安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二下学期学业水平考试数学模拟卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二下学期学业水平考试数学模拟卷（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-14 08:55:23 | ||
图片预览
文档简介
普通高中学业水平合格性考试
数学
一 选择题：本大题共18小题，每小题3分，满分54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列向量关系式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A.1 B. C. D.
5.“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知，则用表示为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，则当时，有（ ）
A.最大值 B.最小值
C.最大值 D.最小值
8.已知一组样本数据的平均数为3，中位数为4，由这组数据得到新样本数据，，其中，则的平均数和中位数分别为（ ）
A.3，4 B.3，5 C.4，4 D.4，5
9.已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A. B.的零点为3
C.在上为增函数 D.的定义域为
10.已知为虚数单位，复数满足，则复数对应的复平面上的点的集合所表示的图形是（ ）
A.正方形面 B.一条直线 C.圆面 D.圆环面
11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.的最小正周期为
B.的最大值为2
C.的图象关于直线对称
D.的图象关于坐标原点对称
12.某种汽车在水泥路面上的刹车距离（指汽车刹车后，由于惯性往前滑行的距离）（米）和汽车的刹车前速度（千米/小时）有如下的关系：.在一次交通事故中，测得某辆这种汽车的刹车距离为80（米），则这辆汽车在出事故时的速度为（ ）
A.90千米/小时 B.80千米/小时
C.72千米/小时 D.70千米/小时
13.若，则（ ）
A. B. C. D.
14.甲 乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.80，乙中靶的概率为0.85，则恰好有一人中靶的概率为（ ）
A.0.85 B.0.80 C.0.70 D.0.29
15.已知函数与互为反函数.若的反函数为，则（ ）
A. B. C. D.2
16.已知为单位向量，它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
17.从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A.与是互斥事件 B.与是互斥但不对立事件
C.与是互斥但不对立事件 D.与是对立事件
18.在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（ ）
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
二 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
19.设集合，则___________.
20.设函数是定义域为的奇函数，且，则___________.
21.已知是两个不共线的向量，若，且，则___________.
22.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设其面积为S，若，则角A等于___________.
三 解答题：本大题共3小题，每题10分，满分30分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
23.从甲 乙两班某次学业水平模拟考试成绩中各随机抽取8位同学的数学成绩.
甲班：78，69，86，58，85，97，85，98
乙班：66，78，56，86，79，95，89，99
规定考试成绩大于或等于60分为合格.
（1）求甲班这8位同学数学成绩的极差，并估计甲班本次数学考试的合格率；
（2）估计乙班本次考试数学成绩的平均分，并计算乙班这8名同学数学成绩的方差.
24.如图，四棱锥的底面是边长为3的正方形，为侧棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若底面，且，求四棱锥的表面积.
25.如图，为正方形，，点为直角坐标平面内的一点，为线段的中点，设.
（1）求点的坐标；
（2）求的表达式；
（3）当取最大值时，求的值.
普通高中学业水平合格性考试数学
一 选择题：本大题共18小题，每小题3分，满分54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.【答案】D
【解析】
【分析】由元素与集合的关系即可求解.
【详解】由题意.
故选：D.
2.【答案】D
【解析】
【分析】由向量加减法的运算规则，验证各选项的结果.
【详解】，A选项错误；
，B选项错误；
，C选项错误；
由向量加法的运算法则，有，D选项正确.
故选：D.
3.【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数定义即可得解.
【详解】由题意.
故选：A.
4.【答案】B
【解析】
【分析】由复数四则运算以及虚部的概念即可求解.
【详解】由题意，所以复数的虚部为.
故选：B.
5.【答案】B
【解析】
【分析】首先根据得到或，从而得到答案.
【详解】由，解得或.
所以“”是“”的必要而不充分条件
故选：B
【点睛】本题主要考查必要不充分条件，同时考查二次不等式的解法，属于简单题.
6.【答案】C
【解析】
【分析】运用对数运算性质计算.
【详解】.
故选：C.
7.【答案】B
【解析】
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】由题意当时，，等号成立当且仅当.
故选：B.
8.【答案】D
【解析】
【分析】由平均数的定义及的大小排列顺序与变化后的的大小排列顺序一致，即可求出结果.
【详解】由题意知，，
则，
又因为，所以的大小排列顺序与变化后的的大小排列顺序一致，
由于的中位数为4，则的中位数为5.
