第十八章 平行四边形单元测试卷（含解析）

人教版八年级下册数学单元测试卷
第十八章 平行四边形
（本试卷三个大题，25个小题。满分150分，考试时间120分钟。）
姓名 班级 学号 成绩
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分；每个小题只有一项符合题意。）
1．菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，那么边AB的长度 是（ ）
A．10 B．5 C． D．
2．在平行四边形中，若，则（　　　）
A． B． C． D．
3．将一张边长分别为8、6的矩形纸片ABCD折叠，使点C与A重合，则折痕的长为（ ）
A．6 B．6.5 C．7.5 D．10
4．下列说法中错误的是（ ）
A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B．等底等高三角形的面积相等
C．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
D．如果三角形两条边的长分别是a、b，第三边长为c，则有a2+b2=c2
5．若一个菱形的两条对角线长分别是5cm和10cm，则与该菱形面积相等的正方形的边长是（ ）
A．6cm B．5cm C． D．
6．如图，在菱形中，，则的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，的对角线、交于，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在中，垂直平分于点E，，，则的对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（　 　）
A．50° B．55° C．60° D．45°
11．如图，在矩形中，，交于点，于点，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
12．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，折痕交AB于点F，交CD于点G．若，，则AB的长为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分。）
13．如右图，带阴影的矩形面积是 ．

14．在平行四边形中，，，边上的高为4，则平行四边形周长等于 ．
15．如右图，在中，，，点D，E分别在边AB，AC上，且，，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，则线段MN的长为 ．
16．在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，作EF⊥CD于点F，连接BF，当，AE=时，则BF= ．
三、解答题（本题共9个小题，共98分。）
17．（10分） （1）化简：(2x+1)(2x﹣1)+(x+1)(1﹣2x)． （5分）
（2）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，E，F，M分别是AD，DC，AC的中点，连接EF，BM，求证：EF=BM． （5分）
18．（8分） 如图，小明准备建一个鲜花大棚，棚宽米，高米，长米，棚的斜面用矩形玻璃遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．

19．（10分） 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在轴，轴的正半轴上，顶点的坐标为，，求顶点的坐标．
20．（12分）如图，在边长为4的正方形中，点是边上一点，，连结，以为斜边作等腰，点在正方形内，连接；
(1)①_________；（4分）
②_________；（4分）
(2)求的长．（4分）
21．（10分）如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．
(1)求证：；（5分）
(2)若，，，求的长．（5分）
22．（12分）如图，边长为4的正方形ABCD中，点E在AD上，△ABE逆时针旋转一定角度后得到△ADF，延长BE交DF于点G，若AE＝3．
（1）指出旋转中心和旋转角度；（4分）
（2）求证：BG⊥DF；（4分）
（3）求线段GE的长．（4分）
23．（12分） 已知：如图，O正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．
(1)说明：△BCE≌△DCF；
(2)OG与BF有什么数量关系？说明你的结论；（6分）
(3)若BC·BD＝，求正方形ABCD的面积．（6分）
24．（12分） 如图，在中，点是边上的一个动点（点不与、两点重合），过点作直线，直线与的平分线相交于点，与（的外角）的平分线相交于点．
(1)与相等吗？为什么？（4分）
(2)探究：当点运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．（4分）
(3)在（2）中当等于多少时，四边形为正方形（不要求说理由）（4分）
25．（12分）如图1所示，平行四边形是苏州乐园某主题区域的平面示意图，A，B，C，D分别是该区域的四个入口，两条主干道，交于点O，请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题：
(1)若，你能判断的形状吗？请说明理由．（4分）
(2)在（1）的条件下，如图2，乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道，其中点M在上，点N在上，且（点M与点O，B不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植花期长久的马鞭草，求种植马鞭草区域的面积．（4分）
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(3)若将该区域扩大，如图3，此时，修建（2）中的绿道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值．（4分）21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案：
1．B
【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长.
【详解】解：根据题意，设对角线AC、BD相较于O，
∵四边形ABCD是菱形．
