科学高中部 2023-2024 学年度下学期高二年级
第一次月考数学学科考试答案
1.【答案】
(2+ ) (2)
解：由导数的定义可得 ′(2) = lim = lim [( )2 + 2 + 1] = 1 ，
→0 →0
故选： ．
2.【答案】
解：等差数列的性质可知 1 5 10 15 + 19 = 1 + 19 ( 5 + 15) 10 = 10 = 2，
19( 1+ 19)
即 10 = 2， 19 = = 19 10 = 38．故选 C． 2
3.【答案】
解：不等式的左边代数式中分子都为1，分母是从1开始的自然数直到(3 1)，故共有3 1项．
由 = 变到 = + 1时，左边由(3 1)项增加到(3 +1 1)项，从而增加了(3 +1 1) (3 1) =
2 × 3 项.故选 D．
4.【答案】
解：由log 1 = log 得 +
1 1
2 2 +1 = ， 2
1
所以数列{ }是等比数列，公比为 ， 2
所以 2 + 4 + 6 + + 2
1
= ( 1 + 3 + + + ) = 2
1
2 5 2 1
，
所以log2( 2 + 4 + 6 + + 2 ) = 1．故选 D．
5.【答案】
解：不等式 2 1 + ( 2) > 2 2 + ( 1) 等价于 ( 1) 2 1 < ( 2) 2 2 ，
令 ( ) = ( ) 2 , ∈ (0, +∞) ，根据题意对任意的 1, 2 ∈ (0, +∞) ，
当 1 > 2 时， ( 1) < ( 2) ，所以函数 ( ) = ( ) 2 在 (0, +∞) 上单调递减，
所以 ′( ) = ′( ) 2 = 2ln 2 ≤ 0 在 (0, +∞) 上恒成立，
ln
即 ≤ 在 (0, +∞) 上恒成立．
ln 1 ln
令 ( ) = , ∈ (0, +∞) ，则 ′( ) = 2 ，
所以当 ∈ (0, ) 时， ′( ) > 0 ， ( ) 单调递增，
1 1
当 ∈ ( , +∞) 时， ′( ) < 0, ( ) 单调递减.所以 ( )max = ( ) = ，所以 ≥ ．故选： ．
6.【答案】A
{#{QQABRQKAggAIQJAAARgCAQGiCAGQkBECCAoORAAIIAABiRNABAA=}#}
【解答】解：由 =
2
+1
+2( ∈ )， +2 = +1 + ( ∈
)，
2 +1 +2 +1( +1+ +2) +2( +2 +1)
2 2
则 = = +1
+2 =
+1
2 2 2 = 1， +1 +2 +1 +2 +1 +2
由于 2 1 = 2 1 3 = 1，所以 = ( 1) ，
( 1)·[1 ( 1)2020]
所以 2020 = = 0．故选： ． 1 ( 1)
7.【答案】
【解答】解：设 ( ) = ( )，则 ′( ) = [ ′( ) + ( )] = 1，
可设 ( ) = + ，∵ (0) = (0) = 0 + = 0．∴ = 0，
1
∴ ( ) = ，∴ ( ) = ，∴ ′( ) =
，
当 < 1时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，
1
当 > 1时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，∴ ( ) = (1) = ，
当 → +∞时， ( ) → 0，
不等式 ( ) 0的解集中恰有三个整数，结合图形可知，整数为1，2，3，
∴ (4) < (3)，
4 3
∴ 4 < 3．故选 C．
8.【答案】
解：由选项知， ( ) = ln 与圆相离，圆外一点 与圆上的距高最小值为： 1，
1
设 ( , ln )，设圆心为 ，则 ( + , 0)，
1 1
| |2 = 2 2( + ) + ( + )2 + ( )2，
1 1
令 ( ) = 2 2( + ) + ( + )2 + ( )2，
ln 1
得 ′( ) = 2( ) + 2( ).
