9.1向量的概念 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学苏教版（2019）必修第二册

9.1向量的概念同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．已知两个向量与共线，下列说法正确的是（ ）
A．与平行 B．或
C．与方向相同 D．存在实数，使得
3．下列命题中正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量
C．若向量同向，且，则 D．单位向量的模都相等
4．下列命题正确的是（ ）．
A．若都是单位向量，则
B．向量与是两平行向量
C．若，则四点构成平行四边形
D．两向量相等的充要条件是它们的始点和终点相同
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则与不是共线向量
6．已知点是平行四边形的对角线的交点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
9．下列说法不正确的是（ ）
A．若，则或
B．与是平行向量
C．若与是共线向量，则四点共线
D．若，则
10．给出下列命题，正确的命题是（ ）
A．向量的长度与向量的长度相等；
B．若向量与向量平行，则与的方向一定是相同或相反；
C．两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；
D．有向线段就是向量，向量就是有向线段；
11．下列关于平面向量的说法中，错误的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若，则
12．下列关于向量的结论正确的是（ ）
A．若，则或
B．非零向量与平行，则与的方向相同或相反
C．起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量
D．若向量与同向，且，则
三、填空题
13．如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出 个共线非零向量．

14．写出一个与向量共线的单位向量： .
15．下列说法中正确的是
①若向量与向量不平行，则与的方向一定不相同；
②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点；
③向量与不共线，则与都是非零向量．
16．已知是单位向量，在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD的形状为 ．（矩形、正方形、菱形、梯形）.
四、解答题
17．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且，，在每两点所确定的向量中．
(1)与的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与共线的向量有哪些？
18．已知O为正六边形ABCDEF的中心，在下图所标出的向量中：

(1)找出与相等的向量；
(2)找出几组相反向量．
19．如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些 与平行且是单位向量的有哪些

20．在如图的方格纸中，画出下列向量．

(1)，点在点的正西方向；
(2)，点在点的北偏西方向；
(3)求出的值．
21．如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，试求集合T中元素的个数．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】由向量的概念即既有大小又有方向的量即可求解.
【详解】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度.
故选：C.
2．A
【分析】根据向量共线的概念逐一判断即可.
【详解】选项A：与共线，则与平行，A说法正确；
选项B：与共线，且模长相等时，满足或，B说法错误；
选项C：与共线，则与方向相同或相反，C说法错误；
选项D：与共线，当是非零向量时，存在实数，使得，D说法错误；
故选：A
3．D
【分析】利用向量、零向量、单位向量及共线向量的定义，逐一对各个选项分析判断，即可得出结果.
【详解】对于选项A，由零向量的定义知，零向量方向任意，所以选项A错误，
对于选项B，当共线向量方向相反时，它们肯定不是相等向量，所以选项B错误，
对于选项C，向量不能比较大小，所以选项C错误，
对于选项D，单位向量的模长均为1个单位长，所以选项D正确，
故选：D.
4．B
【分析】根据单位向量的概念、共线向量的性质、向量相等的充要条件逐项判断即可.
【详解】对A，若都是单位向量，则，但是的方向不确定，故A不正确；
对B，因为，故向量，故B正确；
对C，若，则四点构成平行四边形，或四点共线，故C不正确；
对D，两向量相等的充要条件是它们的大小和方向相同，与向量的起点与终点位置无关，故D不正确.
故选：B.
5．C
【分析】根据向量的模与向量的定义可判断AB的正误，根据共线向量的定义可判断CD的正误.
【详解】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故A错误.
对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误.
对于C，若，则必定共线，故，故C成立.
对于D，当时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，
故与可以为共线向量，故D错误.
故选：
6．C
【分析】根据平面向量的基本概念，结合图象即可得答案.
【详解】为相反向量，故A错误；
为相反向量，故B错误；
方向相反，故，C正确；
因为平行四边形不一定为矩形，所以对角线不一定相等，故D错误.
故选：C
7．C
【分析】根据向量的概念逐一判断.
【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；
对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误；
对于C：若，则方向相同，C 正确；
对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误.
故选：C.
8．B
【分析】根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可.
【详解】对于①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线，
故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题；
对于②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题；
对于③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题；
对于④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题.
故选：B
9．ACD
【分析】根据向量的概念逐一判断.
【详解】对于A：，模相等不能推出共线，A错误；
对于B：与是相反向量，所以是平行向量，B正确；
对于C：若与是共线向量，不能得到四点共线，C错误；
对于D：若，当向量时，与不一定平行，D错误.
故选：ACD.
10．AC
【分析】根据平面向量的定义及性质进行判断.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，若为零向量，也满足向量与向量平行，B错误；
C选项，两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同，C正确；
D选项，有向线段可以用来表示向量，但不能说向量就是有向线段，D错误.
故选：AC
11．BCD
【分析】利用向量的坐标表示，判断A；赋值法，判断B、D；由数量积公式结合数乘运算判断C；
【详解】设，
则，，
，
，
所以，故正确；
若，则不能推出错误；
表示与共线的向量，表示与共线的向量，而与关系不定，且与大小不定，所以C错误；
若，且，则与是任意向量，故D错.
故选：BCD.
12．BC
【分析】根据题意，由平面向量的相关概念，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】若，但方向不能确定，选项A错误：
非零向量与平行，则与的方向相同或相反，选项B正确：
根据向量相等的定义，选项C正确：
向量不能比较大小，选项D错误．
故选：BC．
13．6
【分析】根据题意，直接写出满足题意的向量即可.
【详解】根据题意，可得所有共线非零向量有：，共有个.
故答案为：.
14．或
【分析】由共线单位向量的定义求出.
【详解】设所求向量为，
由题可知：且，
解得：
或，
所以向量坐标为或．
故答案为：或
15．①③
【详解】由向量平行的定义知①正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量与不共线，则与都是非零向量，正确，不妨设为零向量，则与共线，与与不共线矛盾，故③正确．
16．菱形；
【分析】利用向量得到四边形对边和邻边的位置关系，判断四边形的形状.
【详解】是单位向量，在四边形ABCD中，，，
则，在四边形ABCD中，，，可知四边形ABCD是平行四边形，
又，，所以四边形ABCD是菱形.
故答案为：菱形.
17．(1)答案见解析；
(2)答案见解析 ．
【分析】
（1）由相反向量的概念即可求解；
（2）由共线向量的概念即可求解.
【详解】（1）
与的长度相等、方向相反的向量有，，，．
（2）
与共线的向量有，，，，，，，，．
18．(1)
(2)与，与，与
【分析】（1）根据相等向量定义判断选择即可；
（2）根据相反向量定义判断选择即可.
【详解】（1）与方向相同且长度相等，故．
（2）与，与，与方向相反且长度相等分别互为相反向量．
19．答案见解析
【分析】
结合图形，由平行向量的定义及单位向量的定义即可得出结论.
【详解】根据平行向量的定义，由图可知，
与平行的向量有：，，，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，
其中的单位向量有：，，， ， ， ， ， ， ， ， .
20．(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)3
【分析】
（1）根据向量的大小和方向，作向量，
（2）根据向量的大小和方向，作向量，
（3）根据向量的模的定义求.
【详解】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：

（2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：

（3）
.
21．12
【分析】
集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，数出有向线段的条数减去相等向量的个数即为答案.
【详解】
由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，
即，，，；，，，；
，，，；，，，；
，，，.
由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.
又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页