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第01讲 不等式
【题型1 不等式的定义】
【题型2 在数轴上表示不等式的解集】
【题型3 不等式的性质】
【题型4 不等式的解集】
考点1：不等式的定义
（1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：
等都是不等式．
（2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．
【题型1 不等式的定义】
【典例1】（2022秋 澧县期末）在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2y﹣5＞1，③m＝1，④x2﹣x，⑤x≠﹣2，⑥x+1＜2x﹣1中，是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解答】解：不等式是指不等号来连接不等关系的式子，如＜，＞，≠，所以不等式有：①②⑤⑥，等式有：③．
故选：C．
【变式1-1】（2023春 长顺县期末）“x为正数”的表达式是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x≥0 D．x≤0
【答案】B
【解答】解：∵正数是指大于0的数，
∴x是正数，即x＞0，
故选：B．
【变式1-2】（2023春 霸州市期末）某品牌纯牛奶的包装盒上标有“净含量500毫升”“每百毫升中含有原生高钙≥120毫克”，那么这样的一盒纯牛奶中原生高钙的含量是（ ）
A．600毫克 B．700毫克
C．最多600毫克 D．至少600毫克
【答案】D
【解答】解：∵每百毫升中含有原生高钙≥120毫克，
∴500毫升中含有原生高钙≥120×5＝600毫克，
∴这样的一盒纯牛奶中原生高钙的含量是至少600毫克．
故选：D．
【变式1-3】（2023春 罗湖区期末）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高x（m）的范围可表示为（ ）
A．x≥4.5 B．x＞4.5 C．x≤4.5 D．0＜x≤4.5
【答案】D
【解答】解：由题意可得，0＜x≤4.5．
故选：D．
【变式1-4】（2023春 武侯区校级期末）下面给出了5个式子：①3＞0，②4x+3y＞0，③x＝3，④x﹣1，⑤x+2≤3，其中不等式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以①②⑤为不等式，共有3个．
故选：B．
考点2：不等式的解集
不等式的解集
①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。
②用数轴表示不等式解集
解集x> 4在数轴上表示为
解集x≥ 4在数轴上表示为
解集 x < 4 在数轴上表示为
解集 x ≤在数轴上表示为
【题型2 在数轴上表示不等式的解集】
【典例2】（2022秋 安顺期末）如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．x≤3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2≤x＜3
【答案】D
【解答】解：根据数轴可知﹣2≤x＜3，
∴不等式的解集为﹣2≤x＜3，
故选：D．
【变式2-1】（2023秋 温州期中）不等式x≤1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：不等式x≤1的解集在数轴上表示正确的是：
故选：B．
【变式2-3】（2023秋 苍南县期中）在数轴上表示不等式﹣1≤x＜3，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵﹣1≤x＜3，
∴在数轴上表示为：
故选：D．
【变式2-4】（2023春 商南县校级期末）设“〇”□”△”分别代表三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，若每个“△”的质量为1，则每个“〇”的质量的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：设“〇”的质量为x，“□”的质量为y，
根据图可知，1+y＝4×1，
解得y＝3，
2x＞x+y，即2x＞3+x，
解得：x＞3，
则每个“〇”的质量的取值范围在数轴上表示正确的为图D．
故选：D．
考点2：不等式的基本性质
基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．
如果，那么
如果，那么
基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
如果，并且，那么(或)
如果，并且，那么(或)
基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