ln 1
我们知道常见不等式： ≤ ，当 = 时等号成立，
∴当0 < < 时， ′( ) < 0，即 ( )在(0, )上单调递减；
2( 2 ln +1)
当 > 时，令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = 2 > 0， ( )单调递增，即 ′( )单调递增，
显然 ′( ) ≥ ′( ) = 0，所以 ( )在( , +∞)单调递增．
{#{QQABRQKAggAIQJAAARgCAQGiCAGQkBECCAoORAAIIAABiRNABAA=}#}
1
综上， ( ) ≥ ( ) = 2 + 1．
1 √ 2+1
所以最小值为 1 = √ 1 + 1 = ．故选： ．
2
9.【答案】
1
解： 选项中，易知 = (0, +∞)，设 ( ) = ( ) ( ) = ln ，
1
易知 ( )在 = (0, +∞)上单调递增，且 (1) = 1， (2) = ln2 > 0，
2
1
∴存在 1 ∈ (1,2)，使得 ( 1) = 0，∴当 ∈ (0, 1)时， ( ) < 0，即ln < ;当 ∈ ( 1, +∞)时， ( ) > 0．
故当 0 = 1时，[ ( ) ( )]( 0) ≥ 0对任意的 ∈ (0, +∞)恒成立，故 A 正确;
选项中，易知 = ，设 ( ) = ，则 ′( ) = ，
当 < 1时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减;当 > 1时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增．
故 ( ) ≥ (1) = 0，故不存在 0 ∈ ，使得对任意 ∈ ，不等式[ ( ) ( )]( 0) ≥ 0恒成立，故 B
不正确;
选项中，易知 = ，由[ ( ) ( )]( ) ≥ 0得( 30
2)( 0) ≥ 0，
即( 1)( 0) ≥ 0，故当 0 = 1时，[ ( ) ( )]( 0) ≥ 0对任意的 ∈ 恒成立，故 C 正确;
选项中， = (0, +∞)，若存在 0 ∈ ，使得对任意 ∈ ，不等式[ ( ) ( )]( 0) ≥ 0恒成立，
[ (1) (1)](1 0) 0, 1 0 0,
则{ 1 1 1 即{1 无解，故 D 不正确．故选 AC．
[ ( ) ( )] ( ) 0, 0,
2 2 2 0 2 0
10.【答案】
( +1) ( + ) ( +1)( + )
解：在等差数列{ }中，由( + 1) < ，得
1 < 1 +1 +1 ，即 2 2 < +1，
因此等差数列{ }为递增数列，公差大于0，A 错误；
又 2023 2022 < 2023 2021，即 2023( 2022 2021) < 0，整理得 2023 2022 < 0，
因此 2022 < 0， 2023 > 0，则 的最小值是 2022， B 正确，C 错误；
4044( + )
因为 = 1 40444044 = 2022( 2022 + 2023) = 2022( 2023 2021) < 0， 2
4045( +
= 1 4045
)
4045 = 4045 2023 > 0，所以使 > 0成立的 的最小值是4045，D 正确． 2
故选：
11.【答案】
1
【解答】解：令 =
, ∴ = ln ，则 +1 = 1 + ，
因为 1 = 0，所以 1 = 1， 2 = 2，
1
令 ( ) = 1 + ( > 0)，作出 ( )的图象与直线 = ，如图所示：
{#{QQABRQKAggAIQJAAARgCAQGiCAGQkBECCAoORAAIIAABiRNABAA=}#}
由图可得 1 < 3 < 5 <····< 2 1 <···， 2 > 4 > 6 >·····> 2 >···
所以 { 2 1}单调递增，{ 2 }单调递减， = ln ，
则{ 2 1}是单调递增数列，{ 2 }是单调递减数列，可得 D 正确；
1
因为 ∈ [1,2]，所以 +1 = (1 + ) = + 1 ∈ [2,3]，
∴ + +1 +1 = ∈ [2,3]，∴ + +1 ∈ [ln2, ln3]；
因为 + +1 ≥ ln2， + +1 ln3，又 = ln ，
3 3 3
当 2 时, 3 = ,由图知 2，所以ln2 ln ，故 A，C 正确； 2 2 2
