8.2一元线形回归分析 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

8.2一元线形回归分析同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（ ）
A．平均数 B．相关系数 C．决定系数 D．方差
2．设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，且，，则（ ）
A．和之间呈正线性相关关系，且和的线性相关程度强于和的线性相关程度
B．和之间呈负线性相关关系，且和的线性相关程度强于和的线性相关程度
C．和之间呈负线性相关关系，且和的线性相关程度弱于和的线性相关程度
D．和之间呈正线性相关关系，且和的线性相关程度弱于和的线性相关程度
3．随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“618”促销活动．市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价（单位：元）和销售量（单位：百件）之间的一组数据（如表所示），用最小二乘法求得关于的线性回归方程是，预测当售价为45元时，销售量件数大约为（ ）（单位：百件）
20 25 30 35 40
5 7 8 9 11
A．12 B．12.5 C．13 D．11.75
4．已知变量，之间的一组相关数据如下表所示：
6 8 10 12
6 3 2
据此得到变量，之间的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．变量，之间成负相关关系 B．可以预测，当时，
C． D．该回归直线必过点
5．通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图.若去掉图中右下方的点后，下列说法正确的是（ ）
A．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关
B．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变
C．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大
D．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小
6．某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.
若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．决定系数变小 B．残差平方和变小
C．相关系数的值变小 D．解释变量与预报变量相关性变弱
7．已知变量与之间的一组数据如表：
2 4 5 6 8
30 50 70
若与的线性回归方程为，则的值为（ ）
A．60 B．70 C．100 D．110
8．对变量有观测数据，得散点图1；对变量有观测数据，得散点图2.表示变量之间的线性相关系数，表示变量之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A．变量与呈现正相关，且 B．变量与呈现负相关，且
C．变量与呈现正相关，且 D．变量与呈现负相关，且
二、多选题
9．已知由样本数据（i=1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为，且．剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点．则下列说法正确的是
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C．剔除该异常点后的回归直线方程经过点
D．剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小
10．已知某产品的销售额（单位：万元）与广告费用（单位：万元）之间的关系如下表
0 1 2 3 4
10 20 30 35
若根据表中的数据用最小二乘法求得对的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ）
A．产品的销售额与广告费用负相关
B．该回归直线过点
C．当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元
D．的值是15
11．下列选项错误的有（ ）
A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为6
B．在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越差
C．决定系数，说明回归模型较好的刻画了两个变量间的相关关系，而且响应变量可以解释97.62%的解释变量的变化
D．经验回归方程经过成对样本数据的样本中心点
12．(多选)某城市收集并整理了该市2018年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位：℃)的数据，绘制了下面的折线图．已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据折线图，下列结论错误的是（ ）
A．最低气温与最高气温呈正相关
B．10月的最高气温低于5月的最高气温
C．月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月
D．最低气温低于0 ℃的月份有4个
三、填空题
13．已知某冶炼厂2023年月份煅烧的合金量（单位：百万吨）如表所示：
月份 1 2 3 4
煅烧百万吨 8.5 8 7 6.5
已知煅烧量与月份之间有较强的线性相关关系，且其线性回归方程为，则 .
14．某同学收集了变量，的相关数据如下：
x 0.5 2 3 3.5 4 5
y 15
为了研究，的相关关系，他由最小二乘法求得关于的线性回归方程为，经验证回归直线正好经过样本点，则 ．
15．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据:
单价(元)
销量(件)
由表中数据，求得线性回归方程，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为
16．某地建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如下表：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码 1 2 3 4 5
年借阅量万册 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8
根据上表，可得关于的线性回归方程为.则 .
四、解答题
17．某市政府为调查集贸蔬菜市场个体承包摊户年收入情况,随机抽取了6个摊户进行分析，得到样本数据，其中和分别表示第个摊户和该摊户年收入(单位:万元)，如下
1 2 3 4 5 6
5 6 7 7 9 8
(1)求关于的线性回归方程；
(2)若该集贸蔬菜市场个体承包摊户有300个，根据题设估计该集贸蔬菜市场个体承包摊户年收入总值.
