【七下专项突破讲练】专题11.3 一元一次不等式（知识梳理与考点分类讲解）（含解析）

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专题11.3 一元一次不等式（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，
特别提醒：
（1）一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式（单项式或多项式）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
【知识点二】一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.
特别提醒：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
3.不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．
特别提醒： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．
【考点目录】
【考点1】一元一次不等式的概念认识及其解集； 【考点2】求一元一次不等式的解集； 【考点3】求一元一次不等式的整数解; 【考点4】求一元一次不等式的最值;
【考点5】一元一次不等式中的参数问题; 【考点6】一元一次不等式中的应用.
【考点1】一元一次不等式的概念认识及其解集；
【例1】已知是关于x的一元一次不等式．
（1）求m的值．
（2）求出原一元一次不等式的解集．
【变式1】若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是( )
A． B． C． D．
【变式2】当 时，不等式是关于x的一元一次不等式．
【考点2】求一元一次不等式的解集；
【例2】解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．
(1)；
(2)
【变式1】不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ．
【考点3】求一元一次不等式的整数解；
【例3】设三个有理数2，，的和为W．
（1）当时，求W的值；
（2）若W不大于，求a的负整数解．
【变式1】一元一次不等式3（7﹣x）≥1＋x的正整数解有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式2】不等式的非负整数解是 ．
【考点4】求一元一次不等式的最值；
【例4】已知、满足和，求的最小值．
【变式1】按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（　　）．
A．1，7 B．2，7 C．1， D．2，
【变式2】x＞1的最小整数值是m，y≤2 017的最大值是n，则m＋n＝ ．
【考点5】一元一次不等式的参数问题；
【例5】已知关于的方程组的解，则m的取值范围是多少？
【变式1】若关于的不等式的解集如图所示，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【变式2】若不等式与不等式有相同的解集，则m的值为 ．
【考点6】一元一次不等式的应用；
【例6】为了丰富学生的假期生活，美丽中学准备购买生物学、地理两科寒假作业．已知买10本生物学和40本地理学的费用是1900元，购买30本生物学和20本地理学的费用是2200元．
（1）生物学和地理寒假作业的单价分别是多少？
（2）若学校是地理强校，教研能力较强；若需要共购买600本生物学和地理的作业，并且支出不超过26000元，则能购买生物学寒假作业至多能买多少本？
【变式1】某品牌手机在春节期间进行销售，其中某款手机进价为1600元/部，标价为2500元/部．现在进行打折促销，但要保证利润率不低于，则最低打（ ）
A．六折 B．七折 C．八折 D．九折
【变式2】2024年3月22日是第32个世界水日，我国纪念2024年“世界水日”活动主题为“精打细算用好水资源，从严从细管好水资源”．光明中学举办了水资源知识竞赛．竞赛中共有25道试题，答对1题得4分，不答或答错1题扣2分．若皓皓本次竞赛的得分不低于80分，则他至少答对 道题．
专题11.3 一元一次不等式（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，
特别提醒：
（1）一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式（单项式或多项式）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
【知识点二】一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.
特别提醒：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
3.不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．
特别提醒： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．
【考点目录】
【考点1】一元一次不等式的概念认识及其解集； 【考点2】求一元一次不等式的解集； 【考点3】求一元一次不等式的整数解; 【考点4】求一元一次不等式的最值;
【考点5】一元一次不等式中的参数问题; 【考点6】一元一次不等式中的应用.
【考点1】一元一次不等式的概念认识及其解集；
【例1】已知是关于x的一元一次不等式．
（1）求m的值．
（2）求出原一元一次不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元一次不等式的定义，，，分别进行求解即可．
（2）代入m的值，利用解一元一次不等式的一般步骤求解即可．
解：（1）解：根据题意，解得，，
所以．
（2）解：原一元一次不等式为，
移项得，
合并同类项得，
解得．
【点睛】题考查了一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【变式1】若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】略
【变式2】当 时，不等式是关于x的一元一次不等式．
【答案】
【分析】
本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据未知数的次数等于1且系数不鞥与0列式求解即可．
解：解：∵不等式是关于x的一元一次不等式
∴且，
∴．
故答案为：．
【考点2】求一元一次不等式的解集；
【例2】解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．
(1)；
(2)
【答案】(1)，数轴表示见解析
(2)，数轴表示见解析
【分析】
本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1．
（1）移项，合并同类项，化系数1，据此求解；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1，据此求解．
解：（1）解：
不等式的解集在数轴上表示如下：
（2）解：
．
不等式的解集在数轴上表示如下：
【变式1】不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤，去分母，移项、合并同类项、系数化为可得不等式解集，再将不等式解集表示在数轴上即可．
解：解：，
去分母得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1得：，
解集在数轴上表示为：