如果，并且，那么(或)
如果，并且，那么(或)
不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么．
不等式的传递性：如果，，那么．
易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
②在计算的时候符号方向容易忘记改变．
【题型3 不等式的性质】
【典例3】（2023秋 东阳市期末）如果a＜b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a﹣1＞b﹣1 B．＜ C．﹣a＜﹣b D．﹣a+5＜﹣b+5
【答案】B
【解答】解：A．∵a＜b，
∴a﹣1＜b﹣1，故本选项不符合题意；
B．∵a＜b，
∴＜，故本选项符合题意；
C．∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，故本选项不符合题意；
D．∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴﹣a+5＞﹣b+5，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式3-1】（2023 朝阳区校级一模）如果a＞b，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B．3a＜3b C．﹣a＞﹣b D．a+1＞b+1
【答案】D
【解答】解：A．a＞b，则＞，所以A选项不符合题意；
B．a＞b，则3a＞3b，所以B选项不符合题意；
C．a＞b，则﹣a＜﹣b，所以C选项不符合题意；
D．a＞b，则a+1＞b+1，所以D选项符合题意．
故选：D．
【变式3-2】（2022秋 西湖区期末）若x+a＞y+a，ax＜ay，则（ ）
A．x＞y，a＜0 B．x＜y，a＜0 C．x＞y，a＞0 D．x＜y，a＞0
【答案】A
【解答】解：∵x+a＞y+a，
∴由不等式的性质1，得x＞y，
∵ax＜ay，
∴a＜0．
故选：A．
【变式3-3】（2022秋 蒸湘区校级期末）已知a＜b，则下列式子一定成立的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3 B．ac＜bc C． D．3﹣2a＜3﹣2b
【答案】C
【解答】解：A、不等式两边同时减去3，不等号方向不变，即a﹣3＜b﹣3，故这个选项不符合题意；
B、当c＜0时，ac＞bc，故这个选项不符合题意；
C、不等式两边同时乘以，不等号方向不变，式子成立，故这个选项符合题意；
D、不等式两边同时除以负数﹣2，不等号方向改变，即﹣2a＞﹣2b；不等式两边同时加上3，不等号方向不变，即3﹣2a＞3﹣2b，故这个选项不符合题意．
故选：C．
【题型4 不等式的解集】
【典例4】（2023 四平模拟）如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1
【答案】B
【解答】解：由题意，得
a+1＜0，
解得a＜﹣1，
故选：B．
【变式4-1】（2023 大安市校级模拟）下列数值中是不等式x＜﹣2的解的是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【答案】A
【解答】解：不等式x＜﹣2的整数解有﹣3、﹣4、﹣5、﹣6、……
故选：A．
【变式4-2】（2023 丽水模拟）如果（m+3）x＞2m+6的解集为x＜2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＜﹣3
C．m＞﹣3 D．m是任意实数
【答案】B
【解答】解：由不等式（m+3）x＞2m+6，得
（m+3）x＞2（m+3），
∵（m+3）x＞2m+6的解集为x＜2，
∴m+3＜0，
解得，m＜﹣3；
故选：B．
【变式4-3】（2023春 达川区校级期末）已知关于x的不等式（2﹣a）x＞1的解集是x＜；则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＜2 D．a＞2
【答案】D
【解答】解：∵关于x的不等式（2﹣a）x＞1的解集是x＜，
∴2﹣a＜0，
解得：a＞2．
故选：D．
一．选择题（共8小题）
1．（2023 长春模拟）已知药品A的保存温度要求为0℃～5℃，药品B保存温度要求为2℃～7℃，若需要将A，B两种药品放在一起保存，则保存温度要求为（ ）
A．0℃～2℃ B．0℃～7℃ C．2℃～5℃ D．5℃～7℃
【答案】C
【解答】解：∵药品A的保存温度要求为0℃～5℃，药品B保存温度要求为2℃～7℃，
∴将A，B两种药品放在一起保存，保存温度要求为2℃～5℃．
故选：C．
2．（2023春 项城市校级月考）下列式子中，是不等式的是（ ）
A．0＜19 B．x﹣2 C．2x+3y＝﹣1 D．y2
【答案】A
【解答】解：∵0＜19是不等式，
∴选项A符合题意；
∵x﹣2是多项式，
∴选项B不符合题意；
∵2x+3y＝﹣1，
