【七下专项突破讲练】专题11.5 一元一次不等式组（知识梳理与考点分类讲解）（含解析）

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专题11.5 一元一次不等式组（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】不等式组的概念
定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．
特别提醒：
(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．
(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．
【知识点二】解一元一次不等式组
1.一元一次不等式组的解集：
一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．
特别提醒：
(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．
(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．
2.一元一次不等式组的解法
解不等式组就是求它的解集，解一元一次不等式组的方法步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．
【知识点二】一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．
特别提醒：
(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．
(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数．
【考点目录】
【考点1】一元一次不等式组概念认识及其解集； 【考点2】求一元一次不等式组解集；
【考点3】求一元一次不等式组整数解; 【考点4】解特殊一元一次不等式组;
【考点5】由一元一次不等式组求参数问题; 【考点6】一元一次不等式组与方程综合问题; 【考点7】一元一次不等式组中的应用.
【考点1】一元一次不等式组的概念认识及其解集；
【例1】已知关于x，y的方程组
（1）当时，求y的值； （2）若，求k的取值范围.
【变式1】（22-23七年级下·全国·课时练习）下列选项中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（17-18七年级下·全国·单元测试）写出解集是－1＜x≤3的一个不等式组： ．
【例2】（23-24八年级下·山西太原·阶段练习）解下列不等式组，并把解集表示在数轴上．
(1)； (2)
【变式1】（2024·广东江门·一模）不等式组的解集为（ ）
A．无解 B． C． D．
【变式2】（2023年四川省宜宾市中考数学模拟预测题）若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是 ．
【考点3】求一元一次不等式组整数解；
【例3】（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）解一元一次不等式组：
解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）不等式组的最小正整数解是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）满足不等式组的最小整数解是 ．
【考点4】解特殊一元一次不等式组；
【例4】（21-22七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式的解题思路：
由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得：
①或②，
解不等式组①得，
解不等式组②得，
等式的解集为或
请利用上面的解题思路解答下列问题：
(1)求出的解集；
(2)求不等式的解集．
【变式1】（20-21七年级下·福建龙岩·期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23八年级上·全国·课时练习）要使方程组有正整数解，则整数a有 个．
【考点5】由一元一次不等式组的解集求参数问题；
【例5】（22-23七年级下·安徽滁州·期中）已知关于m、n的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组恰好有4个整数解．
(1)求方程组的解（用含有y的式子表示）；
(2)求所有符合上述条件的整数y的个数______．
【变式1】（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·河南商丘·二模）若不等式组无解，则的取值范围是 ．
【考点6】一元一次不等式组与方程综合问题；
【例6】（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知关于x、y的方程组．
(1)若此方程组的解满足，求a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值．
【变式1】（2023·湖南邵阳·二模）若方程组的解满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（21-22八年级下·贵州·期末）若不等式组的解集是，则 ．
【考点7】一元一次不等式组应用问题；
【例7】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）新能源汽车因其废气排放量比较低，被越来越多的家庭所喜爱，老疆车行销售甲、乙两种型号的新能源汽车，十月的第一周售出1辆甲型车和3辆乙型车，销售额为65万元；第二周售出4辆甲型车和5辆乙型车，销售额为155万元．
(1)求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？
(2)茅溪科技发展有限公司准备向老疆车行购买甲、乙两种型号的新能源汽车共8辆，其购车费用不少于145万元，且不超过153万元，问有哪几种购车方案？
【变式1】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4个，则剩下9个橘子：若每人分6个，则最后一个孩子有分到橘子但少于3个，则可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于100”为一次运算，若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，则m的取值范围为 ．

专题11.5 一元一次不等式组（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】不等式组的概念
定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．
特别提醒：
(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．
(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．
【知识点二】解一元一次不等式组
1.一元一次不等式组的解集：
一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．
特别提醒：
(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．
(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．
2.一元一次不等式组的解法
解不等式组就是求它的解集，解一元一次不等式组的方法步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．
【知识点二】一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．
特别提醒：
(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．
(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数．
【考点目录】
【考点1】一元一次不等式组概念认识及其解集； 【考点2】求一元一次不等式组解集；
【考点3】求一元一次不等式组整数解; 【考点4】解特殊一元一次不等式组;
【考点5】由一元一次不等式组求参数问题; 【考点6】一元一次不等式组与方程综合问题; 【考点7】一元一次不等式组中的应用.
