第5章 导数及其应用 综合复习训练（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

第5章导数及其应用综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若可导函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线：，过直线：上的动点可作的两条切线，记切点为，则直线（ ）
A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点
4．已知函数的图象如下图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的最小值为，则的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．1
8．已知函数的导函数为，且，则的极值点为（ ）
A．或 B． C．或 D．
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．已知函数，则（ ）
A．有3个零点 B．在原点处的切线方程为
C．的图象关于点对称 D．在上的最大值为4
11．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的值域为
B．函数的图象关于点成中心对称图形
C．函数的导函数的图象关于直线对称
D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则
12．下列有关导数的运算和几何意义的说法，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．在处的切线斜率是
D．过点的切线方程是
三、填空题
13．若函数（）有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
14．写出一个同时满足下列三个条件的函数的解析式 ．
①；
②；
③的导数为且．
15．已知关于的不等式：的解集为，则的最大值是 ．
16．已知函数在处取得极值5，则 ．
四、解答题
17．已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若对所有都有，求实数的取值范围；
18．已知函数及其导函数满足，且．
(1)求的解析式，并比较，，的大小；
(2)试讨论函数在区间上的零点的个数．
19．已知函数，
(1)若与有相同的单调区间，求实数的值；
(2)若方程有两个不同的实根，证明：.
20．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，若函数和的图象在上有交点，求实数的取值范围．
21．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，若函数和的图象在上有交点，求实数的取值范围．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】求得，得出函数的单调性，结合题意，得到，即可求解.
【详解】由函数，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
要使得函数在区间上有最小值，
则满足，即，
因为，可得，即，解得，
所以，即实数的取值为.
故选：D.
2．D
【分析】根据导数的定义计算可得.
【详解】因为可导函数满足，
所以.
故选：D
3．D
【分析】设，求导，根据导函数几何意义得到切线方程，设，将其代入两切线方程，得到直线的方程为，得到过定点.
【详解】设，则，，
由于，故过点的切线方程为，
即，即，
同理可得过点的切线方程为，
设，过点的两切线交于点，
故，整理得，
同理，整理得，
故直线的方程为，
斜率不为定值，AB错误，当时，，恒过点，C错误，D正确.
故选：D
4．C
【分析】由导数的符号得出原函数的单调性，结合选项可得答案.
【详解】由图可得，当时，时，，为减函数，
时，，为增函数；
当时，时，，为减函数，
时，，为增函数；
结合选项可知C符合题意.
故选：C
5．D
【分析】利用求导法则进行计算，对四个选项一一作为判断.
【详解】A选项，，A错误；
B选项，，B错误；
C选项，，C错误；
D选项，，D正确．
故选：D．
6．C
【分析】对不等式分离参数得到，令，构造函数，，则，通过导数研究单调性求出最大值即可.
【详解】由不等式恒成立，且，
分离参数得，所以，即，
设，得，，设，，则.
，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以.
所以.
故选：C.
7．B
【分析】由二次函数的性质可知，令，运用导数可求得的最小值，进而可得结果.
【详解】因为，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
，
故选：B．
8．D
【分析】先对函数求导，先后代入和，确定函数的解析式，再通过导函数的符号确定函数的极小值点即可.
【详解】对进行求导，可得，
将代入整理，①
将 代入可得，即，
将其代入① ，解得：，故得.
于是，由可得或，因，
故当时，，当时， ，
即是函数的极小值点，函数没有极大值.
故选：D.
9．BCD
【分析】对于A：当时，举例判断；对于B：设，求导，求其最值来判断；对于C：设，求导，求其最值，利用零点存在定理来判断；对于D：利用零点存在定理来判断.
【详解】对于A：当时，，A错误；
对于B：设，则，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即，，B正确；
对于C：设，则，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，又，
由零点存在定理可得，使得，C正确；
对于D：设，则，
由零点存在定理可得，使得，D正确；
故选：BCD.
