2023-2024学年湖南省常德市汉寿一中高三（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年湖南省常德市汉寿一中高三（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下是某中学名学生的一次政治考试成绩．
序号
成绩
则这组数据的分位数是( )
A. B. C. D.
2.已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.设为数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，是空间中三条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，，，，则
D. 若，，，，则
5.某中学教师节活动分上午和下午两场，且上午和下午的活动均为，，，，这个项目现安排甲、乙、丙、丁四位教师参加教师节活动，每位教师上午、下午各参加一个项目，每场活动中的每个项目只能有一位老师参加，且每位教师上午和下午参加的项目不同已知丁必须参加上午的项目，甲、乙、丙不能参加上午的项目和下午的项目，其余项目上午和下午都需要有人参加，则不同的安排方法种数为( )
A. B. C. D.
6.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，已知点在圆：内，动直线过点且交圆于，两点，若的面积的最大值为，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知斜率为的直线与双曲线：交于，两点，直线与直线交于点不与原点重合，且恰好是的中点，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知满足，则( )
A. B. 复平面内对应的点在第一象限
C. D. 的实部与虚部之积为
10.某质点的位移与运动时间的关系式为的图象如图所示，其与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，则( )
A.
B.
C. 质点在内的位移图象为单调递减
D. 质点在内的平均速率为平均速率
11.已知函数及其导函数的定义域均为，记若满足，的图象关于直线对称，且，则( )
A. 是奇函数 B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中项的系数为 ．
13.已知的内角，，所对的边分别是，，，且，则角 ______．
14.记表示，，中最小的数设，，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线的方程；
讨论的极值．
16.本小题分
把编号为，，，，的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为，，，，的五个盒子里．每个盒子里放入一个小球．
求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；
设恰有个小球的编号与盒子编号相同，求随机变量的分布列与期望．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，底面，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．
求证：平面；
在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的值，若不存在，说明理由．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为．
求点的轨迹的方程；
设点在直线上，过点的两条直线分别交轨迹于，和，两点，且，求证：为定值．
19.本小题分
给定正整数，，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件，则称为数列记数列的项数的最小值为．
条件：的每一项都属于集合；
条件：从集合中任取个不同的数排成一列，得到的数列都是的子数列．
注：从中选取第项、第项、、第项其中形成的新数列称为的一个子数列．
分别判断下面两个数列是否为数列，并说明理由：
数列：，，，，，，，，；
数列：，，，，，，；
求证：；
求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
所以这组数据的分位数是．
故选：．
根据百分位数的计算方法直接计算即可得答案．
本题考查百分位数的计算方法，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设双曲线的方程为，
，得，
，
双曲线的渐近线方程为
故选：．
可设方程为：，由离心率和的关系可得，而渐近线方程为，代入可解．
本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：数列的前项和，若，，
整理得：，
故：常数，
故数列是以为首项，为公差的等差数列；
所以：；
故：．
故选：．
首先求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的定义，等差数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于，若，，，，且，则，所以选项A错误；
对于，若，，，，则或，选项B错误；
对于，若，，，，则由面面垂直的性质知，
又，所以，选项C正确；
对于，若，，，则，
又，所以，选项D错误．
故选：．
根据空间中线面位置关系的判定定理、性质定理等对选项中的命题进行分析判断，即可得出结果．
本题考查了线面、面面平行与垂直的判断及性质，也考查了空间想象能力、推理论证能力以及逻辑推理核心素养，是中档题．
5.【答案】
【解析】解：因为丁必须参加上午的项目，甲、乙、丙不能参加上午的项目，
所以上午甲、乙、丙参加，，这个项目，
共有种不同的安排方法．
又因为甲、乙、丙、丁四人下午参加的项目为，，，，分类：
丁参加项目，共有种不同的安排方法；
丁参加，，这个项目中的个，从甲、乙、丙中选人参加项目，剩下两人参加剩下的个项目，
共有种不同安排方法；
综上所述：共有种不同的安排方法．
故选：．
先求上午的安排方法种数，再求下午的安排方法种数，结合分步乘法计数原理运算求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理及分步乘法计数原理，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：由题意得，，即，解得，
．
故选：．
根据两角和的正切公式以及齐次式的应用化简求值即可．
本题考查两角和的正切公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：圆的标准方程为，
则圆心，半径，
，
当时取最大值，
此时为等腰直角三角形，，
则到距离，
，
即，
，
即，
解得或，
点在圆：内，
，
即，
即，
即，
故答案为：
故选：．
根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用三角形面积的最大值，确定直线的位置，利用直线和方程的位置关系即可得到结论．
本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用圆的标准方程求出圆心坐标和半径是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
