⅰ级品芯片直接应用于型手机，每部手机损失元的概率为，
所以芯片生产商的损失的可能取值为，，，
所以，，
，
所以的分布列为：
所以.
（2）当临界值且时，
若采用方案一：
Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值的频率为，
所以可以估计部型手机中有部手机芯片应用错误；
Ⅱ级品中该指标大于或等于临界值的频率为，
所以可以估计部型手机中有部手机芯片应用错误；
所以可以估计芯片生产商的损失费用，
即，，
因为，所以，
又采用方案二需要检测费用共万元，
故从芯片生产商的成本考虑，应选择方案二.
19．(1)
(2)分布列见详解，
【分析】（1）根据乘法原理，结合古典概型计算求解即可；
（2）由题知的可能取值为，再依次求对应的概率，列分布列，求期望即可．
【详解】（1）当第一天训练的是“三级蛙跳”且第三天也是训练“三级蛙跳”为事件；
当第一天训练的不是“三级蛙跳”且第三天是训练“三级蛙跳”为事件；
由题知，三天的训练过程中，总共的可能情况为种，
所以， ，，
所以，第三天训练的是“三级蛙跳”的概率．
（2）由题知，的可能取值为，
所以，考前最后6天训练中，所有可能的结果有种，
所以，当时，第一天有两种选择，之后每天都有1种选择，
故；
当时，
第一天选择“跳远”，则第二天有2种选择，之后每天只有1种选择，共2种选择；
第二天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第三天2种，后每天只有1种选择，共4种选择；
第三天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第二天有1种选择，第三天1种，第四天有2种选择，之后每天只有1种选择，共4种选择；
第四天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第六天有1种，第五天有2种选择，共4种选择；
第五天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第五天有1种，第六天有2种选择，共4种选择；
第六天选择“跳远”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第五天，第六天都有1种选择，共2种选择；
综上，当时，共有种选择，
所以，；
当时，
第一天，第三天，第五天，选择“跳远”，有种选择；
第一天，第三天，第六天，选择“跳远”，有种选择
第一天，第四天，第六天，选择“跳远”，有种选择；
第二天，第四天，第六天，选择“跳远”，有种选择；
所以，当时，共有种选择，
所以，；
所以，当，
所以，的分布列为：
0 1 2 3
所以，．
20．(1)0.4
(2)期望都是2200，按照“A，B，C”的顺序猜歌名，理由见解析.
【分析】（1）根据互斥事件和独立重复试验的概率公式即可求解.
（2）先根据题意写出甲决定按“”的顺序猜歌名获得奖金数的所有可能取值，根据独立重复试验的概率公式求得每一个取值对应的概率，由数学期望的计算方法得出；再同理得出甲决定按“”顺序猜歌名的数学期望；最后可通过计算、比较方差得出答案或者分析获得0元的概率得出答案.
【详解】（1）由题意可知甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：猜对；猜对，这两种情况不会同时发生.
设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，
由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得
.
（2）甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为，
则的所有可能取值为，
所以；
甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为，
则的所有可能取值为，
所以.
参考答案一：由于，
由于，所以应该按照“”的顺序猜歌名.
参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.
其他合理答案均给分
21．(1)71，209
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据表格中的条件结合平均数、方差公式计算即可求解
（2）根据古典概型，结合排列的知识求解即可；
（3）先确定X的所有可能取值为0，1，2，再分别求出概率即可得到X的分布列，利用数学期望的计算式进行计算即可.
【详解】（1）参与调查的人员认知度分值的平均数为
，
方差为．
（2）将这8个字随机排列，不同的排列方法有种，
相同的字分别相邻的不同情况有种，
故参与者可以获得奖励的概率．
若2人同时参与游戏，则恰好有1人获奖的概率为．
（3）根据分层抽样的规则可知，A类抽取4人，B类抽取12人，C类抽取2人，D类抽取2人，则X的所有可能取值为0，1，2，则，，，
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∴X的数学期望为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
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