26.2 实际问题与反比例函数（共3课时，70张PPT）

(共70张PPT)
26.2 实际问题与反比例函数
第1课时 实际问题与反比例函数（1）
——面积问题与装卸货物问题
第二十六章 反比例函数
人教版数学九年级下册
前面我们结合实际问题讨论了反比例函数，看到了反比例函数在分析和解决问题中所起的作用.这节课我们进一步探讨如何利用反比例函数解决实际问题.
复习导入
利用反比例函数知识解决实际问题
知识点
例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3 的圆柱形煤气储存室.
推进新课
（1）储存室的底面积 S（单位：m2）与其深度 d（单位：m）有怎样的函数关系？
（2）公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？
（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m．相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？
（1）储存室的底面积 S（单位：m2）与其深度 d（单位：m）有怎样的函数关系？
解：（1）根据圆柱的体积公式，得
Sd = 104，
所以 S 关于 d 的函数解析式为 .
即储存室的底面积 S 是其深度 d 的反比例函数.
思考
（2）公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？
解得　 d = 20（m）
如果把储存室的底面积定为 500 m2，施工时应向地下掘进 20 m 深.
解：把 S = 500 代入　　　 ，得
（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m.相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？
解得　S ≈ 666.67（m2）
当储存室的深度为 15 m 时，底面积约为 666.67 m2.
解：根据题意，把 d =15 代入　　　 ，得
如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60 m2 的矩形科技园 ABCD，其中一边 AB 靠墙，墙长为 12 m，设 AD 的长为 x m，DC 的长为 y m.
练习
a.求 y 与 x 之间的函数关系式；
b.若围成矩形科技园 ABCD 的三边材料总长不超过 26 m，材料 AD 和 DC 的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案.
AD = 5 m，DC = 12 m；AD = 6 m，DC = 10 m；AD =10 m，DC = 6 m.
例2　码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时间.
（1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度 v（单位：吨/天）与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系？
（2）由于遇到紧急情况，要求船
上的货物不超过 5 天卸载完毕，
那么平均每天至少要卸载多少吨？
根据“平均装货速度×装货天数＝货物的总量”，可以求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸货速度＝货物的总量÷卸货天数”，
得到 v 关 于 t 的函数解析式.
分析
解：（1）设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得
k = 30×8=240，
所以 v 关于 t 的函数解析式为
（2）把 t ＝ 5 带入 ，得
　　从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载完，那么平均每天卸载 48 吨.　
　　 对于函数
当 t＞0 时，t 越小，v 越大.这样若货物不超过 5天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨.
解：由题意知 t ≤ 5 ，
　　由　 　　 ，得 .　 　　
　　∵　t ≤ 5，
　　又　v＞0，
∴　240 ≤ 5v
　　∴　v ≥ 48（吨）
列不等式求解
一司机驾汽车从甲地去乙地，以 80 千米/小时的平均速度用 6 小时到达目的地.
a.当他按原路匀速返回时，汽车速度 v（千米/小时）与时间 t（小时）有怎样的函数关系？
b.如果该司机必须在 4 小时之内返回甲地，则返程时的速度不得低于多少？
120千米/小时
练习
4~8小时
一司机驾汽车从甲地去乙地，以 80 千米/小时的平均速度用6小时到达目的地.
c.若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过 120 千米/小时，最低车速不得低于 60 千米/小时，试问返程所用时间的范围是多少？
1.如果以 12 m3/h 的速度向水箱注水，5 h 可以注满.为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q（m3/h），那么此时注满水箱所需要的时间 t （h）与Q （m3/h）之间的函数关系为（ ）
A. B. t = 60Q
C. D.
A
基础巩固
随堂演练
2.新建成的住宅楼主体工程已经
竣工，只剩下楼体外表面需要贴
瓷砖，已知楼体外表面的面积为
5×103 m2.
（1）所需瓷砖的块数 n 与每块瓷砖的面积 S 有怎样的函数关系？
（2）为了使住宅楼的外观更漂亮，开发商决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块砖的面积都是 80 cm2，灰、白、蓝瓷砖使用比例为2∶2∶1，则需三种瓷砖各多少块？
综合应用
解：（1）
（2）设需灰、白、蓝三种瓷砖分别为2x、2x、x块.
（2x + 2x + x）·80 = 5×103×104
x = 1.25×105
因此，需灰、白、蓝三种瓷砖分别为2.5×105块、2.5×105块、1.25×105块.
（1）我们建立反比例函数模型解决实际问题的过程是怎样的？
（2）在这个过程中要注意什么问题？
实际问题
现实生活中的反比例函数
建立反比例函数模型
运用反比例函数图象性质
课堂小结
水产公司有一种海产品共 2 104 千克，为寻求合适的销售价格，进行了 8 天试销，试销情况如下：
拓展延伸
观察表中数据，发现这种海产品每天的销售量 y（千克）是销售价格 x（元/千克）的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数中的一种.
（1）请你选择一种合适的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外一种函数的理由；
解：（1） ；不选一次函数是因为y 与 x 之间不成正比例关系.