∴AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，
∴AB=5，
故选B.
【点睛】本题考查菱形的性质，要熟练掌握菱形对角线的性质，及勾股定理的灵活运用.
2．B
【分析】根据平行四边形的性质，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
3．C
【详解】如图，设折痕为EF，由题意可知：EF垂直平分AC，作EM⊥BC于M，
∴CE=AE，
设DE为x，则CE=AE=8-x，在Rt△CDE中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴DE=CM=,
同理可得：BF=，
∴MF=BC-BF-CM=，
在Rt△EFM中，由勾股定理可得：.
故选C.
点睛：在有关矩形的折叠问题中，需注意两个问题：（1）折叠前后的两个对应图形是关于折痕对称的，要充分利用轴对称的性质；（2）把已知量和要求的量集中到一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程来解题.
4．D
【分析】根据三角性有关的性质可逐一分析选项，即可得到答案.
【详解】A项正确，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；B项正确，等底等高三角形的面积相等；C项正确，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；D项错误如果三角形两条边的长分别是a、b，第三边长为c，则不一定是a2+b2=c2，有可能不是直角三角形.
【点睛】本题考查了三角形的的性质、三角形的面积及勾股定理相关的知识，学生针对此题需要认真掌握相关定理，即可求解.
5．B
【详解】∵菱形的两条对角线分别为5cm和10cm，
∴菱形的面积为：（cm2），
设正方形的边长为cm，则，解得：（cm）.
故选B.
6．B
【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，菱形的邻角互补求解即可．
【详解】解：∵在菱形中，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角，菱形的邻角互补是解题的关键．
7．C
【分析】根据平行四边形的性质可直接判断求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，
A、OA=OB，不一定成立，故该选项不符合题意；
B、AC=BD，不一定成立，故该选项不符合题意；
C、AB=CD，成立，故该选项符合题意；
D、，不一定成立，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8．A
【分析】根据正方形的性质可得，根据勾股定理即可求得，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
在中，，
∴正方形的面积．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解题的关键．
9．B
【分析】连接交于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出，即可推出，先利用勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】解：如图，连接交于点F．
∵垂直平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
在中，由勾股定理得，，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
10．A
【详解】延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：
在△BGF与△CPF中，
，
∴△BGF≌△CPF(ASA)，
∴GF=PF，
∴F为PG中点．
又∵由题可知，∠BEP=90°，
∴EF=PG，
∵PF=PG，
∴EF=PF，
∴∠FEP=∠EPF，
∵∠BEP=∠EPC=90°，
∴∠BEP ∠FEP=∠EPC ∠EPF，即∠BEF=∠FPC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠ABC=180° ∠A=80°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=(180° 80°)=50°，
∴∠FPC=50°；
故选A．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记性质并且作出辅助线求出EF=PF是解题的关键，也是本题的难点．
11．C
【分析】先根据三角形内角和求出，再根据矩形对角线相等且互相平分得到，再结合等边对等角计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
在矩形中，，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形内角和，等边对等角，解题的关键是利用矩形得到．
12．D
【分析】先求出AF和EF的长，再根据翻折变换的知识得到EF=BF， 进而求出AB的长.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A= 90°，AE= 1，∠AFE= 30°
∴EF= 2，AF=，
∵正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，
EF= BF，
BF= 2，
∴AB= AF+ BF=2+，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了翻折变换以及正方形的性质，解题的关键是根据翻折变换得到EF=BF，此题难度不大．
13．45
【分析】根据勾股定理可得直角三角形的另一条直角边的长度，然后根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】解：根据勾股定理知，图中直角三角形的另一直角边的长度为：，
∴，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查勾股定理，矩形面积，解题的关键在于正确的运用勾股定理求出矩形的长度．
14．20或12
【分析】根据题意分别画出图形，边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图1所示:

