第6章 计数原理 综合复习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 第6章 计数原理 综合复习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 402.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-14 08:43:07 | ||
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文档简介
第6章计数原理综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．六人站一横排，由于甲和乙两人是好朋友，他们必须站在一起，则不同的站法数是（ ）．
A．240 B．720 C．600 D．120
2．2023世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由 扩散 无界的未来建筑形象诠释科学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘“古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云”屋顶造型，建筑首层围绕共享中庭设置了剧场 主题展区及博物馆三大主题空间.现将4名志愿者安排到这三个主题空间进行志愿服务，则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有（ ）
A．6种 B．18种 C．24种 D．36种
3．“的展开式中的系数为80”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．从1，2，3，4，5这5个数中随机地取出3个数，则该3个数的积与和都是3的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．，则（ ）
A．180 B． C．45 D．
6．韩愈的《师说》中写道：“李氏子蟠，年十七，好古文，六艺经传皆通习之，不拘于时，学于余．余嘉其能行古道，作《师说》以贻之．”六艺具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节课程，连排六节，则“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排课方法种数为（ ）
A．84 B．96 C．168 D．204
7．在的展开式中，项的系数为（ ）
A．1 B．10 C．40 D．80
8．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为
若，，则b的值可以是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．若，则正整数x的值是1 B．
C． D．
10．设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（ ）
A．从东面上山有20种走法 B．从西面上山有27种走法
C．从南面上山有30种走法 D．从北面上山有32种走法
11．已知二项式（且，，）的展开式中第项为15，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．关于的展开式，下列判断正确的是（ ）
A．展开式共有项
B．展开式的各二项式系数的和为128
C．展开式的第项的二项式系数为49
D．展开式的各项系数的和为
三、填空题
13．在的展开式中无常数项，则的一个取值为 ．
14．已知是正整数，化简： ．
15．的二项展开式中各项系数之和为64，则的二项展开式中第七项为 ．
16．若展开式中前3项的二项式系数和等于79，则展开式中二项式系数最大项为 ．
四、解答题
17．已知二项式且为常数的展开式中第7项是常数.
(1)求的值；
(2)若该二项式展开式中各项系数之和为，求展开式中的系数.
18．3位男同学和2位女同学站成一排.
(1)2位女同学必须站在一起，有多少种不同的排法（用数字作答）；
(2)2位女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法（用数字作答）；
(3)甲不在排头，乙不在排尾，有多少种不同的排法（用数字作答）.
19．已知.
(1)若，求中含项的系数；
(2)若，求的值；
20．2024年3月12日是我国第46个植树节，为建设美丽新重庆，重庆市礼嘉中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答）
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种
(2)男、女相间的站法有多少种
(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种
21．（1）已知k，，且，求证：；
（2）若，且，证明：；
（3）设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．A
【分析】相邻问题利用捆绑法计算可得.
【详解】首先将甲和乙两人作为一个整体与其余人全排列，有种站法，
其中甲、乙两人又有种站法，
综上可得不同的站法有种.
故选：A
2．D
【分析】根据已知条件先分组再分配.
【详解】首先根据题意将志愿者分成三组有种分法，
安排到三个主题空间有种，根据分步乘法计数原理，
不同的安排方式有种.
故选：D.
3．B
【分析】根据二项式定理结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为的展开式的通项为，
可知含的项为，
则，解得，
且是的真子集，
所以“的展开式中的系数为80”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4．B
【分析】根据题意，得到基本事件的总数为种，再利用列举法取得所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】从1，2，3，4，5这5个数中随机地取出3个数，共有种不同的取法；
其中这3个数的积与和都是3的倍数的有：，有4种取法，
所以该3个数的积与和都是3的倍数的概率为.
故选：B.
5．C
【分析】变形得到，利用二项式定理得到通项公式，求出答案.
【详解】，的展开式通项为，
令，解得，故.
故选：C．
6．C
【分析】分“数”排在第一节和“数”排在第二节两种情况讨论求解.
【详解】解：“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排课方法可以分两类：
①“数”排在第一节，“书”排在第二、三、四、五节，则有种排法；
②“数”排在第二节，“书”排在第三、四、五节，则有种排法．
故“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排法共有种，
故选：C．
7．D
【分析】利用通项求解可得.
【详解】通项公式为，
当时，，
所以项的系数为80.
故选：D
8．A
【分析】利用二项式定理求出被5除得的余数，再逐项验证即得.
【详解】依题意，
，
显然是正整数，因此被5除得的余数是1，
而被5除得的余数分别是1，2，3，4，
所以b的值可以是2021.
