山东省临沂市费县第一中学2023-2024学年高二下学期学情检测一数学试卷（含解析）

费县第一中学2023-2024学年高二下学期学情检测一数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知函数,则( )
A. B.1 C. D.
2．设,分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当时,．且,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
3．设函数的导数为,且,则( )
A.0 B.4 C.-2 D.2
4．函数的导数为( )
A. B.
C. D.
5．已知,为的导函数,则的图像大致是( )
A. B.
C. D.
6．已知是函数的导数,且,,,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7．设点P在曲线上,点Q在直线上,则的最小值为( )
A. B. C. D.
8．若过点可以作曲线的两条切线,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修排气扇恢复正常,排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm,继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（单位：ppm）与排气时间t（单位：分）之间满足函数关系,其中（R为常数）.若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm,人就可以安全进入车库了,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.排气12分钟后,人可以安全进入车库
D.排气32分钟后,人可以安全进入车库
10．设函数,则下列说法正确的是( )
A.没有零点 B.当时,的图象位于x轴下方
C.存在单调递增区间 D.有且仅有两个极值点
11．已知函数,则( )
A.在单调递增
B.有两个零点
C.曲线在点处切线的斜率为
D.是偶函数
三、填空题
12．某个弹簧振子在振动过程中位移y（单位：）与时间t（单位：s）之间的关系,则该振子在时的瞬时速度为___________.
13．已知函数在R上可导,函数,则____________．
14．当时,不等式恒成立,则实数k的取值范围是__________．
四、解答题
15．已知函数在点处的切线方程为．
（1）求实数k和m的值;
（2）求在上的最大值（其中e是自然对数的底数）．
16．某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（单位：）关于行驶速度x（单位：）满足函数关系．已知甲、乙两地相距．问：当汽车保持怎样的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最小？
17．已知函数,.
（1）若,求函数在处的切线方程;
（2）讨论函数的单调性．
18．已知函数,.
（1）讨论的单调性;
（2）若对任意,都有成立,求实数a的取值范围.
19．已知函数
（1）求函数的单调区间及极值;
（2）若满足,求证：
参考答案
1．答案：B
解析：由导数的定义可知,
又,
故,
故选：B.
2．答案：D
解析：令,则,
因此函数在R上奇函数．
①当时,,在时单调递增,
故函数在R上单调递增．
,
,
．
②当时,函数在R上是奇函数,可知：在上单调递增,且（3）,
,的解集为．
③当时,,不符合要求
不等式的解集是．
故选：D.
3．答案：C
解析：由,
令得,
解得.
故选：C.
4．答案：B
解析：x
故选：B.
5．答案：B
解析：,为奇函数,则函数的图像关于原点对称,排除选项A、D,
令,,
当,,在递减,
故选：B．
6．答案：D
解析：设,因为,所以,
对函数求导,得,因为,所以,
所以函数是实数集上的增函数,
因此由.
故选：D.
7．答案：B
解析：令,得,代入曲线,
所以的最小值即为点到直线的距离.
故选：B.
8．答案：D
解析：在曲线上任取一点,对函数求导得,
所以,曲线在点处的切线方程为,即,
由题意可知,点在直线上,可得,
令,则.
当时,,此时函数单调递增,
当时,,此时函数单调递减,
所以,,
由题意可知,直线与曲线的图象有两个交点,则,
当时,,当时,,作出函数的图象如下图所示：
由图可知,当时,直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示,根据直观即可判定点在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
9．答案：BD
解析：
,符合要求
又
,故B正确,A错误;
,当时,
,,
,
故D正确,C错误.
故选BD.
10．答案：BC
解析：函数的定义域为,
,
令,则,
所以函数在上递减,
又,,
所以存在上,使得,即函数有唯一零点,且,
当时,,即,函数递增,故C正确;
当时,,即,函数递减,
所以为函数的极大值点,无极小值点,
即有且仅有一个极值点,故D错误;
所以,
又,所以函数在上存在一个零点,故A错误;
当时,,,所以,
即当时,的图象位于轴下方,故B正确.
故选：BC.
11．答案：AC
解析：由知函数的定义域为,
,
当时,,,
故在单调递增,A正确;
由,当时,,
当,所以只有0一个零点,B错误;
令,,故曲线在点处切线的斜率为,C正确;
由函数的定义域为,不关于原点对称知,不是偶函数,D错误.
故选：AC.
12．答案：0
解析：因,
所以求导得,
所以根据导数的几何意义得该振子在时的瞬时速度为
故答案为：0.
13．答案：0
解析：,
,
．
故答案为：0.
14．答案：
解析：根据数形结合,和都过原点,
要,则,
当在原点处相切时,由,得,
所以切线的斜率为,
所以不等式恒成立,只需,
即实数k的取值范围是
故答案为：.
15．答案：（1）,
（2）
解析：（1）因为
所以,
由题意可得,,
解得:,.
（2）由(1)可得,
所以,且,
易得,当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
又,,且,
即最大值为：.
16．答案：当汽车保持的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最小
解析：当行驶速度为时,汽车从甲地到乙地的行驶时间为,
设耗油量为,则,
,
恒成立,当时,;当时,;
在上单调递减,在上单调递增,
,
当汽车保持的速度匀速行驶时,从甲地到乙地的耗油量最小.
17．答案：（1）
（2）在R上单调递增
解析：（1）时,
所以,,
所以函数在处的切线方程为,
整理得.
所以函数在处的切线方程是：.
（2）因为,,
所以
令,即
,
当时,即时,恒成立,此时在R上单调递增.
当时,即或时,解得
所以当时或
当时,
此时在单调递减,
单调递增区间为,.
18．答案：（1）当时,在上,是减函数,当时,在上,是减函数,在上,是增函数;
（2）
解析：（1）函数的定义域为
又
当时,在上,,是减函数
当时,由得：或（舍）
所以：在上,,是减函数
在上,,是增函数
（2）对任意,都有成立,即：在上
由（1）知：当时,在上f（x）是减函数,
又,不合题意
当时,当时,取得极小值也是最小值,
所以：
令
所以：
在上,,是增函数又
所以：要使得,即,即,
故：a的取值范围为.
19．答案：（1）函数的单调递增区间：,函数的单调递减区间：,极小值6,无极大值;
（2）证明过程见解析.
解析：（1）因为,所以
当时,;当时,;
故函数的单调递增区间：,函数的单调递减区间：,
所以函数在处取得极小值,无极大值.
（2）因且,由（1）可知,异号
不妨设,,则
令,
则,因为,所以
所以在上增函数,因为,则,
则,则
又,所以,
又因为,,且函数在上单调递增,
所以,则