所以 2020=( 1+ 2)+....+( 2019+ 2020)≥1010×ln2>693,可得 B 错误．
故选 ACD．
7
12.【答案】
6
1 1 1
解：因为 ( ) = + ln(1 2 ) = + ln (1 2 )，
2 2 2
1 1 1 2 1 2 7
所以 ′( ) = 2 + (1 2 )
′ = 2 + ，故 ′( 1) = + = ． 2 1 2 2 1 2 2 1+2 6
7
故答案为 ．
6
2
13.【答案】( , +∞)
15
解： ∈ ， > 0 ，且 4 =
2
+ 2 3 ，则当 ≥ 2 时， 4 1 =
2
1 + 2 1 3 ，
两式相减得 4 = 2
2
1 + 2 2 1 ，即 ( 1)( + 1) = 2( + 1) ，
因此 = 2 ，而 4 = 4 = 2 1 1 1 1 + 2 1 3 ，即
2
1 2 1 3 = 0 ，又 1 > 0 ，解得 1 = 3 ，
于是数列 { } 是首项为3，公差为2的等差数列，即有 = 1 + 2( 1) = 2 + 1 ，
+1
= ( 1) +1 = ( 1) +1
1 1 1
( + ) ， (2 +1)(2 +3) 4 2 +1 2 +3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 = [( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) + + ( + ) ( + )] 4 3 5 5 7 7 9 9 11 4 1 4 + 1 4 + 1 4 + 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= ( ) ， 2 1 = 2 2 = ( ) + ( + ) = ( + ) ， 4 3 4 +3 4 3 4 +3 4 4 +1 4 +3 4 3 4 +1
1
显然数列 { 2 } 是单调递增的， ∈
， 2 < ，数列 { 2 1} 是单调递减的， ∈
，
12 2 1
≤
2
1 = ， 15
{#{QQABRQKAggAIQJAAARgCAQGiCAGQkBECCAoORAAIIAABiRNABAA=}#}
因为 ∈ ，不等式 < 恒成立，则 ∈
，不等式 2 < 且 2 1 < 恒成立，
1 2 2 2 2
因此 ≥ 且 > ，即有 > ，所以 的取值范围是 ( , +∞) ．故答案为 ( , +∞)．
12 15 15 15 15
14.【答案】①③④
1
解：对于①，当0 < < 1时， ( ) = ln ，则 ′( ) = ，
1
令 ′( ) = ，解得： = < 0(舍)；
1 1
当 ≥ 1时， ( ) = ln ，则 ′( ) = ，令 ′( ) = ，解得： = ，又 ( ) = 1，
1 1 1
所以 ( )的斜率为 的切线方程为： 1 = ( )，即 = ，故①正确；
对于②， (3) = ln3， (4) = ln4 = 2ln2，
(3) (4) ln3 ln2 2ln3 3ln2 ln9 ln8 (3) (4)
所以 = = = > 0，所以 > ，故②错；
3 4 3 2 6 6 3 4
对于③，当 0 = 1时，由 ( ) ( 0) ≥ ( 0)得： ( ) (1) ≥ ( 1)，
若 = 1，则 ∈ ；
( ) (1)
若0 < < 1，则 ≥ ，
1
( ) (1)
因为 表示 ( ) = ln (0 < < 1)上任意一点与(1, (1))连线斜率，
1
′ 1 ( ) (1)此时 ( ) = ，不妨取 ′(1) = 1，所以 < 1， ≥ 1；
1
( ) (1)
若 > 1，则 ≤ ，
1
( ) (1)
因为 表示 ( ) = ln ( > 1)上任意一点与(1, (1))连线斜率，
1
( ) (1)
所以 > 0， ≤ 0；
1
综上所述： 的取值范围为[ 1,0]，故③正确；
对于④，当 = 0时， ( ) ( 0) ≥ ( 0)恒成立；
(1)若0 < 0 < 1，
( ) ( )
当0 < < 0时，由 ( ) ( 0) ≥ ( 0)，得 ≥
0 ，
0
( ) ( 0)因为 表示 ( ) = ln (0 < < 1)上任意一点与( 0, ( 0))连线的斜率， 0
( ) ( 0)所以 < ′( )，所以 ′( )，
0 00
( ) ( )
当 > 0时，由 ( ) ( 0) ≥ ( )，得 ≤
