第8章 成对数据的统计分析 综合复习训练（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

第8章成对数据的统计分析综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的，若依据的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可（ ）
附:.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．48 B．54 C．60 D．66
2．开始吸烟年龄与得肺癌的相对危险度相对应的一组数据为，；每天吸烟的支数与其得肺癌的相对危险度相对应的一组数据为，．用表示变量与之间的线性相关系数，用表示变量与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则等于（ ）
A．53 B．65 C．13 D．11
4．校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查．其中被调查的男女生人数相同．男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数．若有的把握认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（ ）人．
附表：
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
其中，．
A．20 B．30 C．35 D．40
5．某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表：
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲 15 52 67
乙 6 63 69
合计 21 115 136
经计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），则可以认为（ ）
A．两种疗法的效果存在差异
B．两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0．005
C．两种疗法的效果没有差异
D．两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0．005
6．下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量、满足且，则
B．样本数据，，，，，，，，，的第百分位数为
C．若事件、相互独立，则
D．若、两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强
7．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如下表：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一组测量数据为，则该数据的残差为（ ）
色差x 22 24 26 28
色度y 16 19 20 21
A． B． C． D．
8．某老师很喜欢某APP中的“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数，如下表：
天数 1 2 3 4 5 6 7
一次最多答对题数 14 16 18 21 21 a 27
根据最小二乘法得到关于的回归直线方程为，则（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
二、多选题
9．某厂近几年陆续购买了几台 A 型机床，该型机床已投入生产的时间x(单位：年)与当年所需要支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7
根据表中的数据可得到经验回归方程为. 则（ ）
A．
B．y与x的样本相关系数
C．表中维修费用的第60百分位数为6
D．该型机床已投入生产的时间为 10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元
10．下列说法中正确的是（ ）
A．公式中的和不具有线性相关关系
B．已知变量的对数据为，则回归直线可以不经过点，其中
C．若相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强
D．对于变量与的统计量来说，越大，判断“与有关系”的把握越大
11．某地为响应“扶贫必扶智，扶智就是扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年借阅数据如下表：
年份代码x 1 2 3 4 5
年借阅量y（万册） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8
根据上表，可得y关于x的经验回归方程为，下列结论正确的有（ ）
A．
B．借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的75%分位数为5.7
C．y与x的线性相关系数
D．第六年的借阅量一定不少于6.12万册
12．(多选)人们常将男子短跑100 m的高水平运动员称为“百米飞人”，表中给出了1968年之前部分男子短跑100 m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据：
第x次 1 2 3 4 5
年份 1930 1936 1956 1960 1968
纪录/s 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95
如果变量y与x之间具有线性相关关系，设用最小二乘法建立的回归直线方程为＝－0.11x＋，则下列说法正确的是（ ）
A．变量y与x之间是正相关关系
B．变量y与x之间的线性相关系数r>0
C．＝10.44
D．下一次世界纪录在9.78 s左右
三、填空题
13．某同学在研究变量，之间的相关关系时，得到以下数据：并采用最小二乘法得到了线性回归方程，则 0（填“>”或“<”）.
4.8 5.8 7 8.3 9.1
2.8 4.1 7.2 9.1 11.8
14．为检验某种药物预防某一疾病的效果，进行了动物试验，得到如下2×2列联表：
患病 未患病 总计
服用药 10 45 55
没服用药 20 30 50
总计 30 75 105
由上述数据给出下列结论，其中结论正确的是 ．(填序号)
① 不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效；
② 能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效；
③ 不能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效；
④ 能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效．
15．学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表：
天数x 1 2 3 4 5 6 7
一次最多答对题数y 12 15 16 18 21 24 27
参考数据：，，，，，
相关系数
由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是正相关，其相关系数 （结果保留两位小数）.
16．某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用：（单位：万元）与销售利润（单位：万元）的相关数据，如表所示，根据表中数据，得到经验回归方程，则下列命题正确的是 （请填写序号）
广告费用 3 4 5 8
销售利润 4 5 7 8
①； ②；③直线必过点；④直线必过点
四、解答题
17．新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下：
研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5
产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11
(1)计算的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高）
(2)求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过50（亿元）则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数）
参考数据：；
附：相关系数公式：；
回归直线方程的斜率.
18．某校为了让学生有一个良好的学习环境，特制定学生满意度调查表，调查表分值满分为100分．工作人员从中随机抽取了100份调查表将其分值作为样本进行统计，作出频率分布直方图如图．
(1)估计此次满意度调查所得的平均分值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)在选取的100位学生中，男女生人数相同，规定分值在（1）中的以上为满意，低于为不满意，据统计有32位男生满意．据此判断是否有的把握认为“学生满意度与性别有关”？
(3)在（2）的条件下，学校从满意度分值低于分的学生中抽取部分进行座谈，先用分层抽样的方式选出8位学生，再从中随机抽取2人，求恰好抽到男女生各一人的概率．
附：，其中．
19．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验，研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)分组，绘制频率分布直方图如图所示，试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
(1)填写下面的列联表（单位：只），并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.用频率估计概率，记一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p，并以p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数n.
