27.2.1 相似三角形的判定（共3课时，76张PPT ）

(共76张PPT)
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定（1）
27.2 相似三角形
人教版数学九年级下册
新课导入
问题1：我们学过哪些判定两个三角形全等的方法？
SSS，SAS，ASA，AAS
问题2：类比上面这些方法，猜一猜判定两个三角形相似的方法有哪些？
推进新课
相似三角形
知识点1
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形.
∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．
在△ABC和△A'B'C'中，如果
我们就说△ABC和
△A'B'C'相似，相似比为k，相似符号为“∽”.
如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
全等
　　两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？
30°
45°
两个直角三角形不一定相似
两个等腰直角三角形一定相似
思考
　　两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？
两个等腰三角形不一定相似
两个等边三角形一定相似
判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，还可以使用简便的判定方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？我们先来探究下面的问题.
自由讨论
探究
如图，任意两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2 都相交的平行线l3，l4，l5．分别度量l3，l4，l5在直线 l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截的得两条线段DE，EF的长度，
与 相等吗？任意平移l5， 与 还相等吗？
可以发现，当l3∥l4∥l5时，有
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况:
在图1中，把l4看成平行于△ABC的边BC的直线；在图2中，把l3看成平行于△ABC的边BC的直线，那么我们可以得到结论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
两条直线被一组平行线所截 ，所得的对应线段成比例.
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
1
2
练习
　　1．如图，DE∥BC， ， 　　　　
则 ________．
A
B
C
E
D
2.如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，求 的值.
解：∵AB∥CD∥EF,
判定三角形相似定理
知识点2
思考
如图，在△ABC中，DE∥BC，
且DE分别交AB，AC，于点D，
E，△ADE与△ABC有什么关系？
△ADE∽ △ABC
证明：在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A，
∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
过点E作EF∥AB，交BC于点F，
∵DE∥BC，EF∥AB,
∴ ,
∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DE=BF， ，∴
∴△ADE∽△ABC
F
这样，我们证明了△ADE和△ABC相似，因此我们有如下判定三角形相似的定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
如图， DE∥BC分别交BA、CA的延长线于点D、E，那么△ADE与△ABC相似吗？
△ADE∽ △ABC
证明： DE∥BC，∠E=∠C，∠B=∠D，
过E作EF∥BD交CB的延长线于F，
∵DE∥BC，EF∥BD，∴
又∵四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF
∴ ∴△ADE∽△ABC
练习
1.如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD=3，DB=2.图中的相似三角形是________________，其相似比是____.
△ADE∽△ABC
2.如图，DE∥BC，DF∥AC，则图中相似三角形一共有（ ）
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
C
随堂演练
基础巩固
1.如图，DE∥BC， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
B
2.如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
A
3.如图，△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA.
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10，BC=12，CA=6，求AD、DC的长.
综合应用
解：（1）
（2）∠BAC=∠CDA，∠B=∠ACD，∠ACB=∠DAC;
（3）由（1）中的结论和已知条件可知
求得AD=3，DC=5.
课堂小结
基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
结论
判定定理
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
拓展延伸
如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AB、AC于点D、E，试证明：
证明：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB,
∴ ，
∴
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 相似三角形的判定（2）
27.2 相似三角形
人教版数学九年级下册
新课导入
三边对应相等的两个三角形全等，这是判定三角形全等的SSS方法.
类似地，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
推进新课
相似三角形的判定定理
知识点1
探究
任意画一个三角形，
再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍. 度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论.
通过测量结果，可以发现，这两个三角形相似.我们可以用上面的定理进行证明.
如图，在△ABC和△A'B'C'中，
求证△ABC∽△A'B'C'
证明：在线段A'B'（或它的延长线）上截取
A'D=AB，过点D作DE∥B'C'，
交A'C'于点E，根据前面的
定理，可得
△ A'DE ∽△ A'B'C'.
∴
又 ， A'D=AB
∴ ,
∴DE=BC， A'E =AC
∴△A'DE≌△ABC
∴△ABC∽△A'B'C'
△ A'DE是证明的中介，它把△ABC与△A'B'C'联系起来.
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理
△ABC∽△ A'B'C'
三边成比例的两个三角形相似.
判定定理1：
全等三角形还可以用SAS来判定，那么相似三角形呢？能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
∠A=∠A'
△ABC∽△A'B'C'
证明：在A'B'上截取A'D= AB，作DE∥B'C'交A'C'于点E.
D
E
∵DE∥B'C'
∴△A'DE∽△A'B'C'
又∵
A'D=AB
∴ A'E=AC
△ABC≌△A'DE
∴
△ABC∽△A'B'C'
∠A=∠A'
△ABC∽△A'B'C'
由此我们得到另一个判定三角形相似的定理
判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
两个判定定理
三边成比例的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
1
2
练习
1.下列条件能判定△ABC与△A'B'C'相似的是（ ）
C
A.
B.
C.
D.
，且∠A=∠C'
，且∠B=∠B'
，且∠B=∠B'
2.下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（ ）
A. B. C. D.
B
运用判定定理1和2
知识点2
思考
对于△ABC和△A'B'C', 如果 ∠B=∠B'，这两个三角形一定相似吗？试着画画看？
A/A'
B
C
C'
B'
A/A'
B
C
C'
B'
如图所示，
∠B=∠B'
有两种情况，所以
以上条件下，△ABC和△A'B'C'不一定相似.
若把∠B换成∠C，
情况一样.
例1 根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
（1）AB=4cm, BC=6cm, AC=8cm,
A'B'=12cm, B'C'=18cm, A'C'=24cm;
（2）∠A=120°, AB=7cm, AC=14cm,
∠A'=120°, A'B'=3cm, A'C'=6cm.