故选：．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，将不等式解集表示在数轴上，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
【变式2】若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的解法，把方程组的解求出，即用k表示出x、y，代入不等式，转化为关于k的一元一次不等式，可求得k的取值范围．
解：解：
由可得：，
所以：
把③代入②得：，
解得：，
代入可得：，
解得：，
故答案为：．
【考点3】求一元一次不等式的整数解；
【例3】设三个有理数2，，的和为W．
（1）当时，求W的值；
（2）若W不大于，求a的负整数解．
【答案】(1)
(2)，，
【分析】本题考查有理数的混合运算及解不等式，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据题意直接列式计算即可；
（2）根据题意列出式子，然后求解不等式即可．
解：（1）解：当时，
．
（2）∵，
当W不大于时，
．
解得．
a的负整数解有，，．
【变式1】一元一次不等式3（7﹣x）≥1＋x的正整数解有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集，根据解集得出答案即可．
解：解：
∴
所以不等式的正整数解为1，2，3，4，5，共5个，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式的正整数解的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键．
【变式2】不等式的非负整数解是 ．
【答案】0，1，2
【分析】根据一元一次不等式的解法步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案．
解：解：，
去分母得，
去括号得，
移项、合并同类项得，
系数化为1得，
取非负整数，
不等式的非负整数解是0，1，2，
故答案为：0，1，2．
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法步骤，熟记解一元一次不等式步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解决问题的关键．
【考点4】求一元一次不等式的最值；
【例4】已知、满足和，求的最小值．
【答案】3
【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可．
解：解方程组，得，
∵，
∴，即，
解得：，
∴的最小值为3．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键．
【变式1】按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（　　）．
A．1，7 B．2，7 C．1， D．2，
【答案】A
【分析】把代入计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使的值小于20的最大整数x．
解：当时，第1次运算结果为，
∴当时，输出结果是1；
由题意，得
，
解得，
∴使代数式的值小于20的最大整数x是7，
故选A．
【点睛】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键．
【变式2】x＞1的最小整数值是m，y≤2 017的最大值是n，则m＋n＝ ．
【答案】2019
【分析】根据x＞1的最小整数值是m得出m＝2；，y≤2 017的最大值是n，得出n＝2017，再进代入值进行m＋n的计算.
解：由题意得x＞1的最小整数值是m得出m＝2；，y≤2 017的最大值是n，得出n＝2017.
所以m＋n＝2＋2017＝2019.
故答案为2019.
【点睛】本题考查的是从取值范围中取出条件的值的方法，熟练掌握取值方法是本题的解题关键.
【考点5】一元一次不等式的参数问题；
【例5】已知关于的方程组的解，则m的取值范围是多少？
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式等知识点，先解方程组求出的值，根据列出关于m的不等式，求解即可，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
解：，
，得，
把代入②得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式1】若关于的不等式的解集如图所示，则的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据题意得到关于m的方程是解答此题的关键．
由不等式，结合数轴知，从而得到，解方程即可．
解：解：由数轴得，
∴，
解得：，
故选：B．
【变式2】若不等式与不等式有相同的解集，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查同解不等式，求出两个不等式的解，根据解相同，列出关于的方程，进行求解即可．
解：解：解得：，
解，得：，
∵两个不等式的解集相同，
∴，解得：；
故答案为：．
【考点6】一元一次不等式的应用；
【例6】为了丰富学生的假期生活，美丽中学准备购买生物学、地理两科寒假作业．已知买10本生物学和40本地理学的费用是1900元，购买30本生物学和20本地理学的费用是2200元．
（1）生物学和地理寒假作业的单价分别是多少？
（2）若学校是地理强校，教研能力较强；若需要共购买600本生物学和地理的作业，并且支出不超过26000元，则能购买生物学寒假作业至多能买多少本？
【答案】(1)生物学和地理寒假作业的单价分别50元，35元
(2)至多能买333本
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，不等式的应用，根据数量关系列出方程组和不等式是解题的关键．
（1）设生物学和地理寒假作业的单价分别x元，y元．根据题意，列出方程组求解即可．
（2）设购买生物学寒假作业m本，根据题意，列出不等式，求整数解即可．
解：（1）解：设生物学和地理寒假作业的单价分别x元，y元，
根据题意，得，
解得，
答：生物学和地理寒假作业的单价分别50元，35元；
（2）解：设购买生物学寒假作业m本，
根据题意，得，
解得，
答：购买生物学寒假作业至多能买333本．
【变式1】某品牌手机在春节期间进行销售，其中某款手机进价为1600元/部，标价为2500元/部．现在进行打折促销，但要保证利润率不低于，则最低打（ ）
A．六折 B．七折 C．八折 D．九折
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设该款手机打折，根据“利润率不低于”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案，理解题意，找准不等关系，正确列出不等式是解此题的关键．
解：解：设该款手机打折，
根据题意，得，
解得，
故最低打八折销售．
故选：C．
【变式2】2024年3月22日是第32个世界水日，我国纪念2024年“世界水日”活动主题为“精打细算用好水资源，从严从细管好水资源”．光明中学举办了水资源知识竞赛．竞赛中共有25道试题，答对1题得4分，不答或答错1题扣2分．若皓皓本次竞赛的得分不低于80分，则他至少答对 道题．
【答案】22
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意得到不等式关系．设皓皓至少答对了x答题，根据“皓皓本次竞赛的得分不低于80分”列出不等式，即可求解．
解：解：设皓皓至少答对了x答题，
根据题意得：，
解得：，
∵x为整数，
∴，
∴皓皓至少答对22答题．
故答案为：22
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