参考公式：（其中为样本容量）
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
20．某市教育局为了调查学生热爱数学是否与学生的年级有关，从全市随机抽取了50位高二学生和位高三学生进行调查，每位学生对“是否热爱数学”提出“热爱”或“不热爱”的观点，得到如下数据：
观点 高二 高三
热爱 30 20
不热爱 20
(1)以该50名高二学生热爱数学的频率作为全市高二学生热爱数学的概率，从全市的高二学生中随机抽取3名学生，记为这3名学生中热爱数学的学生人数，求的分布列和期望；
(2)若根据小概率值的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，求实数的最小值．
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
21．土壤食物网对有机质的分解有两条途径，即真菌途径和细菌途径．在不同的土壤生态系统中，由于提供能源的有机物其分解的难易程度不同，这两条途径所起的作用也不同．以细菌分解途径为主导的土壤，有机质降解快，氮矿化率高，有利于养分供应，以真菌途径为主的土壤，氮和能量转化比较缓慢，有利于有机质存财和氮的固持．某生物实验小组从一种土壤数据中随机抽查并统计了8组数据，如下表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
细菌百万个 70 80 90 100 110 120 130 140
真菌百万个 8.0 10.0 12.5 15.0 17.5 21.0 27.0 39.0
其散点图如下，散点大致分布在指数型函数的图象附近．
(1)求关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；
(2)在做土壤相关的生态环境研究时，细菌与真菌的比值能够反映土壤的碳氮循环．以样本的频率估计总体分布的概率，若该实验小组随机抽查8组数据，再从中任选4组，记真菌（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比位于区间内的组数为，求的分布列与数学期望.
附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．A
【分析】根据已知条件设男生人数为，结合独立性检验公式得出不等式，根据的取值，即可求解.
【详解】设男生人数为，因为被调查的男、女生人数相同，
所以女生人数也为，根据题意列出列联表：
男生 女生 合计
喜欢冰雪运动
不喜欢冰雪运动
合计
则，
因为依据的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，
所以，即，解得，又，
所以B、C、D正确，A错误.
故选：A
2．D
【分析】借助线性相关系数的定义判断即可得.
【详解】由与相对应的数据可得，随的增大而减小，呈负相关，故，
由与相对应的数据可得，随的增大而增大，呈正相关，故，
故.
故选：D.
3．B
【分析】根据题意，由条件可得，由线性回归方程必过样本中心，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，则，代入可得，
所以.
故选：B
4．A
【分析】借助卡方计算即可得.
【详解】设总人数为，则男生选学生物学的人数为，女生选生物学的人数为，
则，
即，又为的倍数，故男生最少有人.
故选：A.
5．C
【分析】根据条件可得列联表，计算的值，结合临界值表可得结论．
【详解】零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．
根据列联表中的数据，，根据小概率值的独立性检验，
没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，
即认为两种疗法效果没有差异．
故选:C．
6．D
【分析】根据方差的性质判断A，根据百分位数计算规则判断B，根据相互独立事件及条件概率概率公式判断C，根据相关系数的概念判断D.
【详解】对于A：因为且，所以，故A正确；
对于B：因为，所以第百分位数为从小到大排列的第个数，即为，故B正确；
对于C：若事件、相互独立，则，
所以，故C正确；
对于D：若、两组成对数据的相关系数分别为、，
因为，所以组数据的相关性更强，故D错误.
故选：D
7．D
【分析】根据题意，由回归直线方程过样本中心点，即可得到，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可知，，，
将代入，即，解得，
所以，当时，，
所以该数据的残差为.
故选：D.
8．B
【分析】求出回归中心，代入回归方程求解即可.
【详解】因为，，所以，解得.
故选：B.
9．ABC
【分析】对A，计算出样本中心，代入方程计算出，对B，根据相关系数的概念可判断，对C，根据百分位数的定义求解，对D，根据回归分析概念判断.
【详解】根据题意可得，，，
所以样本中心点为，
对于A，将样本中心点代入回归方程，可得，故A正确；
对于B，由表中数据可得随着增大而增大，与正相关，所以相关系数，故B正确；
对于C，维修费用从小到大依次为，第60百分位数为，故C正确；
对于D，根据回归分析的概念，机床投入生产的时间为 10年时，所需要支出的维修费用大概是12.38万元，故D错误.
故选：ABC.
10．ACD
【分析】A选项，根据线性相关的定义进行判断；B选项，回归直线一定经过样本中心点；C选项，由相关系数的性质进行判断；D选项，根据的定义判断D正确.
【详解】A选，公式中的和为二次函数关系，故不具有线性相关关系，A正确；
B选项，回归直线一定经过样本中心点，即，B错误；
C选项，若相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强，C正确；
D选项，对于变量与的统计量来说，越大，判断“与有关系”的把握越大，D正确.
故选：ACD
11．ABC
【分析】A选项，计算出样本中心点，代入回归方程，求出；B选项，根据百分位数的定义进行求解；C选项，y与x正相关，C正确；D选项，计算出第六年的借阅量约为6.12万册，D错误.