0
0 ， 0
( ) (
所以 0
)
> ′( 0)，所以
′( 0)， 0
所以 = ′( 0)，此时 有唯一解；
{#{QQABRQKAggAIQJAAARgCAQGiCAGQkBECCAoORAAIIAABiRNABAA=}#}
(2)当 0 = 1时，由③知： ∈ [ 1,0]，不合题意；
( ) ( )
(3)当 0 > 1时，若0 < < 0时，由 ( ) ( 0) ≥ ( )，得 ≥
0
0 ， 0
( ) (
因为 0
) (1) ( 0) (1) ( ≤ ，所以 ≥ 0
)
> 0，
0 1 0 1 0
( ) ( )
若 > 0，由 ( ) ( 0) ≥ ( )，得 ≤
0
0 ， 0
( ) (
因为 0
)
∈ (0, ′( 0))，所以 ≤ 0， 0
所以当 0 > 1时， 无解；
综上所述：仅当 0 ∈ (0,1)时， 取唯一的值 ′( 0)，故④正确．
故答案为：①③④．
15.【答案】解：(1)因 ( ) = 3 + + 2，
故 ′( ) = 3 2 + ，由于 ( )在 = 2处取得极值 14．
′(2) = 0 12 + = 0
故有{ ，即{ ,
(2) = 14 8 + 2 + 2 = 14
12 + = 0 = 1
化简得{ ，解得{ ,
4 + = 8 = 12
经检验， = 1， = 12时， ′( ) = 3 2 12 = 3( + 2)( 2)，
令 ′( ) > 0，解得 < 2或 > 2，令 ′( ) < 0，解得 2 < < 2，
所以 ( )在( ∞, 2)单调递增，( 2,2)单调递减，(2, +∞)单调递增，
所以 ( )在 = 2处取得极值，符合题意，所以 = 1， = 12．
则 ( ) = 3 12 + 2， ′( ) = 3 2 12，故 (1) = 9， ′(1) = 9．
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为： ( 9) = 9( 1)，即9 + = 0．
(2)由(1)知 ( ) = 3 12 + 2， ′( ) = 3 2 12，令 ′( ) = 0，得 1 = 2， 2 = 2．
在 ∈ [ 3,3]时，随 的变化， ′( )， ( )的变化情况如下表所示：
当 = 2时， ( )有极大值 ( 2) = 18，当 = 2时， ( )有极小值 (2) = 14．
因为 ( 2) = 18 > (3) = 7； (2) = 14 < ( 3) = 11．
因此 ( )在[ 3,3]的最小值为 (2) = 14，最大值为 ( 2) = 18．
16.【答案】解：(1)在数列{ }中， 1 = 2，点 ( , +1)在直线 = + 2上．
得： +1 = + 2，且 1 = 2，
故数列{ }为等差数列，所以 = 2 + 2( 1) = 2 ；
{#{QQABRQKAggAIQJAAARgCAQGiCAGQkBECCAoORAAIIAABiRNABAA=}#}
由2 = + 2，①
得2 1 = 1 + 2，②( ≥ 2)；
将两式相减得：2 2 1 = 1；即2 2 1 = ；∴ = 2 1( ≥ 2)，
又∵ 2 1 = 1 + 2 = 1 + 2，∴ 1 = 2， ∴ = 2
；
(2)由 = = · 2 +1 ，
得： = 1 2
2 + 2 23 + 3 24 + +( 1) 2 + 2 +1，①
2 = 1 2
3 + 2 24 + +( 1) 2 +1 + 2 +2，②
+2
① ②得， = 22 + 23 + 24 + +2 +1 +2
4 2
2 = 2 +2 = (1 ) 2
+2 4．
1 2
所以 = ( 1)2
+2 + 4．
17.【答案】解：(1)数列{ }的前 项和 满足2 = 3( 1)①，
当 = 1时，解得 1 = 3．
当 ≥ 2时，2 1 = 3( 1 1)②，
① ②得：2 = 3 3 1，
故 = 3(常数)，
1
所以：数列{ }是以3为首项，3为公比的等比数列．
所以 = 3 ．
3 1 1 1
(2) =
= = ( )，
( 1)( +1 +1 1) (3 1)(3 1) 2 3
1 3 +1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
故 = ( 2 + +2 3 1 3
3 1 1 3 +1
) = (
1 2 2 3 +1
).