故选：D.
9.【答案】C
【解析】
【分析】由函数性质依次判断各选项可得出结果.
【详解】，可知函数的零点为3，可知A，B正确；
中，由，解得：，
故函数的定义域为，且函数在为增函数，故C错误，D正确.
故选：C
10.【答案】D
【解析】
【分析】设，根据模的定义求出轨迹方程即可得解.
【详解】设，
则由可得，即，
所以复数对应的点在复平面内表示的图形是圆环面.
故选：D.
11.【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】的最小正周期，故A错误；
的最大值为，故B错误；
因为，所以的图象关于直线对称，故C正确；
因为，
所以的图象不关于坐标原点对称，故D错误.
故选：C.
12.【答案】A
【解析】
【分析】题意可得，，求解一元二次方程即可.
【详解】由题意可得，，
化简为，解得或，
又因为，所以.
故选：A.
13.【答案】C
【解析】
【分析】利用两角差的余弦公式展开，然后平方得到.
【详解】由得，
平方得，
即，得.
故选：C
14.【答案】D
【解析】
【分析】由对立事件概率 互斥加法以及独立乘法即可求解.
【详解】由题意恰好有一人中靶的概率为.
故选：D.
15.【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，得到，代入，即可求解.
【详解】由函数与互为反函数，
若的反函数为，则.
故选：C.
16.【答案】B
【解析】
【分析】利用投影向量的定义计算可得结果.
【详解】根据题意可得向量在向量上的投影向量为；
故选：B
17.【答案】A
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断.
【详解】根据题意
，
则，所以与是互斥事件，A正确；
，所以与是互斥且对立事件，B错误；
，所以与是互斥且对立事件，C错误；
所以与不是对立事件，D错误.
故选：A.
18.【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合勾股定理，求得，即可求得答案.
【详解】如图所示，分别连接，
因为平面，可得
又因为，利用勾股定理，可得，
所以点一定是的外心.
故选：B.
二 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
19.【答案】##
【解析】
【分析】根据补集的定义即可得解.
【详解】，
则.
故答案为：.
20.【答案】0
【解析】
【分析】由函数为奇函数可得，再根据函数的周期性即可得解.
【详解】因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
因为，
所以函数是以为周期的周期函数，
所以.
故答案为：.
21.【答案】
【解析】
【分析】由平面向量基本定理列出方程组即可求解.
【详解】由题意，且是两个不共线的向量，
所以，所以.
故答案为：.
22.【答案】
【解析】
【分析】由已知利用三角形面积公式，同角三角函数基本关系式及余弦定理化简，结合A的范围利用特殊角的三角函数值即可得解A的值.
【详解】由题意，因为，
所以，即，
又由，所以，
故答案为
【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式及余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记正 余弦定理和三角形的面积公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
三 解答题：本大题共3小题，每题10分，满分30分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
23.【答案】（1）极差为40；；
（2）平均分为81分；方差184.
【解析】
【分析】（1）根据极差定义计算可得结果，由成绩可知这8名同学中有7人合格，可得合格率为；
（2）根据平均数以及方差的定义计算可得平均分为81分，方差为184.
【小问1详解】
甲班这8位同学数学成绩的极差为；
因为甲班这8名同学中合格的有7人，
所以可以估计甲班本次数学考试的合格率为；
【小问2详解】
因为乙班这8名同学的数学平均分为，
所以可以估计乙班本次考试数学成绩的平均分为81分；
乙班这8名同学本次考试数学成绩的方差为
.
24.【答案】（1）证明见解析
（2）36.
【解析】
【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理容易证出；
（2）容易推导出四个侧面都是直角三角形，进而表面积可求.
【小问1详解】
如下图，连接，设与相交与点，连接.
因为底面是边长为3的正方形，所以为中点，
又因为为侧棱的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为底面，平面，所以，又，
平面，所以平面，
而平面，所以，同理可证，
所以均为直角三角形，
则四棱锥的表面积为
，
所以四棱锥的表面积为36.
25.【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由和向量的坐标运算可解；
（2）由数量积的坐标运算求解；
（3）化简得，由正弦函数最值求解.
【小问1详解】
设，因为为正方形，
所以，又，
所以，所以点的坐标为；
【小问2详解】
因为为线段的中点，所以，
因为，
所以，
所以；
【小问3详解】
因为，
其中，
所以当，即时，有最大值，
此时，
故当取最大值时，.