10．AC
【分析】对于A：令直接解方程即可；对于B：求导，利用导数的几何意义求切线方程；对于C：确定奇偶性即可；对于D：求导，确定单调性，根据单调性求最值.
【详解】对于A，，则，正确；
对于B，的图象在原点处的切线方程为，错误；
对于C，由得为定义在上的奇函数，可知的图象关于点对称，正确；
对于D，在上单调递减，在上单调递增，又，所以在上的最大值为0，错误．
故选：AC．
11．BCD
【分析】借助指数函数的值域求解判断A；利用给定定义计算判断B；利用复合函数求导法则结合对称性判断C；利用中心对称的性质计算判断D.
【详解】对于A，显然的定义域为R，，则，即函数的值域为，A错误；
对于B，令，，
即函数是奇函数，因此函数的图象关于点成中心对称图形，B正确；
对于C，由选项B知，，即，
两边求导得，即，
因此函数的导函数的图象关于直线对称，C正确；
对于D，由函数满足为奇函数，得函数的图象关于点成中心对称，
由选项B知，函数的图象与函数的图象有2024个交点关于点对称，
因此，D正确.
故选：BCD
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
12．BC
【分析】AB选项，直接求导得到A错误，B正确；C选项，求导后，代入得到切线斜率；D选项，先得到不在上，设出切点，利用导数几何意义得到切线方程，将代入，得到方程，求出切点，进而得到切线斜率，得到D错误.
【详解】A选项，，A错误；
B选项，，，B正确；
C选项，，故，
所以在处的切线斜率是，C正确；
D选项，因为，故不在上，
，设切点为，
故，
故过点的切线方程是，
将代入切线方程中，，
即，
变形得到，即，
解得或，
故切线方程的斜率为或，
故切线方程不为，D错误.
故选：BC
13．
【分析】化简函数，得到和在上单增，结合存在唯一的，使，即，且存在唯一的，使，结合，进而得到实数的取值范围．
【详解】由函数，
设，可得，单调递增，
且，，
所以存在唯一的，使，即，
令，即，
设，可得，则在上单增，
又由且时，，
所以当时，存在唯一的，使，即，
若时，可得，则，可得，所以，
所以，
综上所述，实数的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
14．（答案不唯一）
【分析】借助函数的周期性、对称性、奇偶性计算即可得.
【详解】由①得，所以函数图象的周期为4，
由②得的图象关于直线对称，
由③得关于对称，为常数，
则同时满足三个条件的一个函数可以为．
故答案为：（答案不唯一）.
15．/
【分析】由题意可知，原不等式等价为恒成立，即函数的图象恒在函数的上方，然后利用两曲线相切的临界位置，得出的表达式构造函数求最大值即可.
【详解】根据题意可知，关于的不等式的解集为，即对任意恒成立；
令函数，，即函数的图象恒在函数的上方，所以；
设直线与曲线相切，切点为；
由得，
所以，即；
此时切线方程为，即
所以；
根据题意直线须在的上方或重合，所以；
所以，令，则
记，则，
所以当，即函数在上单调递增；
当，即函数在上单调递减；
所以，即，
所以的最大值是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键是将不等式恒成立转化成两函数图象的位置关系的问题，利用导数的几何意义得到切线方程，比较得出在上轴截距的大小，写出的表达式，最后通过构造函数求得其最大值.
16．
【分析】求得，结合题意，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为函数在处取得极值，可得，
解得，所以.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，求解最小值即可；
（2）对于不等式恒成立求参数的取值范围问题，分离参数转化为利用导数求函数的最小问题即可求解.
【详解】（1）的定义域是，，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故f(x)min＝＝．
（2）∵，当时，恒成立，
等价于在时恒成立，
等价于在时恒成立，
令，，则即可；
∵，∴当时，恒成立，
∴在上单调递增，∴，
∴，即实数的取值范围为．
18．(1)
(2)2个
【分析】（1）可设，得到，利用导数得到函数的单调性，结合时，，求得，再设函数，得到函数在上单调递增，进而得到，即可求解；
（2）根据题意，当时，；当时，，分，和，三种情况讨论，求得函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）解：由，可得，
可设且为常数，
令，可得，所以，
则，当时，，所以在单调递增，
因为均小于，只需比较这三个数的大小即可，
设，
因为当时，，所以，所以，又，所以，
设函数，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，所以，
所以.
