【七下专项突破讲练】专题11.1 不等式及其性质（知识梳理与考点分类讲解）（含解析）

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专题11.1 不等式及其性质（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
【知识点二】不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
【知识点三】不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
【考点目录】
【考点1】不等式的概念； 【考点2】不等式的解及解集；
【考点3】不等式的基本性质; 【考点4】不等式基本性质的应用.
【考点1】不等式的概念；
【例1】判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式．
； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）52；（7）．
【变式1】公路旁边的汽车最高限速标志牌上的数字，指的是汽车在该路段的最高时速不能超过这个数（单位：）．如果某个最高限速标志牌如图所示，用x（单位：）表示该路段汽车时速，则下列不等式对此标志解释正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】“的减去的差不小于”用不等式表示为 ．
【考点2】不等式的解及解集；
【例2】关于x的两个不等式x+1<7 2x与 1+x（1）若两个不等式解集相同，求a的值；
（2）若不等式x+1<7 2x的解都是 1+x【变式1】下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个
【变式2】在中，已知，，的取值范围在数轴上表示如图所示，则的长为
【考点3】不等式的基本性质；
【例3】将下列不等式化为“”或“”的形式．
（1）； （2）； （3）．
【变式1】若，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．； B． C． D．
【变式2】如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是 ，的取值范围是 ．
【考点4】不等式基本性质的运用.
【例4】（1）请认真阅读并完成填空：
根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
①如果，那么______；
②如果，那么______；
③如果，那么______．
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”；
（2）请运用这种方法尝试解决下面的问题：比较与的大小．
【变式1】已知，，，均为的三条边，且，则下列结论：①；②；③；④，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子：①；②；③；④．其中正确的有 （填上序号）
专题11.1 不等式及其性质（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
【知识点二】不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2.不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
3.不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：
【知识点三】不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
【考点目录】
【考点1】不等式的概念； 【考点2】不等式的解及解集；
【考点3】不等式的基本性质; 【考点4】不等式基本性质的应用.
【考点1】不等式的概念；
【例1】判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式．
； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）52；（7）．
【答案】等式有：（3）（5），不等式有：（2）（4）（7），既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）．
【分析】根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号（）连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子．
解：等式有：（3）（5）， 不等式有：（2）（4）（7）， 既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）．
【点拨】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键．
【变式1】公路旁边的汽车最高限速标志牌上的数字，指的是汽车在该路段的最高时速不能超过这个数（单位：）．如果某个最高限速标志牌如图所示，用x（单位：）表示该路段汽车时速，则下列不等式对此标志解释正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了列不等式．根据最高限速标志牌的意义，即可求解．
解：根据题意得：不等式对此标志解释正确的是．
故选：B
【变式2】“的减去的差不小于”用不等式表示为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查根据题意列不等式，掌握不等式的表示是解题的关键．注意不小于包含了大于或等于．
解：根据题意列不等式得，，
故答案为：
【考点2】不等式的解及解集；
【例2】关于x的两个不等式x+1<7 2x与 1+x（1）若两个不等式解集相同，求a的值；
（2）若不等式x+1<7 2x的解都是 1+x【答案】(1) a=1； (2) a≥1．
【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可；
（2）根据不等式x+1<7 2x的解都是 1+x（1）解：由x+1<7 2x得：x＜2，
由 1+x由两个不等式的解集相同，得到a+1=2，
解得：a=1；
（2）解：由不等式x+1<7 2x的解都是 1+x得到2≤a+1，
解得：a≥1．
【点拨】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解．
【变式1】下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．
解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意；
B、∵，故错误，不符合题意；
C、正确，符合题意；
D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况．
【变式2】在中，已知，，的取值范围在数轴上表示如图所示，则的长为
【答案】
【分析】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据题意，写出的取值范围，设，分两种情况讨论，若时和若时，由三角形三边关系结合即可解题．
解：在中，设
，
若时
由题意得
，
解得，
若时，
由题意得
，（不符合题意，舍去）
故答案为：．
【点拨】本题考查三角形三边关系，涉及一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【考点3】不等式的基本性质；
【例3】将下列不等式化为“”或“”的形式．
（1）； （2）； （3）．
【答案】(1)； (2)； (3)
【分析】本题考查了不等式的基本性质：
（1）不等式两边同时减去6，即可求解； （2）不等式两边同时除以，即可求解；
（3）不等式两边同时减去，即可求解；熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
（1）解：不等式两边同时减去6，
得：，
解得：．
（2）不等式两边同时除以，
得：，
解得：．
（3）不等式两边同时减去，
得：，
解得：．
【变式1】若，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．； B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
解：、∵，
∴一定成立，此选项符合题意；
、∵，
∴，一定成立，此选项符合题意；
、∵，
∴，一定成立，此选项符合题意；
、当时，得，故原说法不成立，此选项符合题意；
故选：．
【变式2】如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是 ，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，根据题意得出，，即可求解．
解：因为不等式的解集是，
所以，，
所以，．
故答案为：，．
【考点4】不等式基本性质的运用.
【例4】（1）请认真阅读并完成填空：
根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
①如果，那么______；
②如果，那么______；
③如果，那么______．
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”；
（2）请运用这种方法尝试解决下面的问题：比较与的大小．
【答案】（1）①；②；③；（2）
【分析】本题考查阅读理解，涉及等式和不等式的基本性质、整式加减运算等知识，读懂（1）中“求差法比较大小”，灵活运用是解决问题的关键．
（1）根据等式和不等式的基本性质，移项即可得到答案；
（2）由（1）中“求差法比较大小”，由，计算后与比较大小即可得到答案．
解：（1）根据等式和不等式的基本性质，移项可得：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么；
故答案为：①；②；③；
（2）
，
，
，即．
【变式1】已知，，，均为的三条边，且，则下列结论：①；②；③；④，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” ，不等式的性质“两边都加上或减去同一个数或同一个式子,不等号的方向不变；两边都乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变；两边都乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变”，逐项判断即可得到结论．
解：①，
，
，故①错误；
②为的三条边，
，
，
，
，故②正确；
③，，均为的三条边，
，，
，故③正确；
④，，均为的三条边，
，
当时，，
故④错误，
综上可知，正确的个数有2个，
故选B．
【变式2】在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子：①；②；③；④．其中正确的有 （填上序号）
【答案】①②
【分析】本题主要考查了数轴及不等式的性质，先确定的关系，再运用不等式的性质判定大小，解题的关键是运用不等式的性质判定大小．
解：由数轴上数的位置可得，
①∵，
∴，故①正确，符合题意；
②∵，
∴，故②正确，符合题意；
③∵，
∴，故③错误，不符合题意；
④∵，
∴
∴，故④错误，不符合题意．
故选答案为：①②
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