1
1
由于对任意的 ∈ ，不等式 > 都成立， 4 +1
1 1 1 1
所以 (
2 2 3 +1
) > ，
1 4 +1
+1
即 > ，
2(3 +1 1)
+1
令 ( ) = ，
2(3 +1 1)
( 2 1) 3 +1 1
所以 ( + 1) ( ) = +1 +2 < 0，故函数 ( )单调递减， 2(3 1)(3 1)
1
所以 ( )max = (1) = ． 8
1
即 > ．
8
18. 【答案】 解：(1) ∵ ′( ) = ，
∴ ′(1) = ， (1) = ，
= 1
由题意得：{ ,
( 1) ( ) + = 0
{#{QQABRQKAggAIQJAAARgCAQGiCAGQkBECCAoORAAIIAABiRNABAA=}#}
解得 = 1, = 0；
(2)由 = 1, = 0得 ( ) = 1， ∈ (0, +∞)，
1 1
′( ) = ,令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = + 2 > 0，
所以 ′( )在(0, +∞)为增函数．
′ 1又 ( ) < 0， ′(1) > 0，
2
且函数 ′( )图象在(0, +∞)上连续不间断，
1
∴ 0 ∈ ( , 1)，使得
′( 0) = 0， 2
在(0, 0)上
′( ) < 0；在( 0, +∞)上
′( ) > 0，
所以 ( )在(0, 0)上单调递减，在( 0, +∞)上单调递增，
所以 ( )存在极小值．
1
(3) ∈ [ , +∞)，使得不等式 ln ≤ 0
2
1
∈ [ , +∞), ．
2
′
设 ( ) = ， ( ) = 1 = ( )，
结合(2)可知[ ′( )] 0min = ( 0) = ln 0 1，
1 1
其中 0 ∈ ( , 1)，满足 ′( 0) = 0，即
0 = 0，
2 0
1
所以 0 = ，
0
= ln 0，
0
1
所以[ ′( )] 0min = ln 0 1 = + 1 00
1
> 2√ 0 × 1 = 1 > 0， 0
1 1
所以 ∈ [ , +∞)时， ′( ) > 0，所以 ( )在[ , +∞)上单调递增，
2 2
1 1 1
所以 ∈ [ , +∞)时， ( )的最小值为 ( ) = √ + 2，
2 2 2
1
所以 √ + 2．
2
1
即实数 的取值范围为[√ + ln2, +∞)．
2
19.【答案】解：(1)由题意知， ′( ) = 2 ，则 ′( ) = 2
所以曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线方程为
( ) = ′( )( )，即 (
2
4) = 2 ( )，
将( 2 2 +1, 0)( ∈ )代入，得 ( 4) = 2 ( +1 )，即 + 4 = 2 +1，
2
显然 ≠ 0，所以
+1 = + ； 2
{#{QQABRQKAggAIQJAAARgCAQGiCAGQkBECCAoORAAIIAABiRNABAA=}#}
2
2 2 ( +2)(2)证明：由(1) +1 = + 知， +1 + 2 =
+ + 2 = ，
2 2 2
2
(
同理 2 =
2) +2 +2
+1 ，故
+1 = ( )2，
2 +1 2 2
有lg +1
+2 +2
= 2lg ，即
2 2 +1
= 2 ，
+1
所以数列{ }是公比为2的等比数列，
+2 +2
故 =
1 1 1 1
1 2 = 2 lg = 2 lg 3，即lg
= 2 1lg 3，
1 2 2
+2 2 1有 = 3 ，
2
2(32
1
+1)
所以解得 = 1 ；
32 1
1
2(32 +1) 4
(3)证明：由(2)知， = 1 ，则 = 2 = 1 > 0，
32 1 32 1
2 1 +1 3 1 1 1 1 1所以 = = 1 < 1 1 1 = ， 32 1 32 3+1 32 32
当 = 1时，显然 1 = 1 = 2 < 3；