参考公式:对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
18．20世纪80年代初，随着我国的改革开放，经济体制和经营体制逐渐灵活，市场上的商品日益丰富，城市和农村出现小卖部．小卖部主营生活日用商品，有着经营成本小、规模小、商品种类少分布广等特点．近几年，人们的生活水平达到了新的高度，实体小卖部逐渐被应运而生的大小超市所取代．为适应市场，某小卖部经营者欲将经营规模扩大，将小卖部发展成生鲜综合超市，现将2013~2022年的年利润（单位：万元）统计如下：
年限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年利润（万元） 2 8 9 12 10 13 15 16 17 18
其中，年限1表示2013年，2表示2014年，3表示2015年，……，以此类推，10表示2022年．
(1)若年利润（单位：万元）与小卖部营业年限成正相关关系，在不改变经营状态的情况下，预测该小卖部2023年的年利润；
(2)以年利润是否低于12万元为评价标准，按照分层抽样从2013~2022年的年利润中随机抽取5个，再从这5个数据中随机抽取2个，求抽取的2个数据至少有1个低于12万元的概率．
附：线性回归方程中，，其中为样本均值．
19．某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化
天数x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
作物高度y/cm 9 10 10 11 12 13 13 14 14 14
(1)观察散点图可知，天数与作物高度之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度关于天数的线性回归方程（其中用分数表示）；
(2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差.
参考公式：.参考数据：.
20．近年来，随着国家对新能源汽车产业的支持，很多国产新能源汽车迅速崛起，其因颜值高、动力充沛、提速快、空间大、用车成本低等特点得到民众的追捧，但是充电难成为影响新能源汽车销量的主要原因，国家为了加快新能源汽车的普及程度，在全国范围内逐步增建充电桩．某地区2019－2023年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如表所示：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
充电桩数量x/万台 1 3 5 7 9
新能源汽车年销量y/万辆 25 37 48 58 72
(1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到0.001）；
(2)求y关于x的线性回归方程，预测当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆？
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
参考数据：，，，．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】根据相关数据的特征可知，决定系数能够刻画其经验回归方程的拟合效果.
【详解】平均数与方差是用来反馈数据集中趋势与波动程度大小的统计量；
变量y和x之间的相关系数的绝对值越大，则变量y和x之间线性相关关系越强；
用决定系数来刻画回归效果，越大说明拟合效果越好.
故选：C
2．D
【分析】根据对变量间的相关系数的意义和辨析即可得出结果.
【详解】由线性相关系数，可知变量与之间呈负线性相关关系，
由线性相关系数，可知变量与之间呈正线性相关关系，
又，
所以变量与的线性相关程度比变量与的线性相关程度强.
故选：D.
3．D
【分析】求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，从而得到回归直线方程，再代入计算可得.
【详解】因为，，
所以回归直线过点，故，即，所以．
将代入中，得．
故选：D．
4．C
【分析】由，可判断A正确；当时，得到的预测值，可得判定B正确；由表格中的数据，求得样本中心，代入求得的值，可判定C不正确；由，求得，可判定D正确.
【详解】对于A中，由，可得变量之间呈现负相关关系，所以A正确；
对于B中，当，可得，所以B正确；
对于C中，由表格中的数据，可得，
则，解得，所以C不正确；
对于D中，由，可得，所以该回归直线必经过点，所以D正确.
故选：C.
5．D
【分析】根据相关系数的概念逐一判断.
【详解】对于A：去掉图中右下方的点后，根据图象，两个变量还是负相关，A错误；
对于BCD：去掉图中右下方的点后，相对来说数据会集中，相关程度会更高，
但因为是负相关，相关系数会更接近线性相关系数会变小，故D正确，BC错误.
故选：D.
6．B
【分析】从图中分析得到去掉点后，回归效果更好，再由决定系数，残差平方和，相关系数和相关性的概念和性质作出判断.
【详解】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好，
故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小，
相关系数的绝对值，即会更接近于1，由图可得与正相关，故会更接近于1，
即相关系数的值变大，解释变量与预报变量相关性变强，
故A、C、D错误，B正确.
故选：B.
7．C
【分析】首先求出，根据回归直线方程必过样本中心点，即可求出，再由平均数公式计算可得.
【详解】因为，又与的线性回归方程为，
所以，即，解得.
故选：C.
8．C
【分析】利用散点图，结合相关系数的知识可得答案.
【详解】由题意可知，变量的散点图中，随的增大而增大，所以变量与呈现正相关；
再分别观察两个散点图，图比图点更加集中，相关性更好，所以线性相关系数.
故选：C.
9．BC
【分析】根据给定条件，求出新样本的中心点，进而求出新回归直线的斜率，再逐项判断即得.
【详解】依题意，原样本中，，
剔除一个偏离直线较大的异常点后，新样本中，，
因此剔除该异常点后的回归直线方程经过点，C正确；
由新的回归直线经过点，得新的回归直线斜率为，因此相关变量x，y具有负相关关系，A错误；
又，则剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变大，D错误；
由剔除的是偏离直线较大的异常点，得剔除该点后，新样本数据的线性相关程度变强，即样本相关系数的绝对值变大，B正确.