故选：A
9．BCD
【分析】选项A、C，根据组合数公式及性质直接求解；选项B，根据排列数公式直接求解；选项D，根据二项式系数和公式，奇数项与偶数项的二项式系数和各占一半得出结果.
【详解】选项A，因为，所以或，即或，故D错误；
选项B，因为，故A正确；
选项C，由，故B正确；
选项D，由，
，
得，故D正确.
故选：BCD.
10．ABD
【分析】利用分步乘法原理求解即可.
【详解】若从东面上山，则上山走法有2种，下山走法有10种，由分步计数原理可得共有20种走法；
若从西面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法；
若从南面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法；
若从北面上山，则上山走法有4种，下山走法有8种，由分步计数原理可得共有32种走法；
故选：ABD
11．AB
【分析】利用二项展开式的通项公式可求， 的值，可判断AB的准确性；再利用排列数和组合数的运算性质判断CD.
【详解】由二项式定理得，
所以，故AB正确．
因为，所以C错误．
因为，，所以，故D错误．
故选：AB
12．BD
【分析】根据二项式定理的性质逐项判断即可.
【详解】对于A,二项式展开式共有项，故A错误；
对于B，展开式的各二项式系数的和为，故B正确；
对于C，展开式的第项的二项式系数为，故C错误；
对于D，令可得展开式的各项系数的和为，故D正确.
故选：BD.
13．（答案不唯一）
【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式及常数项的特点即可求解.
【详解】的展开式的通项公式为，
由，得，又,
因此，所以的一个取值为.
故答案为：（答案不唯一）.
14．
【分析】利用二项式定理，化简展开式.
【详解】.
故答案为：
15．84
【分析】令结合已知列出方程求出的值，进而根据二项式定理展开式的通项公式，化简得出答案.
【详解】令结合已知，可得的二项展开式中各项系数之和为，解得，
所以，二项式即为，
其展开式的第七项为.
故答案为：84.
16．
【分析】根据题设条件列出方程，求得，再判断二项式系数最大项为项，利用通项公式化简计算即得.
【详解】依题意，，解得或（舍去），
即二项式的展开式有13项，最中间的项为第7项，也是二项式系数最大项，
即
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值；
（2）先利用题给条件求得a的值，进而即可求得展开式中的系数.
【详解】（1）二项式的展开式中第7项为
，
由题意得，解得.
（2）令，得，所以或，
解得，或（舍去）.
该二项式展开式通项为
，
令，解得，
故展开式中的系数为.
18．(1)
(2)
(3)78
【分析】（1）将位女同学捆绑，视为一个整体，结合分步计数原理可得结果；
（2）先排位男同学，再将位女同学插空，结合分步计数原理可得结果；
（3）先排甲分为两类，甲在排尾和甲在中间，结合分步计数原理可得结果.
【详解】（1）位女同学必须站在一起，则将位女同学捆绑，视为一个整体，
可得排法种数为种；
（2）先排个男同学，形成个空，再插入位女同学，
可得排法种数为种；
（3）先排甲分为两类，甲在排尾有种，
甲在中间，则乙有3个位置可选，其余全排列，则有，
可得排法种数为种
19．(1)99；
(2).
【分析】（1）由题知，先求展开式中含的项，然后可得；
（2）分别令，，然后两式相减可得.
【详解】（1），
因为展开式中的第项，
所以展开式中含项分别为，
故中含的项为，
所以中含项的系数为99.
（2），
令得①，
令得②，
两式相减①-②：，
所以.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）特殊元素优先排列即可得；
（2）不相邻问题用插空法排列即可得，
（3）定序问题用倍缩法排列即可得.
【详解】（1）甲不在中间也不在两端，故甲可选个位置，其余六人可排除种，
故共有种；
（2）先排男生，共有种，则女生可在男生排完后的四个空中选择四个，即有种，
故共有种；
（3）全部排好共有种，由甲、乙、丙三人顺序一定，共有故种.
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）运用组合数运算公式进行计算证明即可；
（2）法一：运用组合数运算公式，结合（1）的结论进行计算证明即可；法二：利用分析法，结合导数的运算性质进行计算证明即可；
（3）运用等差数列的通项公式，逆用二项式定理进行证明即可.
【详解】（1）左边，
右边，
所以；
（2），
而，
所以.
所以.
所以，原命题成立.
另法：，
要证，只需证.
设，
由，
两边同时求导，
得
令，得，
即得证.
所以，原命题成立.
（3）由条件，设等差数列，，，…，的公差为d，，
则
.