∴选项C不符合题意；
∵y2是单项式，
∴选项D不符合题意，
故选：A．
3．（2023 白城模拟）解集为x＞2的不等式是（ ）
A．4x﹣1＞2x+5 B．2+x＜2x C．﹣2x＞﹣4 D．3x＞x﹣4
【答案】B
【解答】解：A．4x﹣1＞2x+5，
4x﹣2x＞5+1，
2x＞6，
x＞3，故本选项不符合题意；
B．2+x＜2x，
x﹣2x＜﹣2，
﹣x＜﹣2，
x＞2，故本选项符合题意；
C．﹣2x＞﹣4，
x＜2，故本选项不符合题意；
D．3x＞x﹣4，
3x﹣x＞﹣4，
2x＞﹣4，
x＞﹣2，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．（2023秋 上城区期末）已知a＞b，下列不等式成立的是（ ）
A．﹣2a＜﹣2b B．a﹣2＜b﹣2 C．a+2＜b+2 D．3a＜3b
【答案】A
【解答】解：A．由a＞b，得﹣2a＜﹣2b，故本选项符合题意；
B．由a＞b，得a﹣2＞b﹣2，故本选项不符合题意；
C．由a＞b，得a+2＞b+2，故本选项不符合题意；
D．由a＞b，得3a＞3b，故本选项不符合题意．
故选：A．
5．（2022秋 杜尔伯特县期末）若x+a＜y+a，ax＞ay，则（ ）
A．x＜y，a＞0 B．x＜y，a＜0 C．x＞y，a＞0 D．x＞y，a＜0
【答案】B
【解答】解：∵x+a＜y+a，
∴由不等式的性质1，得x＜y，
∵ax＞ay，
∴a＜0．
故选：B．
6．（2023秋 温州期中）不等式x≤1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：不等式x≤1的解集在数轴上表示正确的是：
故选：B．
7．（2023秋 新田县期末）如果不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a必须满足（ ）
A．a＜0 B．a≤1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1
【答案】D
【解答】解：∵不等式（a+1）x＞（a+1）的解为x＜1，
∴a+1＜0，
解得：a＜﹣1．
故选：D．
8．（2023春 长春期末）如果x＝1.8是某不等式的解，那么该不等式可以是（ ）
A．x＞3 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜2
【答案】D
【解答】解：∵1.8＜2，
∴x＝1.8是不等式x＜2的解．
故选：D．
二．填空题（共9小题）
9．（2023春 商水县期末）某日我市最高气温是27℃，最低气温是22℃，则当天气温t（℃）的变化范围是 22≤t≤27 ．
【答案】22≤t≤27．
【解答】解：∵某日我市最高气温是27℃，最低气温是22℃，
∴当天气温t（℃）的变化范围是22≤t≤27，
故答案为：22≤t≤27．
10．（2023春 渠县校级期末）选择适当的不等号填空：若a＜b，则﹣2a ＞ ﹣2b．
【答案】＞．
【解答】解：∵a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
故答案为：＞．
11．（2022秋 澧县期末）利用不等式的性质填空．若a＞b，ac＜bc，则c ＜ 0．
【答案】＜．
【解答】解：∵a＞b，ac＜bc，
∴c＜0，
故答案为：＜．
12．（2023春 昭平县期末）已知关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集是 x≥1 ．
【答案】x≥1．
【解答】解：这个不等式的解集是：x≥1．
故答案为：x≥1．
13．（2023春 集美区校级期中）若不等式（a﹣1）x＞1﹣a的解集是x＜﹣1，则a的取值范围是 a＜1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：两边同时除以（a﹣1）得，x＜﹣1，
可见，a﹣1＜0，
解得a＜1．
故答案为a＜1．
14．（2023春 仙居县期末）两个关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则由这两个不等式组成的不等式组的解集为 a＜x≤b ．
【答案】a＜x≤b．
【解答】解：观察数轴可得：这两个不等式组成的不等式组的解集为a＜x≤b，
故答案为：a＜x≤b．
15．（2023春 西和县期末）定义运算：a*b＝a﹣2b，例如：1*2＝1﹣2×2＝﹣3，若不等式x*a＜1的解集在数轴上如图所示，则a的值是 0 ．
【答案】0．
【解答】解：由新运算的定义可得，x*a＜1，
所以x﹣2a＜1，
解得x＜2a+1，
由数轴上表示的解集可知，2a+1＝1，
解得a＝0．
故答案为：0．
16．（2023秋 金水区校级期末）在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：a▲b＝3a﹣b．已知关于x的不等式x▲k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ﹣5 ．