数学
一 选择题：本大题共18小题，每小题3分，满分54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列向量关系式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A.1 B. C. D.
5.“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知，则用表示为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，则当时，有（ ）
A.最大值 B.最小值
C.最大值 D.最小值
8.已知一组样本数据的平均数为3，中位数为4，由这组数据得到新样本数据，，其中，则的平均数和中位数分别为（ ）
A.3，4 B.3，5 C.4，4 D.4，5
9.已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A. B.的零点为3
C.在上为增函数 D.的定义域为
10.已知为虚数单位，复数满足，则复数对应的复平面上的点的集合所表示的图形是（ ）
A.正方形面 B.一条直线 C.圆面 D.圆环面
11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.的最小正周期为
B.的最大值为2
C.的图象关于直线对称
D.的图象关于坐标原点对称
12.某种汽车在水泥路面上的刹车距离（指汽车刹车后，由于惯性往前滑行的距离）（米）和汽车的刹车前速度（千米/小时）有如下的关系：.在一次交通事故中，测得某辆这种汽车的刹车距离为80（米），则这辆汽车在出事故时的速度为（ ）
A.90千米/小时 B.80千米/小时
C.72千米/小时 D.70千米/小时
13.若，则（ ）
A. B. C. D.
14.甲 乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.80，乙中靶的概率为0.85，则恰好有一人中靶的概率为（ ）
A.0.85 B.0.80 C.0.70 D.0.29
15.已知函数与互为反函数.若的反函数为，则（ ）
A. B. C. D.2
16.已知为单位向量，它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
17.从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A.与是互斥事件 B.与是互斥但不对立事件
C.与是互斥但不对立事件 D.与是对立事件
18.在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（ ）
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
二 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
19.设集合，则___________.
20.设函数是定义域为的奇函数，且，则___________.
21.已知是两个不共线的向量，若，且，则___________.
22.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设其面积为S，若，则角A等于___________.
三 解答题：本大题共3小题，每题10分，满分30分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
23.从甲 乙两班某次学业水平模拟考试成绩中各随机抽取8位同学的数学成绩.
甲班：78，69，86，58，85，97，85，98
乙班：66，78，56，86，79，95，89，99
规定考试成绩大于或等于60分为合格.
（1）求甲班这8位同学数学成绩的极差，并估计甲班本次数学考试的合格率；
（2）估计乙班本次考试数学成绩的平均分，并计算乙班这8名同学数学成绩的方差.
24.如图，四棱锥的底面是边长为3的正方形，为侧棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若底面，且，求四棱锥的表面积.
25.如图，为正方形，，点为直角坐标平面内的一点，为线段的中点，设.
（1）求点的坐标；
（2）求的表达式；
（3）当取最大值时，求的值.
普通高中学业水平合格性考试数学
一 选择题：本大题共18小题，每小题3分，满分54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.【答案】D
【解析】
【分析】由元素与集合的关系即可求解.
【详解】由题意.
故选：D.
2.【答案】D
【解析】
【分析】由向量加减法的运算规则，验证各选项的结果.
【详解】，A选项错误；
，B选项错误；
，C选项错误；
由向量加法的运算法则，有，D选项正确.
故选：D.
3.【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数定义即可得解.
【详解】由题意.
故选：A.
4.【答案】B
【解析】
【分析】由复数四则运算以及虚部的概念即可求解.
【详解】由题意，所以复数的虚部为.
故选：B.
5.【答案】B
【解析】
【分析】首先根据得到或，从而得到答案.
【详解】由，解得或.
所以“”是“”的必要而不充分条件
故选：B
【点睛】本题主要考查必要不充分条件，同时考查二次不等式的解法，属于简单题.
6.【答案】C
【解析】
【分析】运用对数运算性质计算.
【详解】.
故选：C.
7.【答案】B
【解析】
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】由题意当时，，等号成立当且仅当.
故选：B.
8.【答案】D
【解析】
【分析】由平均数的定义及的大小排列顺序与变化后的的大小排列顺序一致，即可求出结果.
【详解】由题意知，，
则，
又因为，所以的大小排列顺序与变化后的的大小排列顺序一致，
由于的中位数为4，则的中位数为5.
故选：D.
9.【答案】C
【解析】
【分析】由函数性质依次判断各选项可得出结果.
