9.2向量运算 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学苏教版（2019）必修第二册

9.2向量运算同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．化简（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A．36 B． C．32 D．
3．已知平面向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知非零向量满足，则（ ）
A．45° B．60° C．120° D．150°
5．以下四个说法中，正确的是（ ）
A．若，则或
B．与是平行向量
C．若与是共线向量，则四点共线
D．若对于任意向量，有
6．如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知四边形ABCD为正方形，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若，为单位向量，则
C．若∥、∥，则∥
D．对于两个非零向量，，若，则
10．下列命题中错误的有（ ）
A．的充要条件是且 B．若，则存在实数，使得
C．若，则 D．
11．下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若，是共线的单位向量，则
B．若，是相反向量，则
C．若，则向量，共线
D．若，则点，，，必在同一条直线上
12．下列命题中正确的是（ ）
A．若平面向量两两的夹角相等，且，则的值为0
B．已知，且，则
C．若，则为钝角三角形
D．已知点为的外心，且，则
三、填空题
13．已知正方形的边长为2，点满足，则= ．
14．如图．已知矩形中，，，分别是，的中点，则 ．

15．设非零向量，，满足，，则向量，间的夹角为 ．
16．已知向量满足，向量在向量方向上的投影为，则实数的值为 ．
四、解答题
17．已知，且．
(1)求与的夹角；
(2)求的值；
(3)若，求实数k的值．
18．在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，．
(1)当时，求的值；
(2)求向量的夹角；
(3)求的取值范围．
19．在中，、为边、上的点，且满足，．
(1)若为边长为2的等边三角形，，，求；
(2)若，，，求；
(3)若，，，，求的最大值．
20．如图，，分别是矩形的边和的中点，是线段上的一动点.
(1)若，求：的值(要有计算过程)；
(2)设，试用，表示；
(3)若，，是线段上的中点，求的值.
21．已知，且与的夹角为120°，求:
(1)；
(2)与的夹角；
(3)若向量与垂直，求实数λ的值.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】根据向量的线性运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：D.
2．B
【分析】由向量数量积的定义及运算律计算可得.
【详解】设与的夹角为，则，
.
故选：B
3．B
【分析】根据向量的加减运算以及数量积的运算律求出，继而利用向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】由题意知平面向量满足，
故，所以，
所以，所以，
则，，故，
故选：B.
4．D
【分析】根据向量垂直得到，再应用数量积公式及夹角公式计算即可.
【详解】．
所以，又，
，由均为非零向量，
则，且在到之间，故．
故选：D．
5．B
【分析】A. 由的方向不确定判断；B.由与的方向相反判断；C.由AB，CD所在的直线平行或重合判断；D.举反例判断.
【详解】A. 由，得到的模相等，但方向不确定，故错误；
B. 与的方向相反，所以两个向量是平行向量，故正确；
C.当与是共线向量时，AB，CD所在的直线平行或重合，
所以四点不一定共线，故错误；
D.当非零向量与方向相反时，则，故错误；
故选：B
6．C
【分析】根据平面向量线性运算法则及平行四边形的性质计算可得.
【详解】根据向量加法的平行四边形法则知，故A正确；
根据向量减法的三角形法则知，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：C．
7．D
【分析】利用向量加法的几何运算逐一判断.
【详解】对于A：，A错误；
对于B：，B错误；
对于C：，C错误；
对于D：，D正确；
故选：D.
8．C
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果.
【详解】，
故选：C．
9．AD
【分析】A项，由相反向量与加法运算几何意义可得；B项，单位向量，的方向不一定相同；C项，由零向量的规定它与任何向量共线可得；D项，两边平方展开化简可得.
【详解】选项A，根据相反向量，知，故A正确；
选项B，由，为单位向量，即，而，方向不一定相同. 故B错误；
选项C，规定零向量与任意向量共线，
即当时，则∥，且∥均成立，
而，为任意向量，它们不一定共线，故C错误；
选项D，由得，，
则，整理得，
又已知，是两个非零向量，故. 故D正确；
故选：AD.
10．AC
【分析】根据向量相等的概念判断A；根据向量共线的含义判断B；举反例判断C；根据向量加减法的三角形法则，判断D.