解：（1）∵
∴
∴ △ABC∽△A'B'C'
（2）∵
∵
又∠A=∠A'
∴ △ABC∽△A'B'C'
练习
1.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
（1）∠A=40°, AB=8cm, AC=15cm,
∠A'=40°, A'B'=16cm, A'C'=30cm.
（2）AB=10cm, BC=8cm, AC=16cm,
A'B'=16cm, B'C'=12.8cm, A'C'=25.6cm;
相似，因为两边成比例，夹角相等.
相似，因为三边成比例.
2.图中的两个三角形是否相似？为什么？
相似
∠ACB =∠ECD
相似
随堂演练
基础巩固
1.（1）判断图1中两三角形是否相似；
解：相似. 设小方格边长为1，
则AB=2, BC=2 ，AC=2 ,
EF=2，ED= , DF= .
∵ ∴△DEF∽△ABC.
（2）求图2中x和y的值.
解：∵
∠ACB=∠ECD
∴△ACB∽△ECD
∴∠B=∠D=98°，
∴x=40.5 y=98
2.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=5，DE=4，AE= , DB=7，BC= ,
EC= , 那么△ADE∽△ABC吗？为什么？
解： △ADE∽△ABC
∵
∴ △ADE∽△ABC
综合应用
3.如图，已知△ABD∽△ACE.
求证：△ABC∽△ADE.
证明：∵ △ABD∽△ACE
∴∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠DAC= ∠CAE+ ∠DAC
即∠BAC=∠DAE. 又∵
∴△ABC∽△ADE.
课堂小结
相似三角形的两条判定定理
三边成比例的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
拓展延伸
在△ABC中,∠B=30°，AB=5cm，AC=4cm，在△A'B'C'中，∠B'=30°，A'B'=10cm，A'C'=8 cm，这两个三角形一定相似吗？若相似，说说是用哪个判定方法;若不相似，请说明理由.
解：不一定. 虽然
∠B=∠B', 但∠B和∠B'不是对应边的夹角，
∴这两个三角形不一定相似.（见知识点2思考）
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 相似三角形的判定（3）
27.2 相似三角形
人教版数学九年级下册
新课导入
观察直角三角尺，其内外轮廓构成的两个三角形是否相似？你是怎么判定的？
推进新课
相似三角形的判定定理
知识点1
我们由三角形全等的SSS和SAS的判定方法类似地得到了三角形相似的判定定理，那么能否同样地由三角形全等的ASA或AAS类比得到相应的三角形相似的判定方法呢？
在△ABC 与△A'B'C'中，如果满足∠B=∠B'，∠C=∠C'，那么能否判定这两个三角形相似？
A'
B'
C'
B
A
C
猜想：△ABC∽△A'B'C'
如何证明
证明：在A'B'上截取A'D=AB，过D作DE∥B'C'
交A'C'于点E，∵DE∥B'C'，
∴△A'DE∽△A'B'C'
又∵∠A=∠A'
∠ B=∠B',
DE∥B'C',
AB=A'D
∴∠A'DE=∠B'=∠B
∴△ABC≌△A'DE
∴△ABC∽△A'B'C
一般地，我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理.
∠A=∠A'
∠B=∠B'
△ABC∽△A'B'C'
两角分别相等的两个三角形相似.
判定定理3：
例 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长.
解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°
又∵∠C=90°,∠A=∠A,
∴△AED∽△ABC.
∴
∴
如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似.
一个判定定理
两角分别相等的两个三角形相似.
1
练习
1.如图，当 时，△ABC∽△AED(填写一个条件).
∠ADE=∠C（答案不唯一）
2.底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论.
解：（1）相似（2）相似
都符合两个角对应相等的两个三角形相似.
直角三角形相似判定定理
知识点2
思考
我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=90°，∠C'=90°， ，
求证Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'.
分析：要证Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'.
可设法证
若设
则只需证
证明：设 ，
则AB=kA'B'，AC=kA'C'
由勾股定理得
∴
∴
∴
Rt△ABC∽ Rt△A'B'C'.
练习
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高.求证：
（1）△ACD∽△ABC；（2）△CBD∽△ABC.
证明：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°.
∴∠ADC=∠ACB，
在△ACD和△ABC中，
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ACD∽△ABC.
（2）∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°.
∴∠ACB=∠CDB.
在△CBD和△ABC中，
∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB，
∴△CBD∽△ABC.
2.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ）
C
A.P1 B.P2
C.P3 D.P4
随堂演练
基础巩固
1.从下面这些三角形中，选出相似的三角形.
①、⑤、⑥相似，③、④、⑧相似，②和⑦相似.
2.如图△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于点D，求证：△ABC∽△BDC.
证明：∵AB=AC，∠A=36°, BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠A=∠DBC.
在△ABC和△BDC中,
∠A=∠DBC，∠C=∠C.
∴△ABC∽△BDC.
3.如图，AD是Rt△ABC的斜边上的高. 若AB=4 cm，BC=10 cm，求BD的长.
解：∵AD⊥BC,∠BAC=90°,
∴∠ADB=∠CAB.
∴△ABD∽△CBA,
即 ,
BD=1.6(cm).
∴
综合应用
4.如图，△ABC中，D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16.
（1）求证：△ABC∽△DAC;
（2）求CD的长.
（1）证明：∵∠BAC=∠ADC,∠C=∠C,
∴△ABC∽△DAC.
（2）解：∵△ABC∽△DAC，
∴
,即
∴CD=4.
课堂小结
两角分别相等的两个三角形相似.
如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似.
拓展延伸
如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一个定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（ ）
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
C
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