8.1成对数据的相关分析 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

8.1成对数据的相关分析同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．有以下几组的统计数据：要使剩下的数据具有较强的相关关系，应去掉的一组数据是（ ）
A． B． C． D．
2．在一元线性回归模型中，设变量和变量的样本相关系数为，决定系数为，变量和变量的样本相关系数为，决定系数为，且，，则（ ）
A．和之间呈正线性相关关系，且
B．和之间呈负线性相关关系，且
C．和之间呈负线性相关关系，且
D．和之间呈正线性相关关系，且
3．已知变量和满足关系，变量y与正相关，则（ ）
A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关
C．与正相关，与负相关 D．与负相关，与正相关
4．已知关于变量有相关关系，由观测数据得到的样本数据散点图如图所示，则该组观测数据中关于的回归方程可能是（ ）

A． B．
C． D．
5．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
6．对四组数据进行统计，获得如下散点图，关于其相关系数的比较，说法正确的是（ ）

A． B．
C． D．
7．2003年春季，我国部分地区SARS流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制，下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市SARS治愈者数据，以及根据这些数据绘制出的散点图
日期 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12
人数 100 109 115 118 121 134 141 152 168 175 186 203
下列说法：①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系.其中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对
8．相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下的数据得到回归直线方程，相关系数为．则（ ）

A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．已知，若，则
B．若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数
C．数据的均值为4，标准差为1，则这组数据中没有大于5的数
D．数据的75百分位数为47
10．某市7天国庆节假期期间的楼房日认购量（单位：套）与日成交量（单位：套）的折线图如下图所示，小明同学根据折线图对这7天的日认购量与日成交量作出如下判断，则下列结论正确的是（ ）
A．日认购量与日期正相关
B．日成交量的中位数是26
C．日成交量超过日平均成交量的有2天
D．10月7日日认购量的增量大于10月7日日成交量的增量
11．对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（ ）
A．数据1，2，3，4，5，6，8，9，11的第75百分位数是7
B．若事件M，N的概率满足，且M，N相互独立，则
C．由两个分类变量，的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断，独立
D．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
12．（多选）某中学的兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．沸点与海拔高度呈正相关
B．沸点与气压呈正相关
C．沸点与海拔高度呈负相关
D．气压与海拔高度呈负相关
三、填空题
13．垃圾分类是保护环境，改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措．某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾（千克）所需的费用（角）的情况作了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则下列正确说法的序号是 ．
2 3 4 5
2 2.3 3.4
①变量之间呈正相关关系；
②可以预测当时，的值为6.88；
③表中的值为3.9；
④样本中心点为．
14．在线性回归分析中，常用作为衡量模拟效果的一个指标．
下面关于的说法：①越大，说明模型拟合的效果越好；
②越接近1，说明回归的效果越好；
③越接近1，说明回归的效果越差．请你写出所有正确说法的序号 ．
15．观察下列散点图，具有相关关系的是 （填序号）.

16．对变量x、y有观测数据（i=1，2，…，10），得散点图如图1所示；对变量u、v有观测数据（i=1，2，…，10），得散点图如图2所示.由这两个散点图函可以判断变量x与y ，u与v .（填写“正相关”或“负相关”）
四、解答题
17．将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量（，2，…，15），得到数组．已知，，．
(1)求样本（，2…，15）的相关系数；
(2)假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的，寿命为的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．
（ⅰ）求（）的表达式；
（ⅱ）推导该植物寿命期望的值．
附：相关系数．
18．某校数学建模学生社团进行了一项实验研究，采集了的一组数据如下表所示：
2 3 4 5 6 7
52.5 45 40 30 25 17.5
该社团对上述数据进行了分析，发现与之间具有线性相关关系．
(1)画出表中数据的散点图，并指出与之间的相关系数是正还是负；
(2)求出关于的线性回归方程，并写出当时，预测数据的值．
附：在线性回归方程中，，其中为样本平均值．
19．党的二十大以来，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业持续投入研发的信心.某科技企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过不断的研发和技术革新，提升了企业收益水平.下表是对2023 年1 ~5月份该企业的利润y(单位：百万)的统计.
月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月
月份编号x 1 2 3 4 5
利润y(百万) 7 12 13 19 24
(1)根据统计表，求该企业的利润y与月份编号x的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有线性相关关系（，则认为y与x的线性相关性较强，，则认为y与x的线性相关性较弱.）；
(2)该企业现有甲、乙两条流水线生产同一种产品.为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两条流水线上分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到“甲流水线产品”的件数为，试求的分布列与期望.
附：相关系数
20．新冠病毒奥密克戎毒株开始流行后，为了控制新冠肺炎疫情，杭州某高中开展了每周核酸检测工作．周一至周五，每天中午13:30开始，安排位师生进行核酸检测，教职工每天都要检测，用五天时间实现全员覆盖．
(1)该校教职工有人，高二学生有人，高三学生有人．
①用分层抽样的方法，求高一学生每天的检测人数．
②高一年级共个班，该年级每天进行核酸检测的学生有两种安排方案．方案一：集中来自部分班级；方案二：分散来自所有班级．你认为哪种方案更合理？给出理由．
(2)学校开展核酸检测的第一周，周一至周五核酸检测用时记录如下表．
第天
用时
①计算变量和的相关系数（精确到），并说明两变量的线性相关程度；
②根据①中的计算结果，判定变量和是正相关还是负相关，并给出可能的原因．
参考数据和公式：，相关系数．
21．为了研究某种细菌随天数变化的繁殖个数，收集数据如下：
天数 1 2 3 4 5 6
繁殖个数 6 12 25 49 95 190