（2）解：由题意知，函数，
当时，；当时，，
（i）令，当时，，
所以在上单调递减，
因为，所以存在唯一的，使得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减；
（ii）当时，令，则，
所以在上单调递减，所以，
又因为在上，，
所以，在上单调递减；
（iii）当时，，在上单调递减，
由（i）（ii）（iii）可得，在上单调递增，在在上单调递减，
因为，
所以存在唯一的，使得，
故在区间上仅有两个零点.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先分析的单调性，从而结合的导数得到，再进行检验即可得解；
（2）将问题转化为有两个不同的实根，构造函数，利用导数求得的取值范围，再利用零点的定义消去转化得，从而构造函数，利用导数证得，从而得证.
【详解】（1）函数与的定义域均为，
由得，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
由得，
因为与有相同的单调区间，
所以，解得，
当时，，
因为在区间上单调递增，且0，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增，
此时与有相同的单调区间，符合题意，
故.
（2）方程有两个不同的实根，
等价于有两个不同的实根，
等价于有两个不同的实根，
令，则，
当时，单调递减，不符合题意，舍去；
当时，方程必有一正根，使得，即，
且当时，单调递减；当时，单调递增，
若方程有两个不同的实根，，
令，则单调递减，
因为，所以，
所以，
因为是方程的两个不同的实根，
所以，，
两式相加，得，即，
两式相减，得，即，
所以，整理得，
不妨设，令，
则，所以单调递增，，
所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
20．(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）求出函数导数，分类讨论确定的符号，得出单调区间；
（2）换元转化后，问题可化为在上有零点，根据单调性并分类讨论即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，．
令，得
①当时，，在上单调递减；
②当时，列表如下：
0
极大值
所以在上递增，在上递减；
③当时，列表如下
0
极大值
所以在上递增，在上递.
综上，当时，在上递减；当时，在上递增，在上递减；当时，在上递增，在上递减.
（2）当时，设
函数和的图象在有交点，
等价于函数和的图象在上有交点，
即函数和的图象在上有交点，
等价于的图象在有零点，
的单调递增区间是，单调递减区间是．
，由（1）知
当时，在为增函数，在上有零点，则
或，；
当时，在递增，在递减，
，
即，
综合得：实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于通过令换元，转化为函数和的图象在上有交点，再转化为的图象在有零点，通过转化即可利用的单调性求解.
21．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）含参数的单调性讨论问题，对求导后求出导数为零的两个根，再在定义域内根据与零的关系讨论导函数的正负可得原函数的单调性；
（2）先根据把乘以后把问题转化为的图象在有零点，然后再由（1）的单调性结合零点存在定理得到当时，；和当时，两种情况分别解出的取值范围，最后求出结果即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
则令，得
①当时，
②当时，
0
递增 极小值 递减
③当时，
0
递增 极小值 递减
综上当时，在上递减；
当时，在上递增，在上递减；
当时，在上递增，在上递减.
（2）函数和的图像在上有交点，
等价于函数和的图像在上有交点，
等价于的图像在有零点，
的单调递增区间是，单调递减区间是，
，由（Ⅰ）知，
当时，在为增函数，因为在上有零点，则，
或，
，
当时，在递增，在递减，，
即，
，
综合得：实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
（1）带参数的函数单调性讨论问题求解步骤为：求导；讨论方程的性质（一次，二次）；根的个数；根的大小；根与给定区间的关系.
（2）讨论图像的交点问题可转化为方程根的个数问题，构造函数后求导，结合零点存在定理和函数的单调性解决.
答案第1页，共2页
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