滨海华附 2023～2024 学年第二学期第一次段考
高二数学试题
本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．已知复数 z 2 3i 4i 7 ，其中 i为虚数单位，则 z的虚部为（ ）
A． 26 B．26 C． 13 D．13
2．已知向量 a x, 2 ，b 3, 1 .若 a b，则 x （ ）
3
A 2． B． C． 3 D． 63 2
3．经过点 2,1 ，且倾斜角为 45 的直线方程是（ ）
A． y x 3 B． y x 1 C． y x 3 D． y x 1
4．A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（ ）
A．3种 B．4种 C．6种 D．12种
5．在等比数列 an 中，若 a2 1,a4 2，则 a8 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．从 4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取 5名学生组成课外小组，则不同的抽
取方法种数为（ ）
A．1440 B．120 C．60 D．24
7．在 (2 x)5 的展开式中， x2项的系数为（ ）
A．1 B．10 C．40 D．80
8．第 33届夏季奥运会预计 2024年 7月 26日至 8月 11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增 2个
竞赛项目和 3个表演项目．现有三个场地 A，B，C分别承担这 5个新增项目的比赛，且每个场地至
少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ）
A．150种 B．300种 C．720种 D．1008种
高二数学试卷第 1页，共 4页
{#{QQABSQCAggAAQJBAABgCAQWQCgOQkAECCAoOAAAEMAABiRNABAA=}#}
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目
要求的。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．函数 f x 的定义域为 R，它的导函数 y f x 的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A.在 1,2 上函数 f x 为增函数．
B.在 3,5 上函数 f x 为增函数．
C.在 1,3 上函数 f x 有极大值．
D. x 3是函数 f x 在区间 1,5 上的极小值点．
10．在 2x 1 5的展开式中，则（ ）
A．二项式系数最大的项为第 3项和第 4项．
B．所有项的系数和为 1．
C．常数项为-1．
D．所有项的二项式系数和为 64．
11．我国古代数学著作《九章算术》中记载：斜解立方，得两堑堵．其意思是：一个长方体沿对角
面一分为二，得到两个一模一样的堑堵．如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB 3， BC 4，
AA1 5，将长方体 ABCD A1B1C1D1沿平面 ABC1D1一分为二，得到堑堵 BCC1 ADD1，下列结论正
确的序号为（ ）
A.堑堵 BCC1 ADD1的体积为 30．
B.C B 4 411 与平面 ABCD所成角的正弦值为 ．41
C.堑堵 BCC1 ADD1外接球的表面积为 50π．
D.堑堵 BCC1 ADD1没有内切球．
高二数学试卷第 2页，共 4页
{#{QQABSQCAggAAQJBAABgCAQWQCgOQkAECCAoOAAAEMAABiRNABAA=}#}
三、填空题：本题共 3 题，每小题 5 分，共 15 分
12．从甲地去乙地有 5班高铁，从乙地去丙地有 4班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则
从甲地去丙地可选择的出行方式有 种．
13．以点 P(2, 3)为圆心，并且与 y轴相切的圆的方程是 .
2 2
14 x y．已知双曲线C : F2 2 1 a 0,b 0 的左、右焦点分别为 1，F2，过点 F1的直线 l与双曲线Ca b
的两支分别交于 A，B两点．若 AB 3BF1 ，且 AF2 BF2 ，则双曲线C的离心率是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
等差数列 an 的前 n项和为 Sn，其中： a1 1，S3 6；
(1) 求数列 an 的通项公式.
1
(2)bn ，求数列 bn 的前 n项和Ta a n .n n 1
16．（15分）
已知函数 f x x3 6x2 9x 2 .
(1)求函数 f x 在 x 2处的切线方程.
(2)求函数 f x 的单调区间和极值.
高二数学试卷第 3页，共 4页
{#{QQABSQCAggAAQJBAABgCAQWQCgOQkAECCAoOAAAEMAABiRNABAA=}#}
17．（15分）
在正方体 ABCD A1B1C1D1中（如图所示），棱长为 2，连接 A1D、A1B、BD
(1)证明： C∥平面 BD.
(2)求平面 ACD1与平面 A1BD夹角的余弦值.