【详解】，可知函数的零点为3，可知A，B正确；
中，由，解得：，
故函数的定义域为，且函数在为增函数，故C错误，D正确.
故选：C
10.【答案】D
【解析】
【分析】设，根据模的定义求出轨迹方程即可得解.
【详解】设，
则由可得，即，
所以复数对应的点在复平面内表示的图形是圆环面.
故选：D.
11.【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】的最小正周期，故A错误；
的最大值为，故B错误；
因为，所以的图象关于直线对称，故C正确；
因为，
所以的图象不关于坐标原点对称，故D错误.
故选：C.
12.【答案】A
【解析】
【分析】题意可得，，求解一元二次方程即可.
【详解】由题意可得，，
化简为，解得或，
又因为，所以.
故选：A.
13.【答案】C
【解析】
【分析】利用两角差的余弦公式展开，然后平方得到.
【详解】由得，
平方得，
即，得.
故选：C
14.【答案】D
【解析】
【分析】由对立事件概率 互斥加法以及独立乘法即可求解.
【详解】由题意恰好有一人中靶的概率为.
故选：D.
15.【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，得到，代入，即可求解.
【详解】由函数与互为反函数，
若的反函数为，则.
故选：C.
16.【答案】B
【解析】
【分析】利用投影向量的定义计算可得结果.
【详解】根据题意可得向量在向量上的投影向量为；
故选：B
17.【答案】A
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断.
【详解】根据题意
，
则，所以与是互斥事件，A正确；
，所以与是互斥且对立事件，B错误；
，所以与是互斥且对立事件，C错误；
所以与不是对立事件，D错误.
故选：A.
18.【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合勾股定理，求得，即可求得答案.
【详解】如图所示，分别连接，
因为平面，可得
又因为，利用勾股定理，可得，
所以点一定是的外心.
故选：B.
二 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
19.【答案】##
【解析】
【分析】根据补集的定义即可得解.
【详解】，
则.
故答案为：.
20.【答案】0
【解析】
【分析】由函数为奇函数可得，再根据函数的周期性即可得解.
【详解】因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
因为，
所以函数是以为周期的周期函数，
所以.
故答案为：.
21.【答案】
【解析】
【分析】由平面向量基本定理列出方程组即可求解.
【详解】由题意，且是两个不共线的向量，
所以，所以.
故答案为：.
22.【答案】
【解析】
【分析】由已知利用三角形面积公式，同角三角函数基本关系式及余弦定理化简，结合A的范围利用特殊角的三角函数值即可得解A的值.
【详解】由题意，因为，
所以，即，
又由，所以，
故答案为
【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式及余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记正 余弦定理和三角形的面积公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
三 解答题：本大题共3小题，每题10分，满分30分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
23.【答案】（1）极差为40；；
（2）平均分为81分；方差184.
【解析】
【分析】（1）根据极差定义计算可得结果，由成绩可知这8名同学中有7人合格，可得合格率为；
（2）根据平均数以及方差的定义计算可得平均分为81分，方差为184.
【小问1详解】
甲班这8位同学数学成绩的极差为；
因为甲班这8名同学中合格的有7人，
所以可以估计甲班本次数学考试的合格率为；
【小问2详解】
因为乙班这8名同学的数学平均分为，
所以可以估计乙班本次考试数学成绩的平均分为81分；
乙班这8名同学本次考试数学成绩的方差为
.
24.【答案】（1）证明见解析
（2）36.
【解析】
【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理容易证出；
（2）容易推导出四个侧面都是直角三角形，进而表面积可求.
【小问1详解】
如下图，连接，设与相交与点，连接.
因为底面是边长为3的正方形，所以为中点，
又因为为侧棱的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
因为底面，平面，所以，又，
平面，所以平面，
而平面，所以，同理可证，
所以均为直角三角形，
则四棱锥的表面积为
，
所以四棱锥的表面积为36.
25.【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由和向量的坐标运算可解；
（2）由数量积的坐标运算求解；
（3）化简得，由正弦函数最值求解.
【小问1详解】
设，因为为正方形，
所以，又，
所以，所以点的坐标为；
【小问2详解】
因为为线段的中点，所以，
因为，
所以，
所以；
【小问3详解】
因为，
其中，
所以当，即时，有最大值，
此时，
故当取最大值时，.
同课章节目录