【答案】﹣5．
【解答】解：由新定义运算的定义可知，关于x的不等式x▲k≥2，即3x﹣k≥2，
解得x≥，
由在数轴上表示的不等式解集可知，这个不等式的解集为x≥﹣1，
所以＝﹣1，
解得k＝﹣5，
故答案为：﹣5．
17．（2023春 濮阳期末）我们[a]用表示不大于a的最大整数，例如：[1.5]＝1，[﹣2.3]＝﹣3．若[x]+3＝1，则x的取值范围是 ﹣2≤x＜﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：[x]+3＝1，
[x]＝﹣2，
∵[a]用表示不大于a的最大整数，
∴x的取值范围是﹣2≤x＜﹣1，
故答案为：﹣2≤x＜﹣1．
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第01讲 不等式
【题型1 不等式的定义】
【题型2 在数轴上表示不等式的解集】
【题型3 不等式的性质】
【题型4 不等式的解集】
考点1：不等式的定义
（1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：
等都是不等式．
（2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．
【题型1 不等式的定义】
【典例1】（2022秋 澧县期末）在下列数学表达式：①﹣2＜0，②2y﹣5＞1，③m＝1，④x2﹣x，⑤x≠﹣2，⑥x+1＜2x﹣1中，是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-1】（2023春 长顺县期末）“x为正数”的表达式是（ ）
A．x＜0 B．x＞0 C．x≥0 D．x≤0
【变式1-2】（2023春 霸州市期末）某品牌纯牛奶的包装盒上标有“净含量500毫升”“每百毫升中含有原生高钙≥120毫克”，那么这样的一盒纯牛奶中原生高钙的含量是（ ）
A．600毫克 B．700毫克
C．最多600毫克 D．至少600毫克
【变式1-3】（2023春 罗湖区期末）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高x（m）的范围可表示为（ ）
A．x≥4.5 B．x＞4.5 C．x≤4.5 D．0＜x≤4.5
【变式1-4】（2023春 武侯区校级期末）下面给出了5个式子：①3＞0，②4x+3y＞0，③x＝3，④x﹣1，⑤x+2≤3，其中不等式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点2：不等式的解集
不等式的解集
①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。
②用数轴表示不等式解集
解集x> 4在数轴上表示为
解集x≥ 4在数轴上表示为
解集 x < 4 在数轴上表示为
解集 x ≤在数轴上表示为
【题型2 在数轴上表示不等式的解集】
【典例2】（2022秋 安顺期末）如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．x≤3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2≤x＜3
【变式2-1】（2023秋 温州期中）不等式x≤1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2023秋 苍南县期中）在数轴上表示不等式﹣1≤x＜3，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-4】（2023春 商南县校级期末）设“〇”□”△”分别代表三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，若每个“△”的质量为1，则每个“〇”的质量的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点2：不等式的基本性质
基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．
如果，那么
如果，那么
基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
如果，并且，那么(或)
如果，并且，那么(或)
基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
如果，并且，那么(或)
如果，并且，那么(或)
不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么．
不等式的传递性：如果，，那么．
易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
②在计算的时候符号方向容易忘记改变．
【题型3 不等式的性质】