(3) 3底面正方形 ABCD的内切圆上是否存在点 P使得 PB与平面 A1BD所成角的正弦值为 ，若存3
在求 PD1长度，若不存在说明理由．
18．(17分）
x
设函数 f x e ax a R .
(1) 当 a =1时，求函数 f x 的单调区间.
(2) 求函数 f x 的极值.
(3)若 x 0时， f x 0，求 a的取值范围.
19．（17分）
2
已知椭圆G : x y2 1的左、右顶点分别为 A1， A2，点 P为直线 l : x 2上的动点.9
(1)求椭圆G的离心率.
(2)若 PA1 PA2，求点 P的坐标.
(3)若直线 PA1和直线PA2 分别交椭圆G于 B，C两点，请问：直线 BC是否过定点？若是，求出定
点坐标；若不是，请说明理由.
高二数学试卷第 4页，共 4页
{#{QQABSQCAggAAQJBAABgCAQWQCgOQkAECCAoOAAAEMAABiRNABAA=}#}滨海华附 2023～2024 学年第二学期第一次段考试
高二数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A D C D B D A AC ABC ACD
12．20 13． x 2 2 y 3 2 4 14 41．
3
解析
C3C1C1
8．A 3【详解】若三个场地分别承担3,1,1个项目，则有 5 2 12 A3 60A 种安排，2
C2C2C1 3
若三个场地分别承担 2,2,1个项目，则有 5 3 1A2
A3 90种安排，
2
综上，不同的安排方法有60 90 150种.故选：A
11．ACD
【详解】对于 D，假设堑堵 BCC1 ADD1有内切球，设该内切球的球心为 I ，半径为 r，
则 I 在堑堵 BCC1 ADD1内部，且到堑堵 BCC1 ADD1的每个面的距离都是 r .
所以堑堵 BCC1 ADD1的体积等于四棱锥 I ABCD、四棱锥 I ABC1D1、三棱锥 I BCC1
和三棱锥 I ADD1、四棱锥 I CDD1C1的体积之和，
记矩形 ABCD、矩形 ABC1D1、三角形BCC1和三角形 ADD1、矩形CDD1C1的面积分别为
S1,S2 ,S3 ,S4 ,S5 ，
则 S1 3 4 12， S2 3 41 3 41 S
1
， 3 4 5 10， S
1
4 4 5 10， S5 3 5 15 .2 2
同时，堑堵 BCC1 ADD1是对长方体 ABCD A1B1C1D1一分为二得到的，
故堑堵 BCC1 ADD1的体积是长方体 ABCD A1B1C1D1的一半，
从而堑堵 BCC1 ADD
1
1的体积V0 3 4 5 30，这就说明：2
1 r S S S S 1 1 1 1 11 2 3 4 S5 rS1 rS2 rS3 rS rS
r 3 3 3 3 3
4 3 5
1 S1 S2 S S S
1
3 4 5 S S S S S 3 3 1 2 3 4 5
答案第 1页，共 7页
{#{QQABSQCAggAAQJBAABgCAQWQCgOQkAECCAoOAAAEMAABiRNABAA=}#}
V0 3V 90 1
0
S S S S S S1 S2 S3 S4 S5 47 3 41 .
3 1 2 3 4 5
但是 I 到平面BCC1和平面 ADD1的距离相等，且平面BCC1和平面 ADD1是长方体
ABCD A1B1C1D1的一组对面，
故它们平行，且距离为 AB 3 .
所以 I 到平面BCC1和平面 ADD1的距离都等于平面BCC1和平面 ADD1距离的一半，
3
从而 r 2 .
这就导致了矛盾，所以堑堵 BCC1 ADD1不存在内切球，D正确.
故答案为：ACD
14 41．
3
【详解】设 BF1 m，则 AF1 4m .
由双曲线的定义可得 BF2 m 2a, AF2 4m 2a .
AF BF 4a因为 2 2 ，所以m 2a 4m 2a ，所以m 3 ，
BF 4a 16a 10a则 1 , AF1 AF BF3 3 ， 2 2
3 .