1 1 1
当 > 1时， 2 1 < 1 < ( ) 3 3 2 < < ( ) ， 3 1
1
1 1 [1 ( ) ] 1 1 1所以 = 1 + 2 + + < 1 + 1 + + ( ) =
3 = 3 ( ) 1 < 3，
3 3 1 11 3
3
综上， < 3( ∈ N
)．
{#{QQABRQKAggAIQJAAARgCAQGiCAGQkBECCAoORAAIIAABiRNABAA=}#}科学高中部 2023-2024 学年度下学期高二年级第一次月考数学学科
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.定义在 上的函数 = ( )在区间[2,2 + ]( > 0)内的平均变化率为 = ( )2 + 2 + 1，其中 =
(2 + ) (2)，则函数 ( )在 = 2处的导数 ′(2) =( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 9
2.等差数列{ }的前 项和为 ，已知 1 5 10 15 + 19 = 2，则 19的值为( )
A. 38 B. 19 C. 38 D. 19
1 1 1
3.利用数学归纳法证明不等式1 + + +. . . . + < ( ≥ 1, ∈ 2 3 3 1 +
)的过程中，由 = ( ≥ 1)变到 =
+ 1时，左边增加了( )
A. 1项 B. 项 C. 3 项 D. 2 × 3 项
4.已知数列{ }满足log2 1 = log2 +1( ∈ )，若
1 + 3 + 5 + … + 2 1 = 2 .则log2( 2 + 4 +
6 + + 2 )的值是 ( )
A. 2 + 1 B. 2 1 C. + 1 D. 1
5.已知函数 ( ) = 2 ln 2，若对任意的 1, 2 ∈ (0, +∞)，当 1 > 2时，都有2 1 + ( 2) > 2 2 +
( 1)，则实数 的取值范围为 ( )
1 1
A. [ , +∞) B. [1, +∞) C. [ , +∞) D. [2, +∞)
2
6. 公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，
8，13，21，34，55，…，即 1 = 2 = 1， = 1 +
2( 3, ∈ ).此数列在现代物理、准晶体结
构、化学等领域都有着广泛的应用.若记 2 = +1 +2( ∈ )，数列{ }的前 项和为 ，则
2020 =( )
A. 0 B. 1 C. 2019 D. 2020
7.已知 ′
1
( )是函数 ( )的导函数，且对任意的实数 都有 ′( ) =
( )( 是自然对数的底数)， (0) =
0，若不等式 ( ) ≥ 0的解集中恰有三个整数，则实数 的取值范围是 ( )
3 2 3 2 4 3 4 3
A. ( 3 , 2] B. [ 3 , 2) C. ( 4 , 3] D. [ , ) 4 3
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2
8.已知点 为函数 ( ) = ln 的图象上任意一点，点 为圆 1[ ( + )] + 2 = 1上任意一点，则线段PQ
的长度的最小值为 ( )
√ 2+1 √ 2 2+1 √ 2 1 1
A. B. C. D. + 1
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记函数 ( )与 ( )的定义域的交集为 .若存在 0 ∈ ，使得对任意 ∈ ，不等式( 0)[ ( ) ( )] ≥
0恒成立，则称( ( ), ( ))构成“ 函数对”.下列所给的两个函数能构成“ 函数对”的有 ( )
1
A. ( ) = ln ， ( ) = B. ( ) = ， ( ) =
C. ( ) = 3
1
， ( ) = 2 D. ( ) = + ， ( ) = 3√
