河南省名校联考2023-2024学年高一下学期4月质量检测数学试题（含解析）

河南省名校联考2023-2024学年高一下学期4月质量检测
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：北师大版必修第二册第一章～第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是
A． B．
C． D．
2．已知向量，，若，则
A． B．-2 C． D．2
3．已知扇形的周长是8cm，该扇形的圆心角是2弧度，则该扇形的面积是
A．2 B．4 C．6 D．8
4．“”是“函数的图象关于点成中心对称”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则此三角形
A．无解 B．有一解 C．有两解 D．解的个数不确定
6．要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点
A．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移单位长度
C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
7．在中，，，为定值，若|（其中）的最小值为，则的余弦值为
A． B． C． D．
8．已知平面向量，，满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知锐角三角形三边长分别为2，7，x，则实数x的可能取值是
A． B． C．7 D．
10．如图，在中，，E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是
A． B．
C． D．
11．已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
A．函数的解析式
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．在区间上单调递增
D．不等式的解集为，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知角的终边经过点P（4，m），若，则________．
13．已知，，，与夹角为．若为钝角，则k的取值范围是________．
14．如图，在面积为的中，M，N分别为BA，BC的中点，点P在MN上，若，则的最小值是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点．
（1）求的值；
（2）求的值．
16．（本小题满分15分）
已知向量，，若，，与的夹角为60°．
（1）求的值；
（2）当为何值时，向量与向量互相垂直？
17．（本小题满分15分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且．
（1）求角C；
（2）若，的面积为，求的周长．
18．（本小题满分17分）
如图，已知是边长为2的正三角形，P在边BC上，且，Q为线段AP上一点．
（1）若，求实数的值；
（2）求的最小值；
（3）当的重心在直线CQ上时，求的余弦值．
19．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）若，的最小值为，求的对称中心；
（2）已知，函数图象向右平移个单位得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有12个零点，求的最小值．
河南省名校联考2023-2024学年高一下学期4月质量检测
数学
参考答案、提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B A C C A B
题号 9 10 11
答案 BC ACD ABD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】终边落在阴影部分的角为，，即终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是．故选B．
2．【答案】D
【解析】因为，所以，．故选D．
3．【答案】B
【解析】设扇形的半径为r，所以弧长，所以扇形周长，解得，所以扇形面积．故选B．
4．【答案】A
【解析】当时，，，此时，的图象关于中心对称，
当函数的图象关于中心对称时，，，此时不一定为0．
所以“”是“函数的图象关于中心对称”的充分不必要条件．故选A．
5．【答案】C
【解析】由正弦定理，得，解得．
因为，所以．
又因为，所以或，
故此三角形有两解．故选C．
6．【答案】C
【解析】将的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到，再向左平移个单位长度，得到．故选C．
7．【答案】A
【解析】情形一：由题意知，则；
情形二：．故选A．
8．【答案】B
【解析】由，两边平方得，
又，且对任意实数恒成立，
即恒成立，所以，
即，所以，即．
由，知，，
所以，
当且仅当与同向时取等号．故选B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．【答案】BC（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）
【解析】解得．故选BC．
10．【答案】ACD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）
【解析】由，易知，故A正确；
设，因此，则，
由于A，F，D三点共线，因此，即，故B错误；
，故C正确；
由于，则F为线段AD上靠近D点的四等分点，则，故D正确，故选ACD．
11．【答案】ABD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）
【解析】由图知函数的最小正周期，所以，所以．将点代入，得，所以，解得，又，所以，所以，故A正确；
当时，，故B正确；
当时，，故C错误；
由，得，所以，，解得，，故D正确．故选ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】-2
【解析】由题意知，解得．
13．【答案】
【解析】，且为钝角，所以，解得，
当时，，此时与夹角为π，不成立，且．
14．【答案】3
【解析】取AC边上的中点Q，设P到AC的距离为h，，，
，
（当且仅当，即时等号成立）．
则的最小值为3．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为角的终边上有点，
所以，
，
所以；
（2）
．
16．【答案】（1） （2）
【解析】（1），
；
（2）当向量与向量互相垂直时，
，
即，
即，解得．
17．【答案】（1） （2）
【解析】（1）由可知，
由正弦定理，得，
即．
所以，
又，
所以；
（2）由（1）知．
所以，
又，
所以，
所以，即．
所以的周长为．
18．【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）以BC中点O为原点建立直角坐标系，
则，B（-1，0），C（1，0），，
由于Q为线段AP上一点，设，
，即，
由，
则，，，，
由可得解出；
（2）由（1）知，，
则，，
由二次函数易知，当时，最小；
（3）由（1）可知，，
因为为正三角形，且CQ为其中线，因此，
即，解出，
此时，，
在中，利用余弦定理知，
则的余弦值为．
19．【答案】（1）或 （2）
【解析】（1）的最小正周期为，
又，的最小值为，的最小正周期是，
故，解得，
当时，，由，
的对称中心为；
当时，，由，
的对称中心为，
综上所述，的对称中心为或；
（2）函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，
，
又是的一个零点，
，即，
，，
，
，
，最小正周期，
令，则，
即或，
解得或．
若函数在（且）上恰好有12个零点，则，
要使最小，须m，n恰好为的零点，故．
可得的最小值为．