【详解】对于A，的充要条件是且方向相同，A错误；
对于B，若，则存在实数，使得，正确；
对于C，若，当时，不一定共线，C错误；
对于D，根据向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，可知，正确，
故选：AC
11．BC
【分析】利用相反向量、共线向量的概念分析判断各选项得解.
【详解】对于A，，是共线的单位向量，则或，A错误；
对于B，若，是相反向量，则，B正确；
对于C，，即，则向量，共线，C正确
对于D，，点，，，可以不在同一直线上，D错误.
故选：BC
12．CD
【分析】A选项，可举出反例；B选项，计算出或；C选项，计算出，C正确；D选项，利用投影向量的性质得到答案.
【详解】A选项，平面向量两两的夹角相等，故夹角可能为或，
若两两夹角为，则，A错误；
B选项，，
又，则或，B错误；
C选项，，
故，所以为钝角三角形，C正确；
D选项，如图所示，，分别为的中点，
因为点为的外心，且，
所以，且⊥，⊥，
由向量投影定义可知，，
则，D正确.
故选：CD
13．6
【分析】由条件代入向量，根据向量数量积的四则运算计算即可.
【详解】在正方形中，，且向量的夹角为，
则有，
.
故答案为：6
14．
【分析】用、作为一组基底表示出，，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】依题意，
，
所以
.
故答案为：
15．
【分析】利用数量积的运算律求出，再利用夹角公式计算即得.
【详解】由，，得，则，解得，
因此，而，则，
所以向量，间的夹角为.
故答案为：
16．/
【分析】由向量在向量方向上的投影为以及，计算的值，代入中，可求出的值.
【详解】由题知，，，，．
故答案为：
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得，求得，结合平面向量的数量积的定义即可求解；
（2）由（1）知，计算即可求解；
（3）根据垂直向量可得，由题意，结合数量积的运算律即可求解.
【详解】（1）由题意知，，
又，所以，
所以，又，
所以，即与的夹角为；
（2）由（1）知，
所以，
故；
（3）由，得，
即，又，，
所以，解得.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先根据向量的线性运算表示出和；再根据向量的数量积运算律即可求解.
（2）先根据向量的线性运算表示出；再根据向量的数量积运算得出即可解答.
（3）先根据表示出；再根据向量的数量积运算得出；最后根据即可求解.
【详解】（1）当时，
依题意知，，，.
则， .
因为，
，
.
所以.
因此.
因为， ，，
所以，，
所以.
（2）由（1）知.
因为，，
所以；
.
则.
因为，， ，
所以，
故向量的夹角为.
（3）由（2）可知：
，
.
则.
因为，， ，
所以
,
由题意知，，
所以的取值范围是，
∴的取值范围是．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先由题意得到、的夹角为，再用、表示出、，结合数量积的定义及运算律即可得解；
（2）利用基底法，结合向量线性运算的几何表示即可得解；
（3）利用向量线性运算与数量积的运算法则，结合转化法得到关于的表达式，从而构造函数，利用其单调性定义即可得解.
【详解】（1）若为边长为2的等边三角形，，，
则、分别是、的中点，与的夹角为，
，，
所以
；
（2）若，，，
则距离是近的三等分点，是距离近的三等分点，
则，
又，
所以，所以；
（3）因为，所以，
所以，
，
因为，所以，且，
所以
，
，，
令，设，
所以，
因为，所以，，
所以，在上单调递增，
所以，
当即时有最大值为．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，根据平面向量线性运算法则及基本定理得到方程组，计算可得；
（2）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（3）用、作为一组基底表示出、，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】（1）因为是线段上的一动点，设，
则，
又，和不共线，
所以，所以.
（2）因为，又，
，
所以，
即，
所以，所以.
（3）因为，，
所以，
又，
，
所以
.
21．(1)；
(2)；
(3)或.
【分析】（1）利用关系结合数量积的性质计算；
（2）求出，，然后利用向量夹角余弦公式计算即可；
（3）分析可知，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的方程，解之即可.
【详解】（1）；
（2）因为，
所以，又，
所以，
又，
所以与的夹角为；
（3）因为向量与垂直，
则，
整理可得，解得或.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页