7.3常用分布 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

7.3常用分布同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.2
2．中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为（ ）
附：若：，则，，．
A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773
3．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　）

A． B．
C． D．
5．已知随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．设随机变量．若，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知某市高三女生在国家体质健康测试中的50米跑成绩（单位：s）近似地服从正态分布，且，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
8．下列说法不正确的是（ ）
A．一组数据5、7、9、11、12、14、15、16、18、20的第80百分位数为17
B．若随机变量，且，则
C．若随机变量，则方差
D．若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数，则平均数和方差都会发生变化
二、多选题
9．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（ ）
A． B．
C．的期望 D．的方差
10．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C．对任意正数， D．对任意正数，
11．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B．
C． D．
12．若，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．随机变量，当取最大值时， ．
14．小明同学进行射箭训练，每次射击是否中靶相互独立，根据以往训练情况可知小明射击一次中靶的概率为，则小明射击3次恰好有2次中靶的概率为 ．
15．袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望 .
16．已知随机变量，其中，随机变量的分布列为
0 1 2
表中，则的最大值为 ．我们可以用来刻画与的相似程度，则当，且取最大值时， ．
四、解答题
17．某学校举办了精彩纷呈的数学文化节活动，其中有二个“掷骰子赢奖品”的登台阶游戏最受欢迎游．戏规则如下：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现3的倍数，则一次上三级台阶，否则上二级台阶，再重复以上步骤，当参加游戏的学生位于第8、第9或第10级台阶时游戏结束规定：从平地开始，结束时学生位于第8级台阶可获得一本课外读物，位于第9级台阶可获得一套智力玩具，位于第10级台阶则认定游戏失败．
(1)某学生抛掷三次骰子后，按游戏规则位于第级台阶，求的分布列及数学期望；
(2)①求一位同学参加游戏，他不能获得奖品的概率；
②若甲、乙两位学生参加游戏，求恰有一人获得奖品的概率；
18．某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：
科普测试成绩x 科普过程性积分 人数
4 10
3 a
2 b
1 23
0 2
(1)当时，
（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；
（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望；
(2)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为.若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值.
19．某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标
元件数（件） 12 18 36 30 4
(1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
若随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立.
（i）若，证明：；
（ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）
20．某市物理教研员在一次高二全市统考后为了了解本市物理考试情况，从全市高二参加考试的学生中随机抽取50名学生对其物理成绩（单位：分，成绩都在内）进行统计，制成频率分布直方图如图所示：
(1)求的值，并以样本估计总体，求本次高二全市统考物理成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)从该市高二参加考试的学生中随机抽取3人，记这3人中物理考试成绩在内的人数为，求的分布列及数学期望.
21．现有甲、乙、丙三个工厂生产某种相同的产品进入市场，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品能达到优秀等级的概率分别为，，，现有某质检部门，对该产品进行质量检测，首先从三个工厂中等可能地随机选择一个工厂，然后从该工厂生产的产品抽取一件进行检测.
(1)若该质检部门的一次抽检中，测得的结果是该件产品为优秀等级，求该件产品是从乙工厂抽取的概率；
(2)因为三个工厂的规模大小不同，假设三个工厂进入市场的产品的比例为2∶1∶1，若该质检部门从已经进入市场的产品中随机抽取10件产品进行检测，求能达到优秀等级的产品的件数的分布列及数学期望.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】由正态分布的对称性直接求解.
【详解】因为，则，
∴.
故选：D.
2．D
【分析】先得到，满足且，从而计算出期望和方差，得到，利用正态分布的对称性求解.
【详解】骰子向上的点数为偶数的概率，故，
显然，其中，，
故，
则，
由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为
.
故选：D
3．D
【分析】由题意当时，的可能取值为1,3,5，且，根据二项分布的概率公式计算即可求解.
【详解】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且，
所以
.
故选：D．
4．C
【分析】借助正态密度曲线的对称性逐项判断即可得.
【详解】正态分布的正态密度曲线关于直线对称，
可得图中阴影部分可表示为，故选项A，B正确；
对C：由对称性可得，故选项C错误；
对D：由对称性可得，
所以图中阴影部分面积可表示为，故选项D正确．
故选：C．
5．D
【分析】根据正态分布的性质可得，即可根据二项分布的期望公式求解.
【详解】由以及可得，
由于，故，，
故选：D
6．D
【分析】根据正态曲线的对称性计算可得.
【详解】∵随机变量服从标准正态分布，
∴正态曲线关于直线对称．
∵，，
∴．
故选：D．
7．B
【分析】根据正态分布函数的对称性即可求解.
【详解】由题可知服从正态分布，
则，又，故，
故.
故.
故选：B.
8．D
【分析】根据百分位数的定义判断A，根据正态分布的对称性判断B，根据二项分布的方差公式判断C，根据平均数与方差的性质判断D.
【详解】对于A选项，该组数据共个数，且，
因此，该组数据的第百分位数为，A对；
对于B选项，若随机变量，且，
则，B对；
对于C选项，若随机变量，则，C对；
对于D选项，若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数，则平均数会增加正数，但方差不变，D错.
故选：D.
9．ABCD
【分析】求出一次摸到黑球的概率，根据题意可得随机变量服从二项分布，再根据二项分布列及期望公式、方差公式求解即可.
【详解】从袋子中有放回的取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，
又每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，故4次取球的总分数相当于抽到黑球的总个数，
又每次摸到黑球的概率为，因为是有放回地取4次球，所以，故A正确；
，故B正确；
根据二项分布期望公式得，故C正确；
根据二项分布方差公式得，故D正确.