【详解】A选项，，，
将代入得，，解得，A正确；
B选项，，故从小到大选择第4个数作为75%分位数，
即，故借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的75%分位数为5.7，B正确；
C选项，因为，所以y与x正相关，故y与x的线性相关系数，C正确；
D选项，中，令得，
故第六年的借阅量约为6.12万册，可能比6.12万册多，也可能比6.12万册少，D错误.
故选：ABC
12．CD
【详解】
由题意得＝＝3，＝＝10.11.因为回归直线方程＝－0.11x＋必过样本点中心(，)，即10.11＝－0.11×3＋，解得＝10.44，x与y成负相关，即相关系数r<0，故选项A，B错误，C正确；回归直线方程为＝－0.11x＋10.44，则当x＝6时，＝－0.11×6＋10.44＝9.78(s)，即下一次世界纪录在9.78 s左右．
13．
【分析】画出散点图，数形结合得到答案.
【详解】画出散点图如下：
从而可以看出中，.
故答案为：.
14．②③
【详解】
表格数据可得K2的观测值K2≈6.1>5.024，所以由参考数据可知能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效，故②正确；又6.1<6.635，所以由参考数据知不能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效，故③正确；由参考数据易知①④错误．
15．0.99
【分析】
根据题意，由相关系数的计算公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意
.
故答案为：.
16．①②④
【分析】
根据平均数的求解可判断④③，利用最小二乘法求解系数即可判断①②.
【详解】
由表中数据可得，，，
则样本中心为，故直线必过点，故④正确，③错误，
，，
则，①②正确．
故答案为：①②④．
17．(1)，相关程度较高
(2)；投入至少亿元
【分析】（1）直接通过计算相关系数来进行判断；
（2）先计算回归直线方程，然后再做出预测.
【详解】（1），
，
，
，
所以，所以相关程度较高；
（2）由（1）得，，
所以，，
所以，令，
得，所以研发投入至少亿元.
18．(1)
(2)有的把握认为“学生满意度与性别有关”
(3)
【分析】（1）利用频率分布直方图平均数的求法求解即可；
（2）利用（1）的结论及给定信息得到列联表，再计算的观测值，与临界值表比对作答即可得解；
（3）求出8位业主中男女人数，利用列举法及古典概率公式即可得解.
【详解】（1）根据频率分布直方图知，，
所以此次满意度调查中物业所得的平均分值为分.
（2）由（1）及已知得列联表如下：
不满意 满意 总计
男 18 32 50
女 30 20 50
总计 48 52 100
则的观测值为：，
所以有的把握认为“业主满意度与性别有关”.
（3）由（2）知满意度分值低于70分的业主有48位，其中男士18位，女士30位，
用分层抽样方式抽取8位业主，其中男士3位，女士5位，
记男士为a，b，c，记女士为1，2，3，4，5，
从中随机抽取两位为监督员事件为：，
共计28个基本事件，
其中抽到男女各一人有，共15个基本事件，
所以恰好抽到男女各一人为监督员的概率为.
19．(1)列联表见解析，能认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关
(2)109或110
【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，计算并填写二列联，计算的观测值作答.
（2）利用独立事件、对立事件的概率求出，再用二项分布的概率公式列出不等式，求解作答.
【详解】（1）由频率分布直方图知，在内有（只），
在内有（只），在内有（只），
在内有（只），在内有（只），
依题意，有抗体且指标值小于60的有50只，而指标值小于60的小白鼠共有（只），
于是指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，
所以列联表如下：
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体 50 110 160
没有抗体 20 20 40
合计 70 130 200
零假设：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联，
由列联表中数据，得，
由的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，
事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，记事件发生的概率分别为，
则，于是，
因此一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率，
依题意，随机变量，则，
因为当时，取最大值，即最大，
于是,即
亦即，整理得，解得，
而是整数，因此或，
所以接受接种试验的人数为109或110.
20．(1)分布列见解析，；
(2)57．
【分析】（1）由题意可知，由二项分布即可求出分布列和期望；
（2）由独立性检验可得到含的不等式，构造函数，利用导数即可求.
【详解】（1）由题意可知，高二学生热爱数学的概率为，热爱数学的学生人数，
则，
，
，
，
故的分布列为：
0 1 2 3
的期望为．
（2）因为根据小概率值的独立性检验，认为热爱数学与学生的年级有关，
所以，
令，则，
所以，
因为的对称轴为，
且当时，，
所以在上恒大于0，
所以在上单调递增，
而，
所以实数的最小值为57．
21．(1)
(2)分布列见解析，2
【分析】（1）令，将指数型回归方程转化为线性回归方程，利用最小二乘法的估计系数公式，即可求得答案；
（2）确定真菌与细菌的数值之比位于区间内的组数，即可确定X的取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，即可求得数学期望.
【详解】（1）由于，故，
令，则，
，
则，，
故，则关于的经验回归方程为；
（2）由已知图表可知从第1组到第8组的真菌（单位：百万个）与细菌（单位：百万个）的数值之比依次为：
，，
故样本中比值位于内的组数有4组，则X的可能取值为：，
则,，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
则.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页