BF 2 2 2在△ 1F2中，由余弦定理可得 BF2 BF1 F1F2 2 BF1 F1F2 cos BF1F2，
100 a2 16 2即 a 4c2
16
ac cos BF 1F
16 ac cos 28 BF F 4c 2 a 2
9 9 3 2
，即
3 1 2
，
3
在△AF1F AF
2 2 2
2中，由余弦定理可得 2 AF1 F1F2 2 AF1 F1F2 cos BF1F2，
100 a2 256则 a2 4c2
64
accos BF F 16 ，即 ac cos BF
13 2 2
9 9 3 1 2 3 1
F2 a c ，3
28 13 41 2 22 2 2 2 2
从而 4c a a c ，即3c a2
c 41
e c 41 41，即 ，故 .故答案为： .3 3 3 2 a 9 a2 3 3
答案第 2页，共 7页
{#{QQABSQCAggAAQJBAABgCAQWQCgOQkAECCAoOAAAEMAABiRNABAA=}#}
15 n．(1)an n；(2) n 1 .
【详解】
（1）设等差数列 an 的公差为d ，由题可得：3a1 3d 6，又 a1 1，解得d 1，-
------------------------------------------------------------------------------------------------（3分）
故an a1 n 1 d n . ---------------------------------------------------------------------（6分）
1 1 1 1
（2）bn a a n n 1 n n 1，-------------------------------------------------（9分）n n 1
故Tn b1 b2 b3 b
n 1
1
1 1
1 1
1 1 1 n
2
1
2 3 3 4 n n 1 n 1 n 1
.
故数列 bn 的前n
n
项和Tn n 1 .---------------------------------------------------------（13分）
16．(1) y 3x 6
(2)单调增区间为 ,1 ， 3, ，单调减区间为 1,3 ；极大值为 2，极小值为 2 .
3 2
【详解】（1）函数 f x x 6x 9x 2的定义域为 R.
导函数 f x 3x2 12x 9 .-----------------------------------------------------------------（2分）
所以 f 2 12 24 9 3，---------------------------------------------------------------（3分）
f 2 23 6 22 9 2 2 0，---------------------------------------------------------------（- 4分）
所以函数 f (x)在点 x 2处的切线方程为 y 3 x 2 ，即 y 3x 6 .----------------（6分）
（2）令 f x 0，解得： x 1或 x 3 .列表得：
x ,1 1 1,3 3 3,
f x + 2 2 +
f (x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
--------------------------------------------------------------------------------------------------（11分）
所以函数 f (x)的单调增区间为 ,1 ， 3, ；单调减区间为 1,3 ；-----------（13分）
f (x)的极大值为 f (1) 2，极小值为 f (3) 33 6 32 2 .-------------------（15分） 9 3 2
答案第 3页，共 7页
{#{QQABSQCAggAAQJBAABgCAQWQCgOQkAECCAoOAAAEMAABiRNABAA=}#}
17
【详解】（1）略-----------------------------------------------------------------------------（4分）
（2）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴，建立空间直角坐
标系，
则D 0,0,0 , A 2,0,0 ,B 2,2,0 ,C 0,2,0 ,D1 0,0,2 , A1 2,0,2 ．
平面 A1BD的法向量为 n1 x, y, z ,DA1 2,0,2 ,DB 2,2,0 ，
n1 DA1 0 2x 2z 0
, ，令 x 1 2x 2y 0 ，则 =(1,-1,-1)----------------------------------------（6分） n1 DB 0
平面 ACD1的法向量为 n2 x, y , z ,AC 2,2,0 ,AD1 2,0,2 ，
n2 AC 0 2x 2y 0
, ，令 x 1 2x 2z 0 ，则
n2 1,1,1 ，-------------------------------------（8分）
n2 AD1 0
平面 ACD1与平面 A1BD夹角为 ，
n
1 n
2 1, 1, 1 1,1,1 cos cosn1, n
1
2 ；----------------------------------------（- 11分）n1 n2 1 1 1 1 1 1 3
（3）
设P m,n,0 2 2，且 m 1 n 1 1,BP m 2,n 2,0 ，
PB与平面 A1BD所成角为 ，
n1 BP 1, 1, 1 m 2, n 2,0 sin cosn1, BP
3
，
n1 BP 1 1 1 m 2 2 n 2 2 3