（2）在试销 8 天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为 150元/千克，并且以后每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？
（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？
26.2 实际问题与反比例函数
第2课时 实际问题与反比例函数（2）
——杠杆问题和电学问题
第二十六章 反比例函数
人教版数学九年级下册
公元前 3 世纪，有一位科学家说了这样一句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”你们知道这位科学家是谁吗？这里蕴含什么样的原理呢？
阿基米德
情境导入
若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”.通俗地说，杠杆原理为：
阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂
阻力
动力
支点
动力臂
阻力臂
例3 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m.
（1）动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？
（2）若想使动力 F 不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？
阻力
动力
支点
动力臂
阻力臂
推进新课
（1）动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？
解：根据“杠杆原理”，得
Fl = 1 200×0.5，
所以 F 关于 l 的函数解析式为
　　当 l = 1.5 m 时，
　　因此撬动石头至少需要 400 N 的力.
（2）若想使动力 F 不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？
解：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小.因此，只要求出 F = 200N时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量.
　　当 F=400×0.5=200 N 时，
　　3－1.5=1.5（m）
因此，若想用力不超过 400 N 的一半，动力臂至少要加长 1.5 m.
现在要求取消市场上使用杆秤的呼声越来越高.原因在于，一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空或更换较小秤砣，使秤砣变轻，从而欺骗顾客.
a.如图1，2所示，对于同一物体，哪个用了较轻的秤砣？
图1
练习
b.在称同一物体时，秤砣到支点的距离 y 与所用秤砣质量 x 之间满足__________关系；
c.当秤砣变轻时，称得的物体变重，这正好符合哪个函数的哪些性质？
反比例
电学知识告诉我们，用电器的功率 P（单位：W）、两端的电压 U（单位：V）以及用电器的电阻 R（单位： Ω ）有如下关系 PR=U 2.这个关系
也可写为 P=　　　，或 R=　　　　．
思考
例4 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω．已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示.
R
U
　　（1）功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系？
　　（2）这个用电器功率的范围多少？
解：（1）根据电学知识，当 U=220 时，得
即输出功率 P 是电阻 R 的反比例函数，函数解析式为
①
（2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.
把电阻的最小值 R=110 代入 ① 式，得到功率的最大值
把电阻的最大值 R=220 代入 ① 式，得到功率的最小值
　　因此，用电器的功率为 220～440 W .
结合例4，想一想为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节．
提示：收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速由用电器的功率决定.
在某一电路中，电源电压 U 保持不变，电流 I（A）与电阻 R（Ω）之间的函数关系如图所示.
（1）写出 I 与 R 之间
的函数解析式；
（2）结合图象回答当
电路中的电流不超过 12 A
时，电路中电阻 R 的取值
范围是多少Ω？
O
I/A
3
12
6
9
3
6
9
12
A（6，6）
R/Ω
练习
解：（1）由电学知识得
由图可知，当 R = 6 时，I = 6，
所以　U = 36（V），
即 I 与 R 之间的函数解析式为
O
I/A
3
12
6
9
3
6
9
12
A（6，6）
R/Ω
（2）电流不超过 12 A，
　　 即　　　 ≤12，
　　 R≥3（Ω）
所以当电路中的电流不超过 12 A 时，电路中电阻 R 大于或等于 3Ω.
O
I/A
3
12
6
9
3
6
9
12
R/Ω
1.某闭合电路中，电源电压为定值，电流 I (A)与电阻 R (Ω)成反比例.如图表示的是该电路中电流 I 与电阻 R 之间的函数关系图象，则用电阻 R 表示电流 I 的函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
A
基础巩固
随堂演练
2.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着路线铺了若干块木板，构筑成一条临时通道．你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S（m2）的变化，人和木板对地面的压强 p（Pa）将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计 600 N，那么
（1）木板面积 S 与人和木板对地面的压强 p 有怎样的函数关系？
（2）当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？
（3）要求压强不超过 6 000 Pa，木板面积至少要多大？
解: （1）p 是 S 的反比例函数，得
　　 木板面积至少要 0.1 m2.
（2）当 S = 0.2 m2 时，
（3）解: 由 　　　 得
　　 当 p = 6 000 Pa 时，
3. 舞台灯光可以瞬间将阳光灿烂的晴天变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼，这样的效果是通过改变电阻来控制电流的变化实现的．因为当电流 I 较小时，灯光较暗；反之，当电流 I 较大时，灯光较亮．在某一舞台的电路中，保持电压不变， 电流 I（A）与电阻 R（Ω）成 反比例，当电阻R =20 Ω时，电流 I =11 A.
（1）求电流 I（A）与电阻 R（Ω）之间的函数关系式；
（2）当舞台线路所承受的电流不超过 10 A时，那么电阻 R 至少应该是多少？
解: （1）U = IR = 11×20=220（V），
（2）由 得 R ≥ 22（Ω），即电阻R至少应该是22Ω.
4. 一辆汽车要将一批10 cm厚的木板运往某建筑 工地，进入工地到目的地前，遇有一段软地．聪明的司机协助搬运工将部分木板卸下铺在软地上，汽车顺利通过了.