8.【答案】
【解析】解：设直线的方程方程为，由解得，显然，
由消去并整理得：，
显然，且，
由恰好是的中点，得，解得，
所以双曲线的离心率．
故选：．
设出直线的方程，求出点的坐标，再与双曲线方程联立，借助中点列式求解即得．
本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设，
则由已知得，即，
所以解得
所以，则，其对应点为，在第三象限，故A项正确，项错误；
，的实部为，虚部为，
所以的实部与虚部之积为，故C，项正确．
故选：．
利用复数代数形式的运算法则进行运算，求出复数，逐一判断各选项是否正确．
本题考查复数的运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：的图象与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，
所以函数的周期，解得，所以A正确；
令，则，又所以，
因为，所以或，
又，所以，所以不正确；
由已知得图象相邻的两条对称轴分别为直线和，且在内单调递减，
又，所以在上单调递减，所以 C正确；
由图象直接得该质点在内的路程为，
所以该质点在内的平均速率为，所以不正确．
故选：．
由的部分图象确定其解析式，进而分析各个选项可得答案．
本题考查由的部分图象确定其解析式及正弦函数的周期性、对称性等性质的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项，因为函数的图象关于直线对称，则，即，
所以函数为偶函数，又因为，则，
令，则，
所以为常值函数，设，其中为常数，
当时，，此时函数不是奇函数，故A错；
对于选项，因为，令，可得，即，
等式两边求导得，即，
所以函数的图象关于点对称，
在等式中，
令可得，即，故B对；
对于选项，因为，则，可得，
所以，故C对；
对于选项，在等式两边同时求导，得，即，
所以函数是以为周期的周期函数，因为，
所以，，，
可得，，，
由中，令，可得，
则，，
所以，
因为，则．
故选：．
推导出函数的奇偶性，设，利用导数推导出为常值函数，结合函数奇偶性的定义可判断选项；推导出，令代值计算可判断选项；由、推导可判断选项；求出的值，结合函数的周期性可判断选项．
本题考查了函数的性质，导数的综合运用，属于难题．
12.【答案】
【解析】解：通项公式，令，
可得：展开式中项的系数为．
故答案为：．
利用通项公式即可得出．
本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由正弦定理及，
得，
，
，
，
，
，，
，
，．
故答案为：．
由正弦定理及同角三角函数的基本关系、三角恒等变换化简即可．
本题考查利用正弦定理及同角三角函数的基本关系、三角恒等变换求值，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：当时，则，
由题意可知，此时，
，和中至少有一个小于等于，
，
又当，时，，
的最大值为，
当时，则，
由题意可知，此时，
，和中至少有一个小于，
，
综上所述，的最大值为．
故答案为：．
分和两种情况讨论，结合不等式的性质求解即可．
本题主要考查了函数最值的几何意义，考查了不等式的性质，属于中档题．
15.【答案】解：当时，，
求导得，则，而，
所以的方程为，即．
函数的定义域为，求导得，
而，则当时，，当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值，无极小值．
【解析】把代入，利用导数的几何意义求出切线方程．
求出的导数，分析函数单调性求出极值即得．
本题主要考查了导数几何意义在切线方程求解中的应用，还考查了导数与极值关系的应用，属于基础题．
16.【答案】解：记恰有个小球与盒子编号相同为事件，
将个小球随机放入五个盒子中，每个盒子放一个共有种不同的放法．
事件共有种放法，所以．
恰有个盒子与小球编号相同的概率为．
随机变量的可能值为，，，，．
，，
，，，
的分布列为：
所以．
【解析】满足条件的放法共有种，恰有两个球的编号与盒子的编号相同的放法有种，由古典概率公式可得所求概率；
写出随机变量的可能值以及取各值的概率，即可得到分布列，再利用公式求期望即可．
本题考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．
17.【答案】证明：因为底面，，
建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，
所以，
设为平面的法向量，
因为，，所以，即，
令，可得，，所以，
又，
可得，
因为平面，
所以平面；
解：设，，则，
设平面的法向量为，
又，，
所以，
令，得，，所以，
所以，
即，解得或舍去，
所以，
故存在，当时满足题意．
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可；
建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可．
本题考查直线与平面平行得垂直和直线与平面所成角，属于中档题．
18.【答案】解：设，则，
因为直线，的斜率之积为．
所以，化简得，
故点轨迹的方程为．
证明：设，设，，
则直线所在直线方程为，
设，，
则直线所在直线方程为，
联立，
消得，
则，
，
同理，
又，
则，
又，
．
所以为定值．
【解析】设，其中，由，即可得解；
设，设，，则直线所在直线方程为，设，，则直线所在直线方程为，联立直线和轨迹的方程化简即得证．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：，，
数列和中每一项都属于集合，符合条件，
从集合中取出个不同的元素，排成一列得到，，；，，；，，；，，；，，；，，．
根据子数列的定义可知，以上个数列都是数列的子数列，故数列是数列；
而数列，，不是数列的子数列，故数列不是数列．
，若从集合中任取个不同的数排成一列，得到的数列都是数列的子数列，
则为了满足，；，；，，；，；，；；，；等数列都是的子数列，
则数列中一定有，，，，，
又为了满足，；，；，；，；等数列都为的子数列，
则数列中一定有，，，，，
则当数列为，，，，，，，时，取到的值，
故G．
，从集合中取出个不同的数排成一列，可得，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；
，，，；，，，；，，，；，，，，，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；
，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，，共个数列．
故数列中一定有，，，，，，，
为保证数列的子数列中有，，，和，，，，则数列中一定有，，，，，，，，，
为保证数列的子数列中有，，，，数列中一定有，，，，，，，，，，
为保证数列的子数列中有，，，和，，，，则数列中一定有，，，，，，，，，，，，
故G．
【解析】根据数列的定义进行判断可得结论；
根据，；，；，，；，；，；；，；等数列都是的子数列，得到数列中一定有，，，，；，；，；，；，；等数列都为的子数列，得到数列中一定有，，，，，从而可得；
从集合中取出个不同的数排成一列，可得个数列，根据数列都是的子数列中应包含这个数列中的每一个数列可知数列中一定有，，，，，，，，，，，，从而可得．
本题考查数列的应用，正确理解数列的定义和的含义是解题关键．
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