【考点1】一元一次不等式组的概念认识及其解集；
【例1】已知关于x，y的方程组
（1）当时，求y的值； （2）若，求k的取值范围.
【答案】（1）x=1,y=6；（2）
【分析】（1） 先求出不等式组的解，再将x=1代入即可解答 （2）先解得不等式组的解集，再根据不等式的性质，即可求得k的取值范围
（1）解：
①+②可得：
∵
∴
（2）方法一： 由方程组解得：
∵
∴
∴
方法二：②-①可得：
∵
∴
∴
∴
【点拨】本题考查不等式组，熟练掌握不等式组的性质及运算法则是解题关键.
【变式1】（22-23七年级下·全国·课时练习）下列选项中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】略
【变式2】（17-18七年级下·全国·单元测试）写出解集是－1＜x≤3的一个不等式组： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题为开放性题，按照口诀大小小大中间找列不等式组即可．如：根据“大小小大中间找”可知只要写2个一元一次不等式x≤a，x＞b，其中a＞b即可．
解：根据解集-1＜x≤3，构造的不等式组为 ．注意答案不唯一．
故答案为此题答案不唯一．
【点拨】此题主要考查了一元一次不等式组的解集与不等式组之间的关系．解不等式组的简便求法就是用口诀求解，构造已知解集的不等式组是它的逆向运用．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
【考点2】求一元一次不等式组的解集；
【例2】（23-24八年级下·山西太原·阶段练习）解下列不等式组，并把解集表示在数轴上．
(1)； (2)
【答案】(1)，数轴表示见解析；(2)，数轴表示见解析．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
（）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可；
（）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可；
解：，
解得，，
解得，，
∴不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示为：
（2）解：解得，，
解得，，
∴不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示为：
【变式1】（2024·广东江门·一模）不等式组的解集为（ ）
A．无解 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可．
解：
解不等式①得：；
解不等式②得：；
∴不等式组的解集为：，
故选：D．
【变式2】（2023年四川省宜宾市中考数学模拟预测题）若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤．
先分别求解两个不等式，再根据不等式组无解得出，即可解答．
解：，
由①可得：，
由②可得：，
∵原不等式组无解，
∴，
解得：，
故答案为：．
【考点3】求一元一次不等式组整数解；
【例3】（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）解一元一次不等式组：
解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】(1)，非负整数解为：0，1，2，3；(2)，在数轴上表示见解析
【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式的解集，求出非负整数解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式组的解集为：，
所以不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3
（2），
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
．
【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）不等式组的最小正整数解是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查不等式组的含参问题，明确不等式组有解的情况是解决本题的关键．求出不等式组的解集，再根据数轴求出最小正整数解即可．
解：，
由不等式①得，
由不等式②得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的最小正整数解是1．
故选：A．
【变式2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）满足不等式组的最小整数解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出不等式组的最小整数解即可．
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的最小整数解为，
故答案为：．
【考点4】解特殊一元一次不等式组；
【例4】（21-22七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式的解题思路：
由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得：
①或②，
解不等式组①得，
解不等式组②得，
等式的解集为或
请利用上面的解题思路解答下列问题：
(1)求出的解集；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)； (2)或
【分析】（1）根据实数的乘法法则以及解一元一次不等式组解决此题．（2）根据实数的除法法则以及解一元一次不等式组解决此题．
解：（1）由两数相乘，异号为负，得：
①或②，
解不等式组①，无解；解不等式组②，
的解集为
（2）由两数相除，同号为正，得：
①或②，
解不等式组①，；解不等式组②，
不等式的解集为或
【点拨】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．
【变式1】（20-21七年级下·福建龙岩·期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可．
解：∵[]=2，
∴由题意得2≤＜3，
解得5≤x＜7，
故选：D．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的关键．
【变式2】（22-23八年级上·全国·课时练习）要使方程组有正整数解，则整数a有 个．
【答案】4
【分析】先解方程组，用含a的代数式表示出方程组的解，根据方程组有正整数解求出a的范围，再求出符合的整数a即可．
解：，
由②得：③，
把③代入①得：，
解得：，
把代入③得：，
即方程组的解是，
∵方程组有正整数解，
∴，
解得：，
∴整数a有，，0，4，共4个，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．