（1）如果卸下部分木板后汽车对地面的压力为 3000 N，若设铺在软地上木板的面积为 S m2，汽车对地面产生的压强为p（N/m2），那么p与S的函数关系式是 __________；
综合应用
（2）若铺在软地上的木板面积是30 m2，则汽车对地面的压强是______N/m2；
（3）如果只要汽车对地面产生的压强不超过600 N/m2，汽车就能顺利通过，则铺在软地上的木板面积最少要多少平方米？
100
解：由 得 S ≥ 5（m2），即铺在软地上的木板面积最少要5 m2.
（1）本节运用了哪些物理知识？
（2）建立反比例函数模型解决实际问题的过程是怎样的 ？
实际问题
现实生活中的反比例函数
建立反比例函数模型
运用反比例函数图象性质
课堂小结
为了预防流感，某学校在星期天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间 t（小时）成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式为 （a为常数）.如图所示，据图中提供的信息，解答下列问题：
拓展延伸
（1）写出从药物释放开始，y 与 t 之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；
解：（1）药物释放过程：
药物释放完毕后：
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
解：（2）当 y = 0.25 毫克时，由 得
（小时），至少需要经过 6 小时后，学生才能进入教室.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业
解：示例：生活中近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（米）成反比例.已知 400度近视眼镜镜片的焦距为 0.25 米，则
1.请举出一个生活中应用反比例函数的例子.
复习巩固
习题26.2
2.某农业大学计划修建一块面积为 2×106 m2 的矩形试验田.
（1）试验田的长 y（单位：m）关于宽 x（单位：m）的函数解析式是什么？
（2）如果试验田的长与宽的比为 2∶1，那么试验田的长与宽分别为多少？
（2）设试验田长为 2a m，宽为 a m，
则2a·a = 2×106，∴a = 103（m），
∴2a = 2×103（m）
因此试验田的长与宽分别为2×103m，103m.
3.小艳家用购电卡买了1000 kW·h电，这些电能使用的天数 m 与小艳家平均每天的用电度数 n 有怎样的函数关系？如果平均每天用 4 kW·h 电，这些电可以用多长时间？
解：m·n = 1000，
如果平均每天用电 4kW·h，即 n = 4，则
因此这些电可以用250天.
4. 已知经过闭合电路的电流 I（单位：A）与电路的电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，请填下表（结果保留小数点后两位）：
解：据题意，设 由表知，当 I = 5时，R = 20，代入，得k = 5×20 = 100.
∴I 与 R 的函数表达式为 ∴表格中第一行依次填：4， 2， 表格中第二行依次填：100，50， 25.
4
2
100
50
25
5.已知甲、乙两地相距 s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间 t（单位：h）关于行驶速度 v（单位：km/h）的函数图象是（ ）.
C
6.密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积 V（单位：m3）变化时，气体的密度 ρ（单位：kg/m3）随之变化.已知密度 ρ 与体积 V 是反比例函数关系，它的图象如图所示.
（1）求密度 ρ 关于体积 V 的函数解析式；
（2）当 V = 9 m3 时，求二氧化碳的密度 ρ.
综合运用
解：（1）设 由图象知 A（5，1.98）在图象上，将其代入上式，得 k = 5×1.98 = 9.9.
∴密度 ρ 与体积之间的函数表达式为
（2）当 V = 9m3 时，
7.红星粮库需要把晾晒场上的1200 t玉米入库封存.
（1）入库所需的时间d（单位：天）与入库平均速度v（单位：t/天）有怎样的函数关系？
（2）已知粮库有职工60名，每天最多可入库300 t玉米，预计玉米入库最快可在几天内完成？
（3）粮库职工连续工作两天后，天气预报说未来几天会下雨，粮库决定次日把剩下的玉米全部入库，至少需要增加多少职工？
解：（1）
（2）由题意知，60名职工每天最多可入库300吨玉米，把v = 300代入 中，得
∴预计玉米入库最快可在4天内完成.
解：（3）由题意知，职工连续工作两天后剩下玉米：1200－2×300 = 600（吨），
设需要增加 x 名职工才能完成任务，则
解得x = 60.
因此需增加60名职工才能完成任务.
8.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示.
（1）请写出这个反比例函数的解析式.
（2）蓄电池的电压是多少？
36V
拓广探索
（3）完成下表：
（4）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10 A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
12
9
7.2
6
4
3.6
4.5
R ≥ 3.6Ω
9.某汽车油箱的容积为70 L，小王把油箱加满油后驾驶汽车从县城到300 km外的省城接客人，接到客人后立即按原路返回.请回答下列问题：
（1）油箱加满油后，汽车行驶的总路程 s（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）有怎样的函数关系？
（2）小王以平均每千米耗油0.1 L的速度驾驶汽车到达省城，返程时由于下雨，小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍.如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否回到县城？如果不能，至少还需加多少油？
解：（1）
（2）据题意：小王到达省城后已耗油:
300×0.1=30（L），油箱中还剩油:70－30=40（L），在返程时需用油：300×0.2=60（L）＞40L，60L－40L=20L.
所以不需加油不能回到县城，至少还需加20L油.
感谢您的观看