m n
即 1 ，-------------------------------------------------------------（13分）m 2 2 n 2 2
答案第 4页，共 7页
{#{QQABSQCAggAAQJBAABgCAQWQCgOQkAECCAoOAAAEMAABiRNABAA=}#}
m 2 m 1
解得 或 P 2,1,0 P 1,2,0 n 1 n 2，故 或 ，-------------------------------------（14分）
所以 PD1 4 1 4 3 .-----------------------------------------------------------------（15分）
18．
【详解】（1）略------------------------------------------------------------------------（5分）
x
（2） f x e a，
x
当a 0时， f x e a 0, f x 在R上单调递增，无极值，-----------------（7分）
当a 0时，由 f x 0，得 x lna，由 0得 x lna
则 f x 在 , lna 上单调递减，在 lna, 上单调递增，----------------------（9分）
则当 x lna时， f x 取得极小值 a alna，无极大值，---------------------------（11分）
所以当a 0时，函数 f x 无极值，
当a 0时，函数 f x 有极小值 a alna，无极大值；-------------------------------（12分）
（3）由（2）知当 a 0时， f x 在 R 上单调递增， f x f 0 1符合题意，
--------------------------------------------------------------------------------------------------（13分）
当0 a 1时， f x 在 0, 上单调递增， f x f 0 1符合题意，------------（14分）
当 a 1时， f x 在 0, lna 上单调递减，在 lna, 上单调递增，
f x 0等价于 f (x)min f lna a alna 0，得 a e .---------------------------------（16分）
综上 a的取值范围是 , e ----------------------------------------------------------------（- 17分）
9
19 2 2 ．(1) ；(2) 2, 5 或 2, 5 ；(3) , 02 3
c 2 2
【详解】（1）椭圆G的离心率为e -------------------------------------------（5分）
a 3
答案第 5页，共 7页
{#{QQABSQCAggAAQJBAABgCAQWQCgOQkAECCAoOAAAEMAABiRNABAA=}#}
（2）
设P 2, p ，直线 x 2交 x 2轴于点Q，由PA1 PA2，∴ | PQ | QA1 QA2 5
∴ P 2, 5 或 P 2, 5 -------------------------------------------------------------------（10分）
（3）
P 2, p ， A1 3,0 ， A2 3,0 ，
l : y p∴ A P x 3 5 代入 x
2 9y2 9得：
1
9 p2 25 x2 54 p2x 81p2 225 0，
Δ 254 p2 4 9 p2 25 81p2 225 0
设B x1, y1 ，C x2 , y2
9 9 p2 25 3 9 p2 25 y p x 3 30p∴ 3x1 ，∴ ， 9 p2 x1 1 2 25 9 p2 25 5 9 p 25
3 9 p2 25
∴ B ,
30 p
9 p2 25 9 p2 25 .---------------------------------------------------------（12分）
lA p : y p x 3 代入 x2 9y2 92 得：
9 p2 1 x2 54 p2x 81p2 9 0，
2
Δ 54 p2 4 9 p2 1 81p2 9 0
3x 81p
2 9 3 9 p2 1 y p x 3 6p∴ 2 ，∴ ， 9p2 x 1 2 9 p2 2 2 9p2 1 1
答案第 6页，共 7页
{#{QQABSQCAggAAQJBAABgCAQWQCgOQkAECCAoOAAAEMAABiRNABAA=}#}
3 9 p2 1
∴C ,
6 p
9 p2 1 9 p2 1 ----------------------------------------------------------------（14分）
4 p 3 9 p2 1
∴ kBC l : y
6 p 4 p
x
9 p2 5，∴ BC 9 p2 1 9 p2 5 2 9 p 1
4p 12p 9p2 1 y 6p∴ 2 x 9p 5 9p2 5 9p2 1 9p2 1
2
y 4 p 6 p
2 9 p 1
x 2 1 9 p 5 9 p2 1 9 p2 5
4 p 9
即直线BC方程为： y x 9 p2 5 2 ------------------------------------------------（16分）
9
恒过定点为 , 02 -------------------------------------------------------------------------（17分）
答案第 7页，共 7页
{#{QQABSQCAggAAQJBAABgCAQWQCgOQkAECCAoOAAAEMAABiRNABAA=}#}