因为，所以对任意的，是关于x的一次函数.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是第一问的证明，后续证明需要第一问的结论，利用二项式定理和等差数列的性质也是本题的关键.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．六人站一横排，由于甲和乙两人是好朋友，他们必须站在一起，则不同的站法数是（ ）．
A．240 B．720 C．600 D．120
2．2023世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由 扩散 无界的未来建筑形象诠释科学与科幻主题，提取古蜀文化中神秘“古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云”屋顶造型，建筑首层围绕共享中庭设置了剧场 主题展区及博物馆三大主题空间.现将4名志愿者安排到这三个主题空间进行志愿服务，则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有（ ）
A．6种 B．18种 C．24种 D．36种
3．“的展开式中的系数为80”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．从1，2，3，4，5这5个数中随机地取出3个数，则该3个数的积与和都是3的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．，则（ ）
A．180 B． C．45 D．
6．韩愈的《师说》中写道：“李氏子蟠，年十七，好古文，六艺经传皆通习之，不拘于时，学于余．余嘉其能行古道，作《师说》以贻之．”六艺具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节课程，连排六节，则“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排课方法种数为（ ）
A．84 B．96 C．168 D．204
7．在的展开式中，项的系数为（ ）
A．1 B．10 C．40 D．80
8．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为
若，，则b的值可以是（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．若，则正整数x的值是1 B．
C． D．
10．设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（ ）
A．从东面上山有20种走法 B．从西面上山有27种走法
C．从南面上山有30种走法 D．从北面上山有32种走法
11．已知二项式（且，，）的展开式中第项为15，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．关于的展开式，下列判断正确的是（ ）
A．展开式共有项
B．展开式的各二项式系数的和为128
C．展开式的第项的二项式系数为49
D．展开式的各项系数的和为
三、填空题
13．在的展开式中无常数项，则的一个取值为 ．
14．已知是正整数，化简： ．
15．的二项展开式中各项系数之和为64，则的二项展开式中第七项为 ．
16．若展开式中前3项的二项式系数和等于79，则展开式中二项式系数最大项为 ．
四、解答题
17．已知二项式且为常数的展开式中第7项是常数.
(1)求的值；
(2)若该二项式展开式中各项系数之和为，求展开式中的系数.
18．3位男同学和2位女同学站成一排.
(1)2位女同学必须站在一起，有多少种不同的排法（用数字作答）；
(2)2位女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法（用数字作答）；
(3)甲不在排头，乙不在排尾，有多少种不同的排法（用数字作答）.
19．已知.
(1)若，求中含项的系数；
(2)若，求的值；
20．2024年3月12日是我国第46个植树节，为建设美丽新重庆，重庆市礼嘉中学高二年级7名志愿者参加了植树节活动，3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答）
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种
(2)男、女相间的站法有多少种
(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种
21．（1）已知k，，且，求证：；
（2）若，且，证明：；
（3）设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．A
【分析】相邻问题利用捆绑法计算可得.
【详解】首先将甲和乙两人作为一个整体与其余人全排列，有种站法，
其中甲、乙两人又有种站法，
综上可得不同的站法有种.
故选：A
2．D
【分析】根据已知条件先分组再分配.
【详解】首先根据题意将志愿者分成三组有种分法，
安排到三个主题空间有种，根据分步乘法计数原理，
不同的安排方式有种.
故选：D.
3．B
【分析】根据二项式定理结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为的展开式的通项为，
可知含的项为，
则，解得，
且是的真子集，
所以“的展开式中的系数为80”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4．B
【分析】根据题意，得到基本事件的总数为种，再利用列举法取得所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】从1，2，3，4，5这5个数中随机地取出3个数，共有种不同的取法；
其中这3个数的积与和都是3的倍数的有：，有4种取法，
所以该3个数的积与和都是3的倍数的概率为.
故选：B.
5．C
【分析】变形得到，利用二项式定理得到通项公式，求出答案.
【详解】，的展开式通项为，
令，解得，故.
故选：C．
6．C
【分析】分“数”排在第一节和“数”排在第二节两种情况讨论求解.
【详解】解：“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排课方法可以分两类：
①“数”排在第一节，“书”排在第二、三、四、五节，则有种排法；
②“数”排在第二节，“书”排在第三、四、五节，则有种排法．
故“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排法共有种，
故选：C．
7．D
【分析】利用通项求解可得.
【详解】通项公式为，
当时，，
所以项的系数为80.
故选：D
8．A
【分析】利用二项式定理求出被5除得的余数，再逐项验证即得.
【详解】依题意，
，
显然是正整数，因此被5除得的余数是1，
而被5除得的余数分别是1，2，3，4，
所以b的值可以是2021.