【考点5】由一元一次不等式组的解集求参数问题；
【例5】（22-23七年级下·安徽滁州·期中）已知关于m、n的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组恰好有4个整数解．
(1)求方程组的解（用含有y的式子表示）；
(2)求所有符合上述条件的整数y的个数______．
【答案】(1)； (2)1
【分析】（1）利用加减法解方程组; （2）由得，解不等式组得，利用恰好有4个整数解得，由此求出y的取值范围，得到答案．
解：（1）解方程组，
①＋②，得，
∴，
将代入①，得，
∴
得：；
（2）∵，∴，
解得：，
解不等式组得，
∵关于x的不等式组的解集中，恰好有4个整数解，
∴，
解得：，
∵，∴，
∴符合条件的整数y只有0，
∴只有1个，
故答案为：．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，正确掌握各解法是解题的关键．
【变式1】（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别算出每个不等式，再取它们的公共解集，与作比较，即可作答．
解：∵关于x的不等式组
∴，得
，得
∵解集为
根据小小取小
∴
故选：C
【变式2】（2023·河南商丘·二模）若不等式组无解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了不等式组的无解，根据无解的定义结合，即可作答．
解：∵不等式组无解，
∴的取值范围是
故答案为：
【考点6】一元一次不等式组与方程综合问题；
【例6】（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）已知关于x、y的方程组．
(1)若此方程组的解满足，求a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值．
【答案】(1)；(2)、0
【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式；
（1）根据列出关于的不等式，可解得的范围；
（2）结合（1），由为整数，可得的值．
解：（1），
①②得：，
，
，
，
解得；
（2）关于的不等式的解集为，
，
，
，
，
满足条件的的整数值是、0．
【变式1】（2023·湖南邵阳·二模）若方程组的解满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将方程组两个方程相加，表示出，代入求解即可；
解：，
得：，
，
，
即：，
．
故选：A．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解方程组与不等式组的步骤是解题关键．
【变式2】（21-22八年级下·贵州·期末）若不等式组的解集是，则 ．
【答案】
【分析】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于，的方程，然后求出，的值，最后代入代数式进行计算即可得解．
解：由，
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组的解集为：，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
【点拨】此题考查了一元一次不等式组解集的求法、解一次方程以及代数式求值，根据不等式组的解集列出关于，的方程是解题的关键．
【考点7】一元一次不等式组应用问题；
【例7】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）新能源汽车因其废气排放量比较低，被越来越多的家庭所喜爱，老疆车行销售甲、乙两种型号的新能源汽车，十月的第一周售出1辆甲型车和3辆乙型车，销售额为65万元；第二周售出4辆甲型车和5辆乙型车，销售额为155万元．
(1)求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？
(2)茅溪科技发展有限公司准备向老疆车行购买甲、乙两种型号的新能源汽车共8辆，其购车费用不少于145万元，且不超过153万元，问有哪几种购车方案？
【答案】(1)每辆甲型车的售价为20万元，每辆乙型车的售价为15万元
(2)有两种购车方案：方案一：购买甲型车5辆，购买乙型车3辆，此时的费用是145万元，；方案二：购买甲型车6辆，购买乙型车2辆，此时的费用是150万元；
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次不等式的应用：
（1）设每辆甲型车的售价为x万元，每辆乙型车的售价为y万元，根据“第一周售出1辆甲型车和3辆乙型车，销售额为65万元；第二周售出4辆甲型车和5辆乙型车，销售额为155万元”列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲型车a辆，则购买乙型车为辆，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
（1）解：设每辆甲型车的售价为x万元，每辆乙型车的售价为y万元，根据题意得：
解得：，
答：每辆甲型车的售价为20万元，每辆乙型车的售价为15万元；
（2）解：设购买甲型车a辆，则购买乙型车为辆，依题意得：
，
解得：
∵a为正整数，
∴a取5或6．
∴有两种购车方案：
方案一：购买甲型车5辆，购买乙型车3辆，此时的费用是145万元，；
方案二：购买甲型车6辆，购买乙型车2辆，此时的费用是150万元；
【变式1】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）将一筐橘子分给几个儿童，若每人分4个，则剩下9个橘子：若每人分6个，则最后一个孩子有分到橘子但少于3个，则可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查根据实际问题列出不等式组，设有个儿童，得到共有个橘子，再根据最后一个孩子有分到橘子但少于3个，列出不等式组即可．
解：设有个儿童，由题意，得：；
故选B．
【变式2】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于100”为一次运算，若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，则m的取值范围为 ．

【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解程序表达的意思列式是解题的关键．根据“若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，”列式，然后解不等式，即可作答．
解：∵结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，
∴
由，得；
由，得
即
故答案为：
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