10.设 为等差数列{ }的前 项和，若( + 1) < +1， 2023 2022 < 2023 2021， 2023 2021 < 0，
则 ( )
A. 数列{ }的公差小于0 B. 2022 < 0
C. 的最小值是 2023 D. 使 > 0成立的 的最小值是4045
1
11.已知数列{ }满足： = 0，
+1
1 = 1 + ( ∈
)，前 项和为
，则下列选项中正确的是(参考数
据：ln2 ≈ 0.693，ln3 ≈ 1.099)( )
A. + +1 ≥ ln2 B. 2020 < 666
3
C. ln ≤ ≤ ln2( ≥ 2) D. { 2 2 1}是单调递增数列，{ 2 }是单调递减数列
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
1
12.函数 ( ) = + ln(1 2 )的导函数是 ′( )，则 ′( 1) = ．
2
2+2 3
13.已知数列{ }( ∈ )满足： > 0，其前 项和 =
，数列{ }( ∈
)满足
4
=
+1 +1 ( 1) ，其前 项和
，设 为实数，若 < 对任意 ∈ 恒成立，则 的取值范围是 ．
+1
14.已知函数 ( ) = |ln |，关于 的不等式 ( ) ( 0) ≥ ( 0)的解集为(0, +∞)，其中 0 ∈ (0, +∞)，
为常数.给出下列四个结论：
1 (3) (4)
①直线 = 是曲线 = ( )的一条切线； ② < ；
3 4
③当 0 = 1时， 的取值范围是[ 1,0]； ④要使 取唯一的值，仅当 0 ∈ (0,1)．
其中，所有正确结论的序号是 ．
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四、解答题：本题共 5题
15.(本小题13分)
已知函数 ( ) = 3 + + 2在 = 2处取得极值 14．
(1)求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)求函数 ( )在[ 3,3]上的最值．
16.(本小题15分)
已知等比数列{ }的前 项和为 ，且 是 与2的等差中项，等差数列{ }中， 1 = 2，点 ( , +1)在
一次函数 = + 2的图象上．
(1)求数列{ }，{ }的通项 和 ；
(2)设 = ，求数列{ }的前 项和 ．
17.(本小题15分)
已知数列{ }的前 项和 满足2 = 3( 1)( ∈
).
(1)求数列{ }的通项公式；
1 (2)记 = ， 是数列{ }的前 项和，若对任意的 ∈ ，不等式 > 都成立，求( 1)( +1 1) 4 +1
实数 的取值．
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18.(本小题17分)
设 , ∈ ，函数 ( ) = ln ，其中 是自然对数的底数，曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方
程为( 1) + = 0．
(1)求实数 , 的值;
(2)求证：函数 = ( )存在极小值;
1
(3)若 ∈ [ , +∞)，使得不等式 ln ≤ 0成立，求实数 的取值范围．
2
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 2 4，设曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线与 轴的交点为( +1, 0)( ∈
)，其中
1为正实数．
(1)用 表示 +1；
+2
(2)若 1 = 4，记 = lg ，证明数列{ }成等比数列，并求数列{ }的通项公式． 2
(3)若 1 = 4, = 2， 是数列{ }的前 项和，证明： < 3．
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