9.3向量基本定理及坐标表示 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学苏教版（2019）必修第二册

9.3向量基本定理及坐标表示同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知平面向量，，若向量与共线，则（ ）
A．－2 B． C．2 D．5
2．已知向量，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．1
4．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．10 D．
5．已知向量，若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
6．已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，向量满足，，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与的夹角为，则
D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是
10．在平行四边形中，设，其中，则下列命题是真命题的是（ ）
A．当时，点在线段上
B．当点在线段上时，
C．当时，点在对角线上
D．当时，点在某线段上运动
11．以下结论中错误的是（ ）
A．“”是“共线”的充分不必要条件
B．若，则存在唯一的实数，使
C．若，则
D．若为平面的一组基底，则构成平面的另一组基底
12．已知平面向量，则（ ）
A． B．向量与向量垂直
C．与共线的单位向量的坐标为 D．在方向上的投影向量为
三、填空题
13．已知，则 ．
14．已知，不共线，向量，，且，则 ．
15．如图，在矩形中，，，是的中点，那么= ．
16．已知，，则与的夹角为 ．
四、解答题
17．在中，，，边AB，BC上的点M，N满足，，P为AC中点．
(1)设，求实数，的值；
(2)若，求边AC的长．
18．如图，在正中，分别是上的一个三等分点，分别靠近点A，点B，且交于点P．
(1)用元表示；
(2)求证：．
19．如图，分别是等腰梯形的边上的动点，，其中为定值，，设，其中.
(1)用所给字母，求出的表达式；
(2)证明：的余弦值与的取值无关；
(3)求的取值范围.
20．如图，在矩形中，点是的中点，是上靠近点的三等分点.
(1)设，求的值；
(2)若，，求的值.
21．如图，在等腰三角形中，是线段上的动点（异于端点），.
(1)若是边的中点，求的值；
(2)当时，请确定点的位置.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】直接利用向量平行的坐标运算列方程求解．
【详解】因为向量与共线，
所以，
解得．
故选：B．
2．C
【分析】根据向量数量积的坐标运算求出的值，结合向量垂直，即可求得答案.
【详解】由于向量，
，
故，则向量与向量的夹角为，
故选：C
3．A
【分析】直接由加法的坐标运算求解.
【详解】因为向量，
所以.
故选：A.
4．D
【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示，列式计算即得.
【详解】向量，，由，得，所以.
故选：D
5．D
【分析】根据向量共线定理及坐标运算列式计算即可.
【详解】因为，所以，则，解出.
故选：D.
6．A
【分析】取为基底，利用平面向量基本定理表示出，进行数量积运算即可.
【详解】在中，取为基底，则.
因为点、分别为的中点，
，
，
故选：A
7．B
【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可.
【详解】设与的夹角为，
则在上的投影向量为.
故选：B.
8．C
【分析】设出，根据题意利用向量的坐标运算列式运算求解.
【详解】设，则，
由，得，
又，得，即，
联立，解得.
.
故选：C.
9．ABD
【分析】利用向量共线的坐标表示判断A；利用垂直的坐标表示判断B；利用数量积的运算律求解判断C；求出投影向量的坐标判断D.
【详解】向量，，
对于A，由，得，因此，A正确；
对于B，由，得，因此，B正确；
对于C，与的夹角为，，，
因此，C错误；
对于D，与方向相反，则在上的投影向量为，D正确.
故选：ABD
10．BCD
【分析】根据向量的共线关系以及线性运算即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，当时，,
点在线段上,A错误，
对于B，点在线段上时，存在实数使得，因此，故B正确，
对于C,当时，由可知三点共线，故点在对角线上，C正确，
对于D，在边上分别取使得，
所以,当时，则，
故三点共线，因此点在线段上运动,D正确，
故选:BCD
11．BC
【分析】解命题“”得，解命题“与共线”得或0，即可判断A；举例即可判断B；根据垂直的向量表示即可判断C；根据共线向量和基底的概念即可判断D.
【详解】A：，，
由，得，
即，由，得；
由与共线，得或0，
所以“”是“与共线”的充分不必要条件，故A正确；
B：当时，，但不存在实数使得，故B错误；
C：若，不一定有，故C错误；
D：假设与共线，则存在实数m使得，
由为平面的一组基底，得，方程无解，所以假设不成立，
即与不共线，所以与可以构成平面的另一个基底，故D正确.
故选：BC
12．AB
【分析】利用向量的数量积、模、夹角的坐标表示，再利用向量的线性运算的坐标表示及向量垂直和平行的条件，结合投影向量的定义即可求解.
【详解】对于A ，因为，
所以
所以，故A正确；
对于B，因为，
所以，，
所以，
所以向量与向量垂直，故B正确；
对于C，设与共线的单位向量的坐标为，则
，解得或，
所以与共线的单位向量的坐标为或，故C错误.
对于D，由A选项知，，
所以在方向上的投影向量为，故D错误.
故选:AB.
13．5
【分析】根据向量的坐标运算求出的坐标，根据模的计算公式，即得答案.
【详解】由于，故，
故，
故答案为：5
14．
【分析】依题意可得，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为向量，，且，
所以，即，
又，不共线，所以，可以作为平面内的一组基底，
所以，解得.
故答案为：
15．
【分析】把都用表示，再利用数量积的运算法则即可得解.
【详解】因为在矩形中，是的中点，，
所以，， ,
则.
故答案为：.
16．
【分析】根据题意结合向量的坐标运算求解.
【详解】由题意可知：，
可得，且，
所以与的夹角为.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据图形，利用向量的几何运算求解即可；
（2）用向量表示，然后代入，列方程求出边AC的长．
【详解】（1），
则；
（2），
，
所以
解得，负值舍去，
即边AC的长为.
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由图形，根据平面向量的线性运算表示，设，进而表示，结合与不共线，与共线，与共线建立关于x、y的方程组，解之即可；
（2）设等边的边长为a，则，由（1）结合数量积的运算律计算可得，即可证明.
【详解】（1）由题意知，，.
设存在实数x、y，使得，
则，同理，
又与不共线，与共线，与共线，
所以，解得，所以；
（2）设等边的边长为a，则，
由（1）知，
，
所以，即.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先利用等腰梯形求得，然后利用基底表示向量，最后利用向量模的运算求解即可；
（2）结合数量积的运算律，利用向量夹角公式求解即可证明；
（3）根据向量模的运算求得，先将作为整体，利用二次函数性质得函数的值域，再将作为整体，利用二次函数性质得函数的值域，从而可得，即可求解.
【详解】（1）如图：
过和分别作的垂线，垂足为和，在中，，，所以，
由题意知，
因此，
；
（2）证明：由（1）可知，
，
因此，
因此的余弦值与的取值无关；
（3）由题意知，
因此，
考虑，对称轴，
因此当时，，
再考虑，当时，，
因此且，当时，，
综上所述，，即，因此.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量线性运算可得，由此可得；
（2）利用基底表示出，根据向量数量积定义和运算律可求得结果.
【详解】（1），，，
.
（2）由（1）知：，
，
.
21．(1)
(2)是线段靠近处的四等分点
【分析】（1）用、作为基底分别表示、，结合数量积运算即可.
（2）设，则，结合数量积运算即可.
【详解】（1）
由题意知，
由于是边的中点，因此，
因此.
（2）不妨设，因此，
又，
所以
解得，即，
故是线段靠近处的四等分点.
答案第1页，共2页
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