故选：BC
10．BD
【分析】对于A项，由回归方程即可之家额判断；对于B项，计算出样本中心点即可判断；对于C项，因回归方程求出的是预报值，与实际值不一定完全吻合，故可判断，对于D项，只需根据样本中心点坐标即,运用平均数公式即可求得.
【详解】对于A项，因对的线性回归方程为，其中，故产品的销售额与广告费用正相关，即A项错误；
对于B项,由表格知，代入,解得，即样本中心点坐标为，回归直线必过样本中心点，故B项正确；
对于C项，由对的线性回归方程为知，当时，代入可得，即销售额的预报值为74万元，但实际不一定是，故C项错误；
对于D项，由B项知，即，解得.故D项正确.
故选：BD.
11．AB
【分析】根据样本数据的方差公式，残差图，以及决定系数的定义，以及回归方程的相关知识点，判断选项.
【详解】A.由条件可知，数据的方差为，故A错误；
B.由残差图的描述可知，宽度越窄表示回归效果越好，故B错误；
C.决定系数反映了因变量的变异中可以被自变量解释的比例，故C正确.
D. 经验回归方程经过成对样本数据的样本中心点，故D正确.
故选：AB
12．BD
【详解】
在A中，最低气温与最高气温呈正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B错误；在C中，月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0 ℃的月份有3个，故D错误．
13．9.25
【分析】根据回归直线一定过样本中心点，求出样本中心点，然后代入回归方程即可求出.
【详解】，，
.
故答案为：
14．69
【分析】结合线性回归方程必过样本中心点求解.
【详解】因为线性回归方程经过样本点，所以.
因为：，所以.
所以：.
故答案为：69
15．/
【分析】根据表中数据可得回归方程，进而确定在回归直线右上方的个数，进而可得概率.
【详解】由已知，，
又样本中心在回归直线上，
即，解得，
所以回归直线方程为，
当时，，所以点在回归直线上；
当时，，所以点在回归直线左下方；
当时，，所以点在回归直线右上方；
当时，，所以点在回归直线右上方；
当时，，所以点在回归直线右上方；
当时，，所以点在回归直线左下方；
所以个样本点中在回归直线右上方的有个，
所以在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为，
故答案为：.
16．
【分析】
利用回归方程过样本中心点，代入计算即可求得
【详解】
根据表格可知，
，，
代入，可得.
故答案为：
17．(1)
(2)万元
【分析】（1）根据所给数据求出、、、，从而求出，再由即可得到结果；
（2）由条件可得，该集市摊户的年收入总值是以为首项，以为公差的等差数列的前300项和，结合等差数列的求和公式，即可得到结果.
【详解】（1）题意计算得，则，，则，
所以
则，，
所以.
（2）由题可知，第1个摊户的年收入为万元，
第2个摊户的年收入为万元，
第300个摊户的年收入为万元，
所以该集市摊户的年收入总值是以为首项，以为公差的等差数列的前300项和，
设为，则万元.
所以该集贸蔬菜市场个体承包摊户年收入总值约为万元．
18．(1)20.47万元
(2)
【分析】（1）根据图表利用最小二乘法计算线性回归方程并预测即可；
（2）根据图表利用分层抽样及古典概型计算即可.
【详解】（1），
,
，
，
线性回归方程为．
当时，，
在不改变经营状态的情况下，预测该小卖部2023年的年利润为20.47万元．
（2）2013～2022年的年利润中低于12万元的有4个，不低于12万元的有6个，
按照分层抽样从2013～2022年的年利润中随机抽取5个，
则年利润低于12万元的有2个，记为，不低于12万元的有3个，
记为．
从这5个数据中随机抽取2个，
所有等可能结果有，，共10种，
其中，抽取的2个数据至少有1个低于12万元的结果有，共7种，
故所求概率为．
19．(1)；
(2).
【分析】（1）根据表格数据利用公式求出即可求解.
（2）将代入回归方程求得预测值，然后根据残差定义求解即可.
【详解】（1）依题意，，
，
故，
，故所求回归直线方程为.
（2）由（1）可知，当时，，
故所求残差为.
20．(1)答案见解析
(2)；157.25万辆
【分析】（1）先求出，，结合题意中的公式计算即可求解；
（2）根据最小二乘法计算，进而求出，写出线性回归方程．将代入方程即可下结论.
【详解】（1）由题知，，
又，，，
所以，
因为y与x的相关系数近似为0.999，非常接近1，
所以y与x的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2），，
所以y关于x的线性回归方程为．
当时，，
故当充电桩数量为24万台时，该地区新能源汽车的年销量为157.25万辆．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页