故选：ABCD
【点睛】结论点睛：随机变量X服从二项分布，记作X～，，且有，.
10．ABCD
【分析】根据正态分布曲线的性质和图形，依次判断选项即可.
【详解】对于A：∵由图可知，，，
∴，故A错误；
对于B：由图可得，，故B错误；
对于C：由图可得，对任意正数，，
而，，
故，故C、D错误．
故选：ABCD．
11．CD
【分析】根据题意，结合正态分布曲线的对称性，求得和的值，即可求解.
【详解】由随机变量服从正态分布，且，可得，
对于A中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以A错误，C正确；
对于B中，由正态分布曲线的对称性，可得，所以B错误，D正确.
故选：CD.
12．ACD
【分析】根据题意，得到期望为，方差为，结合正态分布曲线的对称性，逐项判定，即可求解.
【详解】由，可得期望为，方差为，
对于A中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以A正确；
对于B中，因为，即，所以B不正确；
对于C中，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以C正确；
对于D中，由正态分布曲线的性质，可得，
且，
可得，所以D正确.
故选：ACD.
13．13或14
【分析】根据所给的随机变量，写出变量所对应的概率，根据题意列出不等式即可.
【详解】 随机变量，，
依题意有
即
解得，故或14．
故答案为：13或14.
14．
【分析】本题考查n次独立重复试验概率的求解,直接利用n次独立重复试验概率公式运算求解即可.
【详解】由题可知小明同学射击3次恰好有2次中靶的概率为.
故答案为：.
15．
【分析】设袋中白球数为，根据“从中任摸个球至少得到个白球”与“任取两球无白球”为对立事件求出白球数，由此得到随机变量的分布列，最后求期望.
【详解】设袋中白球数为．
设从中任摸个球至少得到个白球为事件，任取两球无白球为事件，
所以，
解得，即袋中有5个白球．
所以离散型随机变量的取值可能为：0，1，2，3，
，，
，，
的分布列为：
0 1 2 3
．
16．
【分析】根据题意，求得和，结合二次函数的性质，求得取得最大值，再由二项分布方差，求得，进而得到，即可求解.
【详解】由题意，可得，则，
因为，所以当时，取得最大值，
又由，可得，解得，
可得，
又因为，
可得，
所以.
故答案为：；,
17．(1)分布列见解析；期望为7
(2)① ；②
【分析】（1）设，根据题意分析可知，结合二项分布求分布列，进而可得期望；
（2）①结合概率乘法公式求单人不能获奖的概率，
②利用独立重复实验概率乘法公式求恰有一人获得奖品的概率.
【详解】（1）由题意可知：每次掷骰子上两级台阶的概率为，上三级台阶的概率为，
且的可能取值为6，7，8，9，设，
则，
则有：，，
，
，
所以的分布列为：
6 7 8 9
的数学期望．
（2）①因为位于第10级台阶则认定游戏失败，无法获得奖品，
结合题意可知：若学员位于第10级台阶，则投掷3次后，学员位于第7级台阶，投掷第4次上三级台阶，
所以不能获得奖品的概率为，
②甲、乙两位学生参加游戏，恰有一人获得奖品的概率．
18．(1)（i）；（ⅱ）；
(2)7.
【分析】（1）（i）求出科普过程性积分不少于3分的学生数，再求出频率，并用频率估计概率即得；（ⅱ）求出X的所有可能值，由（i）的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率，再求出期望即得.
（2）求出的最大值，再求出100名学生科普测试成绩的平均值的最小值，由题设信息列出不等式求解即得.
【详解】（1）当时，
（i）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为，
则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为，
所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为.
（ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为，
所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为，
同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为，
的所有可能值为6，7，8，
，，，
所以的数学期望.
（2）由表知，，则，
从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，则的最大值为69，
100名学生科普测试成绩的平均值记为，要恒成立，当且仅当，
显然的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，
因此，则，解得，
所以根据表中信息能推断恒成立的a的最小值是7.
19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）不可信.
【分析】（1）由条件概率的公式进行求解即可；
（2）（i）由求出，再结合切比雪夫不等式即可证明；（ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，，由切比雪夫不等式判断出，进而可得出结论.
【详解】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到两个合格品，
（2）（i）由题：若，则
又
所以或
由切比雪夫不等式可知，
所以；
（ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，
假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，
所以，
由切比雪夫不等式知，，
即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.
20．(1)，68
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据频率概率之和为1和频率分布直方图的数据可求出m的值，再根据频率分布直方图中中位数概念即可求解.
（2）由样本估计总体、全市等字眼可知考查二项分布内容.
【详解】（1）由题知，解得，
因为，
，
所以可设中位数为，
则，
解得，所以本次高二全市统考物理成绩的中位数为68.
（2）从该市高二参加考试的学生中随机抽取1人，其物理考试成绩在内的概率为.由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，
且，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以的数学期望.
（另解：，）
21．(1)
(2)分布列见解析；
【分析】（1）根据题意，利用全概率公式与贝叶斯公式即可得解；
（2）利用全概率公式求得从市场中任抽一件产品达到优秀等级的概率，再利用二项分布的概率公式与数学期望公式即可得解.
【详解】（1）设“抽的产品是优秀等级”， “产品是从甲工厂生产”，
“产品是从乙工厂生产”，“产品是从丙工厂生产”，
则，，
则
，
则.
所以该件产品是从乙工厂抽取的概率为.
（2）依题意，设从市场中任抽一件产品达到优秀等级的概率为，
则，
由题意可知，
则，
则的分布列为：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
故.
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