故选：A
9．BCD
【分析】选项A、C，根据组合数公式及性质直接求解；选项B，根据排列数公式直接求解；选项D，根据二项式系数和公式，奇数项与偶数项的二项式系数和各占一半得出结果.
【详解】选项A，因为，所以或，即或，故D错误；
选项B，因为，故A正确；
选项C，由，故B正确；
选项D，由，
，
得，故D正确.
故选：BCD.
10．ABD
【分析】利用分步乘法原理求解即可.
【详解】若从东面上山，则上山走法有2种，下山走法有10种，由分步计数原理可得共有20种走法；
若从西面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法；
若从南面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法；
若从北面上山，则上山走法有4种，下山走法有8种，由分步计数原理可得共有32种走法；
故选：ABD
11．AB
【分析】利用二项展开式的通项公式可求， 的值，可判断AB的准确性；再利用排列数和组合数的运算性质判断CD.
【详解】由二项式定理得，
所以，故AB正确．
因为，所以C错误．
因为，，所以，故D错误．
故选：AB
12．BD
【分析】根据二项式定理的性质逐项判断即可.
【详解】对于A,二项式展开式共有项，故A错误；
对于B，展开式的各二项式系数的和为，故B正确；
对于C，展开式的第项的二项式系数为，故C错误；
对于D，令可得展开式的各项系数的和为，故D正确.
故选：BD.
13．（答案不唯一）
【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式及常数项的特点即可求解.
【详解】的展开式的通项公式为，
由，得，又,
因此，所以的一个取值为.
故答案为：（答案不唯一）.
14．
【分析】利用二项式定理，化简展开式.
【详解】.
故答案为：
15．84
【分析】令结合已知列出方程求出的值，进而根据二项式定理展开式的通项公式，化简得出答案.
【详解】令结合已知，可得的二项展开式中各项系数之和为，解得，
所以，二项式即为，
其展开式的第七项为.
故答案为：84.
16．
【分析】根据题设条件列出方程，求得，再判断二项式系数最大项为项，利用通项公式化简计算即得.
【详解】依题意，，解得或（舍去），
即二项式的展开式有13项，最中间的项为第7项，也是二项式系数最大项，
即
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值；
（2）先利用题给条件求得a的值，进而即可求得展开式中的系数.
【详解】（1）二项式的展开式中第7项为
，
由题意得，解得.
（2）令，得，所以或，
解得，或（舍去）.
该二项式展开式通项为
，
令，解得，
故展开式中的系数为.
18．(1)
(2)
(3)78
【分析】（1）将位女同学捆绑，视为一个整体，结合分步计数原理可得结果；
（2）先排位男同学，再将位女同学插空，结合分步计数原理可得结果；
（3）先排甲分为两类，甲在排尾和甲在中间，结合分步计数原理可得结果.
【详解】（1）位女同学必须站在一起，则将位女同学捆绑，视为一个整体，
可得排法种数为种；
（2）先排个男同学，形成个空，再插入位女同学，
可得排法种数为种；
（3）先排甲分为两类，甲在排尾有种，
甲在中间，则乙有3个位置可选，其余全排列，则有，
可得排法种数为种
19．(1)99；
(2).
【分析】（1）由题知，先求展开式中含的项，然后可得；
（2）分别令，，然后两式相减可得.
【详解】（1），
因为展开式中的第项，
所以展开式中含项分别为，
故中含的项为，
所以中含项的系数为99.
（2），
令得①，
令得②，
两式相减①-②：，
所以.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）特殊元素优先排列即可得；
（2）不相邻问题用插空法排列即可得，
（3）定序问题用倍缩法排列即可得.
【详解】（1）甲不在中间也不在两端，故甲可选个位置，其余六人可排除种，
故共有种；
（2）先排男生，共有种，则女生可在男生排完后的四个空中选择四个，即有种，
故共有种；
（3）全部排好共有种，由甲、乙、丙三人顺序一定，共有故种.
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）运用组合数运算公式进行计算证明即可；
（2）法一：运用组合数运算公式，结合（1）的结论进行计算证明即可；法二：利用分析法，结合导数的运算性质进行计算证明即可；
（3）运用等差数列的通项公式，逆用二项式定理进行证明即可.
【详解】（1）左边，
右边，
所以；
（2），
而，
所以.
所以.
所以，原命题成立.
另法：，
要证，只需证.
设，
由，
两边同时求导，
得
令，得，
即得证.
所以，原命题成立.
（3）由条件，设等差数列，，，…，的公差为d，，
则
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因为，所以对任意的，是关于x的一次函数.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是第一问的证明，后续证明需要第一问的结论，利用二项式定理和等差数列的性质也是本题的关键.
答案第1页，共2页
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