(1)在图中作出繁殖个数关于天数变化的散点图，并由散点图判断（为常数）与（为常数，且）哪一个适宜作为繁殖个数关于天数变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)对于非线性回归方程（为常数，且），令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值．
3.50 62.83 3.53 17.50 596.57 12.09
（ⅰ）证明：“对于非线性回归方程，令，可以得到繁殖个数的对数关于天数具有线性关系（即为常数）”；
（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（系数保留2位小数）．
附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】在坐标系中画出五个点，结果除去之外，其余的点都在一条线附近，去掉这个点以后剩下的数据更具有相关关系.
【详解】，在坐标系中画出五个点，
结果除去之外，其余的点都在一条线附近，
去掉这个点以后剩下的数据更具有相关关系，
故选：C
2．A
【分析】根据相关系数的正负判断正负相关关系，根据相关系数绝对值的大小判断决定系数的大小.
【详解】因为，，故和之间呈正线性相关关系，和之间呈负线性相关关系，
故BD错误，
而，故，故A正确，C错误，
故选：A.
3．A
【分析】
根据关系式判断负相关，再由变量y与正相关可得负相关即可判断.
【详解】因为变量和满足关系，变量y与正相关，
由正相关、负相关的定义可知与负相关，与负相关.
故选：A
4．D
【分析】根据数据散点图的单调性，结合选项中的函数，逐项判定，即可求解.
【详解】由散点图可知，所求回归方程先减后增，选项中A，B均为定义域上的增函数，不符合题意；
选项C中的函数图象为开口向下的抛物线，不符合题意；
而选项D中的函数图象增减性与散点图符合题意，故D正确.
故选：D．
5．B
【分析】根据散点图分析出样本的相关关系即可.
【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出，
左侧两图是正相关，样本相关系数大于0，则，，
右侧两图是负相关，样本相关系数小于0，则，，
下方两图的点相对更加集中，所以相关性较强，所以接近于1，接近于－1，
上方两图的点相对分散一些，所以相关性较弱，所以和比较接近0，
由此可得．
故选：B．
6．B
【分析】
根据散点图的分布判断相关系数的符号和绝对值大小，即可得结果.
【详解】由图中散点的分布趋势知：，，
由图散点的分布状态知：，，
所以.
故选：B
7．B
【分析】
作出散点图即可得出结论.
【详解】由题意，
做出散点图如下图所示，