【典例3】（2023秋 东阳市期末）如果a＜b，那么下列各式中正确的是（ ）
A．a﹣1＞b﹣1 B．＜ C．﹣a＜﹣b D．﹣a+5＜﹣b+5
【变式3-1】（2023 朝阳区校级一模）如果a＞b，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B．3a＜3b C．﹣a＞﹣b D．a+1＞b+1
【变式3-2】（2022秋 西湖区期末）若x+a＞y+a，ax＜ay，则（ ）
A．x＞y，a＜0 B．x＜y，a＜0 C．x＞y，a＞0 D．x＜y，a＞0
【变式3-3】（2022秋 蒸湘区校级期末）已知a＜b，则下列式子一定成立的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3 B．ac＜bc C． D．3﹣2a＜3﹣2b
【题型4 不等式的解集】
【典例4】（2023 四平模拟）如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1
【变式4-1】（2023 大安市校级模拟）下列数值中是不等式x＜﹣2的解的是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【变式4-2】（2023 丽水模拟）如果（m+3）x＞2m+6的解集为x＜2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＜﹣3
C．m＞﹣3 D．m是任意实数
【变式4-3】（2023春 达川区校级期末）已知关于x的不等式（2﹣a）x＞1的解集是x＜；则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＜2 D．a＞2
一．选择题（共8小题）
1．（2023 长春模拟）已知药品A的保存温度要求为0℃～5℃，药品B保存温度要求为2℃～7℃，若需要将A，B两种药品放在一起保存，则保存温度要求为（ ）
A．0℃～2℃ B．0℃～7℃ C．2℃～5℃ D．5℃～7℃
2．（2023春 项城市校级月考）下列式子中，是不等式的是（ ）
A．0＜19 B．x﹣2 C．2x+3y＝﹣1 D．y2
3．（2023 白城模拟）解集为x＞2的不等式是（ ）
A．4x﹣1＞2x+5 B．2+x＜2x C．﹣2x＞﹣4 D．3x＞x﹣4
4．（2023秋 上城区期末）已知a＞b，下列不等式成立的是（ ）
A．﹣2a＜﹣2b B．a﹣2＜b﹣2 C．a+2＜b+2 D．3a＜3b
5．（2022秋 杜尔伯特县期末）若x+a＜y+a，ax＞ay，则（ ）
A．x＜y，a＞0 B．x＜y，a＜0 C．x＞y，a＞0 D．x＞y，a＜0
6．（2023秋 温州期中）不等式x≤1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023秋 新田县期末）如果不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a必须满足（ ）
A．a＜0 B．a≤1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1
8．（2023春 长春期末）如果x＝1.8是某不等式的解，那么该不等式可以是（ ）
A．x＞3 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜2
二．填空题（共9小题）
9．（2023春 商水县期末）某日我市最高气温是27℃，最低气温是22℃，则当天气温t（℃）的变化范围是 ．
10．（2023春 渠县校级期末）选择适当的不等号填空：若a＜b，则﹣2a ﹣2b．
11．（2022秋 澧县期末）利用不等式的性质填空．若a＞b，ac＜bc，则c 0．
12．（2023春 昭平县期末）已知关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集是 ．
13．（2023春 集美区校级期中）若不等式（a﹣1）x＞1﹣a的解集是x＜﹣1，则a的取值范围是 ．
14．（2023春 仙居县期末）两个关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则由这两个不等式组成的不等式组的解集为 ．
15．（2023春 西和县期末）定义运算：a*b＝a﹣2b，例如：1*2＝1﹣2×2＝﹣3，若不等式x*a＜1的解集在数轴上如图所示，则a的值是 ．
16．（2023秋 金水区校级期末）在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：a▲b＝3a﹣b．已知关于x的不等式x▲k≥2的解集在数轴上如图表示，则k的值是 ．
17．（2023春 濮阳期末）我们[a]用表示不大于a的最大整数，例如：[1.5]＝1，[﹣2.3]＝﹣3．若[x]+3＝1，则x的取值范围是 ．
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