18.2.3 正方形 同步练习题（含答案）初中数学人教版八年级下册

第十八章　平行四边形
18.2.3　正方形
一、选择题
1.如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是（　　）
A.（3，－3） B.（－3，3）
C.（3，3） D.（－3，－3）
2.如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正方形ACEF的面积为(　　)
A．9 B．12 C．15 D．20
3.如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为(　　)
A．10° B．15° C．20° D．30°
4.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE.若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为（　　）
A.80° B.90°
C.105° D.115°
5.如图，P为AB上任意一点，分别以AP，PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设∠CBE＝α，则∠AFP为(　　)
A．2α B．90°－α C．45°＋α D．90°－α
二、填空题
6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件： 　 　 ，使得矩形ABCD为正方形.
7.如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3，则点P到直线AB的距离为 　 　 .
8.如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且CE＝CO，则BE的长度为 　　 .
9.如图，G为正方形ABCD内一点，AB＝AG，∠AGB＝70°，连接DG，那么∠BGD＝ 　　 度.
10.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 　 　 .
11.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为 　 　 .
12.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是 ．
三、解答题
13.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且BE＝AF，连接BE，AF.求证：AE＝DF.
14.如图，在正方形ABCD中，AC，BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD.求证：四边形OCED是正方形.
15.如图，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形.
.
16.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.
(1)求证：PC＝PE；
(2)求∠CPE的度数；
(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段PA与线段CE的数量关系，并说明理由.
17.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F.以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）CE＋CG的值为 　 　 .
1
参考答案
一、选择题
1.如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是（　C　）
A.（3，－3） B.（－3，3）
C.（3，3） D.（－3，－3）
2.如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正方形ACEF的面积为(　A　)
A．9 B．12 C．15 D．20
3.如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为(　C　)
A．10° B．15° C．20° D．30°
4.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE.若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为（　C　）
A.80° B.90°
C.105° D.115°
5.如图，P为AB上任意一点，分别以AP，PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设∠CBE＝α，则∠AFP为(　B　)
A．2α B．90°－α C．45°＋α D．90°－α
二、填空题
6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，试添加一个条件： 　 　 ，使得矩形ABCD为正方形.
【答案】AB＝AD（答案不唯一）
7.如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3，则点P到直线AB的距离为 　 　 .
【答案】3
8.如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且CE＝CO，则BE的长度为 　　 .
【答案】
9.如图，G为正方形ABCD内一点，AB＝AG，∠AGB＝70°，连接DG，那么∠BGD＝ 　　 度.
【答案】135
10.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 　 　 .
【答案】
11.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为 　 　 .
【答案】
12.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是 ．
解析：连接BM交AC于点P，∵点N为AC上的动点，由三角形两边之和大于第三边，且正方形是轴对称图形知，当点N运动到点P时，DN＋MN＝BP＋PM＝BM，DN＋MN的最小值为BM的长度，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8－2＝6，∠BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10.
三、解答题
13.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且BE＝AF，连接BE，AF.求证：AE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，
AB＝AD，
在Rt△BAE和Rt△ADF中，
∴Rt△BAE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE＝DF.
14.如图，在正方形ABCD中，AC，BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD.求证：四边形OCED是正方形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC＝OD，OC⊥OD.
∴ OCED为正方形.
15.如图，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.
∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°.
∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°.
∴△AEB≌△AFD（AAS）.∴AB＝AD.
∴矩形ABCD是正方形.
16.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.
(1)求证：PC＝PE；
(2)求∠CPE的度数；
(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段PA与线段CE的数量关系，并说明理由.
解：(1)易证△ABP≌△CBP，∴PA＝PC.
∵PA＝PE，∴PC＝PE.
(2)∠CPE的度数为90°.
(3)PA＝CE.
理由：易证△EPC是等边三角形，
∴PC＝PE＝CE.
∵PA＝PE，∴PA＝CE.
17.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F.以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）CE＋CG的值为 　 　 .
解：（1）证明：如图所示，过点E作
EM⊥CD于点M，EN⊥BC于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD.
∵EM⊥CD，EN⊥BC，∴EM＝EN.
∵∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴四边形EMCN是矩形.∴∠MEN＝90°.
∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEF＝90°.
∴∠DEM＝∠FEN.
∵EM＝EN，∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF（ASA）.∴ED＝EF.
∴矩形DEFG是正方形.
（2）8