由图可知，
日期与人数具有线性相关关系，但不是一次函数关系，
①正确，②错误，
故选：B.
8．D
【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断即可．
【详解】由散点图可知这两个变量为负相关，所以．
因为剔除点后，剩下点的数据更具有线性相关性，更接近1，
所以 ．
故选：D．
9．ABD
【分析】对于A：利用正态分布的对称性判断；对于B：根据相关的概念判断；对于C：举反例说明；对于D：直接求75百分位数.
【详解】对于A：已知，若，
则，A正确；
对于B：若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则变量与变量之间满足线性函数关系，则决定系数，B正确；
对于C：不妨设，
则，解得，
此时，
故找到一组数，数据中有大于5的数，C错误；
对于D：，故这组数据的75百分位数为47，D正确.
故选：ABD.
10．BD
【分析】
根据正相关的定义结合图象即可判断A；根据中位数的定义结合图象即可判断B；根据图中数据进行计算即可求得平均数，即可判断C；根据图中数据进行计算即可判断D.
【详解】由题图可以看出，数据点并不是从左下至右上分布，所以错；
将成交量数据按大小顺序排列，中位数为26，所以对；
日平均成交量为，
超过42.7的只有一天，所以错；
10月7日认购量的增量为，
成交量的增量为，所以对，
故选:BD.
11．BCD
【分析】根据百分位数的定义求出第75百分位数，从而判定A；由独立性得到，进而利用对立事件的概率关系判定B；根据，可判定C；根据直线方程斜率为负值，可知相关系数为负值，根据所有点都在直线上，可知相关系数绝对值为1，进而可知相关系数，从而判定D.
【详解】对于选项A，9个数据从小到大排列，由于，所以第75百分位数应该是第7个数8，故A错误；
对于选项B，由M，N相互独立得：，所以，，故B正确：
对于选项C，由，可以认为和独立，故C正确：
对于选项D，样本点都在直线，说明是负相关且为线性函数关系，所以相关系数为，故D正确，
故选：BCD.
12．BCD
【分析】
根据散点图的特点及正相关负相关的定义即可求解.
【详解】
由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，
所以气压与海拔高度呈负相关，沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关．
故选：BCD.
13．①②④
【分析】由，可得判定①正确；令时，求得，可判定②正确；根据回归直线方程的含义与性质，可判定③错误，④正确.
【详解】对于①中，由关于的线性回归方程为，可得，
所以变量之间呈正相关关系，所以①正确；
对于②中，由关于的线性回归方程为，
当时，可得，所以②正确；
对于③中，由表格中的数据，可得，，
可得，解得，所以③错误；
对于④中，由，，即样本中心点为，所以④正确.
故答案为：①②④.
14．①②
【分析】由线性回归中的意义即可得解.
【详解】在表达式中，与经验回归方程无关，残差平方后与经验回归方程有关，因此越大，表示残差平方后越小，即模型的拟合效果越好；越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差，可知①②正确③错误.
故答案为：①②
15．②③
【分析】根据散点图中散点的分别规律，结合相关关系的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】散点图①中，所以的散点都在曲线上，所以①具有函数关系，不符合题意；
散点图②中，所有的散点分布在一条直线的附近，所以②具有相关关系，符合题意；
散点图③中，所有散点都分布在一条曲线的附近，所以③具有相关关系，符合题意；
散点图④中，所有的散点杂乱无章，没有分布在一条曲线的附近，所以④不具有相关关系，不符合题意.
故答案为：②③
16． 负相关 正相关
【分析】根据散点图及正相关，负相关的概念即得.
【详解】由图1可知点散布在从左上角到右下角的区域，所以变量x与y负相关，
由图2可知点散布在从左下角到右上角的区域，所以变量u与v正相关.
故答案为：负相关；正相关.
17．(1)0.8；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）10.
【分析】（1）利用给定数据及相关系数公式计算即得.
（2）先根据递推关系得到与的关系，进而利用等比数列得到通项公式，推导出的表达式，最后得到的表达式，应用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由，，，
得相关系数.
（2）（ⅰ）依题意，，又，
则，当时，把换成，则，
两式相减，得，即，
又，于是对任意都成立，
从而是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，
所以；
（ⅱ）由定义知，，
而，
显然，
于是，
两式相减得
，
因此，
当足够大时，，，则，可认为．
所以该植物寿命期望的值是10.
【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．
18．(1)散点图见解析，负
(2)，
【分析】
（1）由已知条件画出散点图，根据散点图的走向判断两个变量间的关系；
（2）计算回归直线方程中的系数，然后将代入计算即可.
【详解】（1）
由题意得散点图如图所示：
由图可知与之间成负相关关系，所以是负．
（2）
因为，，
，，
所以，，
∴关于线性回归方程为，
所以当时，．
19．(1)；具有很强的线性相关性
(2)分布列见解析；
【分析】
（1）根据公式求出相关系数的值，即可判断；
（2）根据题意可知可取的为，然后计算列出分布列，求出期望即可求解.
【详解】（1）由统计表数据可得:
所以

所以相关系数 ，
因此，两个变量具有很强的线性相关性.
（2）由题意知，的可能取值为
因为 ，
，
所以 的分布列为：
所以
20．(1)①；②方案二更合理，理由见解析
(2)①，两变量线性相关性很强；②负相关，理由见解析
【分析】
（1）①利用分层抽样的概念直接计算，②根据随机抽样的特性直接判断；
（2）根据相关系数的公式可得，进而可以判断相关性的强弱及相关性.
【详解】（1）①高一学生每天的检测人数为人，
②方案二更合理，因为新冠病毒奥密克戎毒株传染性更强，潜伏期更短，分散抽检可以全面检测年级中每班学生的状况，更有利于防控筛查工作；
（2）①，
，
，
，，
故，
，两变量线性相关性很强，
②由可知变量和负相关．
可能的原因：随着核酸检测工作的开展，学校相关管理协调工作效率提高，因此用时缩短．
21．(1)选择为回归方程较宜
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【分析】（1）根据表格提供数据画出散点图，并由此选择.
（2）（ⅰ）利用换元法，结合对数运算证得结论成立；（ⅱ）根据回归方程的求法求得正确答案.
【详解】（1）作出散点图如图所示．

由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线的周围，
故选择为回归方程较宜．
（2）（i）由已知：令，则，
则，，即．所以繁殖个数的对数关于天数具有线性关系．
（ii）由（i）知繁殖个数的对数关于天数可以用线性回归方程来拟合．由表中数据可得，
，
，
得到关于的线性回归方程为，又，
因此细菌的繁殖个数关于天数的非线性回归方程为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页