在平行四边形中，边上的高为4，，
, ,
,
,
的周长等于
如图2所示:

在中，边上的高为4，，
,
,
的周长等于：,
则的周长等于20或12，
故答案为：20或12．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论的方法是解题的关键．
15．5
【分析】作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，首先证明CH=BD，∠ECH=90°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可．
【详解】解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，
∵BD∥CH，∠A=90°，
∴∠B=∠NCH，∠ECH=∠A=90°，
在△DNB和△HNC中，
，
∴△DNB≌△HNC（ASA），
∴CH=BD=8，DN=NH，
∵CH=8，CE=6，
∴，
∵DM=ME，DN=NH，
∴MN=EH=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确添加辅助线、掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
16．5
【分析】先由，AE=求得CE=3，AC=4，再由正方形的性质及勾股定理求得BC=CD=4，进而求得CF=3，最后勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，AE=，
∴CE=3，AC=4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，，，
∴即，
∴BC=CD=4，
∵EF⊥CD，，
∴，
∴CF=EF，
∵EF⊥CD，
∴即
∴CF=3，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17．（1）2x2﹣x；（2）证明见解析．
【分析】（1）原式利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果；
（2）根据三角形的中位线定理和直角三角形斜边中线的性质可得结论．
【详解】（1）解：（2x+1）（2x-1）+（x+1）（1-2x）．
=4x2-1+x-2x2+1-2x，
=2x2-x；
（2）证明：∵E，F分别是AD，DC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF=AC，
∵AB⊥BC，M是AC的中点，
∴BM=AC，
∴EF=BM．
【点睛】本题属于计算和几何的综合题，考查了整式的混合运算，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握定理和性质是关键．
18．阳光透过的最大面积为平方米
【分析】勾股定理求出的长，进而求出矩形的面积，即可得解．
【详解】解：由图可知：，
∴米，
∴矩形玻璃的面积为：平方米；
∴阳光透过的最大面积为平方米．
【点睛】本题考查勾股定理，矩形的面积．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
19．顶点D的坐标为
【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，直角三角形的性质．根据直角三角形的性质得出，，再由正方形的性质得出，，过点D作x轴的垂线，垂足为E，再根据直角三角形的性质得出和的值，据此求解即可．
【详解】解：点A的坐标为，
，
∵，
∴，
∴，
在正方形中，，，
如图，过点D作x轴的垂线，垂足为E，则，
，
，，
，
顶点D的坐标为．
20．(1)①45°②3
(2)
【分析】（1）①等边对等角，得到，即可；
②勾股定理求出，再利用勾股定理求出的长即可；
（2）过点作，延长交于点，证明，得到，设，则：，在中勾股定理求出的值，进而求出的值，利用，求出的长，再利用勾股定理求的长即可．
【详解】（1）解：①∵以为斜边作等腰，
∴，
∴；
故答案为：45°；
②∵边长为4的正方形，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3．
（2）解：过点作于M，延长交于点，则：，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
设，则：，
在中，，
∴，解得：或（不合题意，舍去）；
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质，添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键．
21．(1)见详解．
(2)13
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质知识，
（1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得，．即可得到，．即可求证结论．
（2）过点A作，垂足为H，利用，可计算出的长度，结合（1）即可求出长度．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形．
∴，，．
∴，．
∵是的平分线，是的平分线．
∴，．
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
（2）过点A作，垂足为H，如图：
由（1）知，且，，
∴， ．
∵，
∴，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
22．（1）90°；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）根据图形和已知的△ABE旋转得到△ADF即可得出答案；
（2）由旋转的性质可得∠F＝∠AEB，由余角的性质可得结论；
（3）由勾股定理可求BE的长，再由△DGE∽△BAE可求GE的长．
【详解】（1）旋转中心是点A，旋转角度是90°；
（2）∵△ADF是由△ABE旋转得到，
∴△ADF≌△ABE，
∴∠F＝∠AEB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠F+∠ABE＝90°，
∴∠FGB＝90°，
∴BG⊥DF；
（3）∵正方形ABCD的边长是4，
∴AB＝4，
∴在Rt△ABE中，BE＝＝5，
∵AE=3，
∴DE=AD-AE=1．
∵∠DGE=∠BAE=90°，∠DEG=∠BEA，
∴△DGE∽△BAE，
∴
∴GE=
【点睛】本题综合考查了正方形的旋转，旋转的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生能根据旋转得出全等三角形，进一步推出角相等，同时考查学生观察图形的能力、猜想的能力．
23．（1）详见解析;（2）OG=BF;（3）正方形ABCD的面积=2
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法中SAS即可证得△BCE≌△DCF．
（2）因为O是BD的中点，结合已知条件，证明G是DF中点，利用中位线定理即可解题．
（3）要求正方形的面积，求出边长的平方即可，根据正方形的性质，可将BC·BD用x表示出来，即可求解．
【详解】（1）证明：在△BCE与△DCF中，
∵BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，CE=CF，
∴△BCE≌△DCF．
（2）OG=BF．
理由如下：∵△BCE≌△DCF，
∴∠CEB=∠F，
∵∠CEB=∠DEG，
∴∠F=∠DEG，
∵∠F+∠GDE=90°，
∴∠DEG+∠GDE=90°，
∴BG⊥DF，
∴∠BGD=∠BGF，
又∵BG=BG，∠DBG=∠FBG，
∴△BGD≌△BGF，
∴DG=GF，
即G为DF中点
∵O为正方形ABCD的中心，
∴DO=OB，
∴OG是△DBF的中位线，
∴OG=BF．
（3）设BC=x，则DC=x，BD=x，
∵BC·BD＝2
即x·x=2
解得x2=2
即：正方形ABCD的面积是2．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、中位线，灵活运用即可解题.
24．(1)相等，理由见详解
(2)是中点时，四边形是矩形，理由见详解
(3)时，四边形为正方形，理由见详解
【分析】（1）由平分，平分，可得，，再根据，可得，，即有，，则有，，问题得解；
（2）证明，且、互相平分，即可判断四边形是矩形，据此作答即可；
（3）根据对角线相互垂直的矩形是正方形作答即可．
【详解】（1），理由如下：
∵根据题意，有平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
（2）是中点时，四边形是矩形，理由如下：
在（1）已证明，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，且、互相平分，
∴四边形是矩形；
（3）当时，四边形为正方形，理由如下：
在（2）中已证明四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，矩形的判定，正方形的判定等知识，掌握平行线的性质是解答本题的关键．
25．(1)是等腰三角形，理由见解析
(2)
(3)万元
【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，进而可得，则是等腰三角形；
（2）根据已知条件可得，从而的值转化为求的值即可；
（3）如图所示，过点M作，过点A作交于P，则四边形是平行四边形，，同理可得，求出，进而推出当三点共线时，最小，即最小，最小值为，由勾股定理得，则，据此求解即可．
【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：连接、，如图：
在中，，
，
，
，，，
，
，
过点作于点，
，
，
，
；
．
种植马鞭草区域的面积为．
（3）解：如图所示，过点M作，过点A作交于P，则四边形是平行四边形，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即最小，最小值为，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴修建这三条绿道投入资金的最小值为万元．