【七下专项突破讲练】专题11.8 一元一次不等式（全章知识梳理与考点分类讲解）（含解析）

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专题11.8 一元一次不等式（全章知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
（1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（2）不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集。
（3）求不等式解集的过程叫解不等式。
（4）由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组。
（5）不等式组的解集：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。
【知识点二】等式基本性质
性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。
性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式。
【知识点三】不等式的基本性质
性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。（注：移项要变号，但不等号不变。）
性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
【知识点四】解不等式的步骤：
（1）去分母； （2）去括号； （3）移项、合并同类项； （4）系数化为1。
【知识点五】解不等式的步骤：
（1）解出不等式的解集； （2）在同一数轴表示不等式的解集； （3）写出不等式组的解集。
【知识点六】列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：
（1）审题； （2）设未知数，找（不等量）关系式；
（3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组) ； （4）解不等式组；检验并作答。
【核心考点目录】
【考点一】不等式的基本性质； 【考点二】一元一次不等式；
【考点三】一元一次不等式组； 【考点四】一元一次不等式的应用；
【考点五】一元一次不等式综合；
【考点一】不等式的基本性质；
【例1】已知实数a，b，c满足：．
求证： (1) ； (2)
【变式1】若，则下列不等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】定义新运算：．例如：，．若，，且，则，的大小关系为 ．
【考点二】一元一次不等式；
【例2】已知不等式．
(1) 若不等式的解集为，求m的值；
(2) 若x取任意正数都能使不等式成立，求m的取值范围．
【变式1】不等式的负整数解的个数有（ ）
A．0个 B．2个 C．4个 D．6个
【变式2】方程组的解满足，则的取值范围是 ．
【考点三】一元一次不等式组；
【例3】解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来．
（1） （2）
【变式1】若不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知关于的不等式组有且仅有3个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【考点四】一元一次不等式（组）的应用
【例4】小明去文具店买文具，他与售货员的对话如下:
小明:你好．我要购买5支黑色水笔和3本笔记本． 售货员:好的．那你应该付34元． 小明:我把两种文具的单价弄反了，以为要付46元．
(1)求小明所购买的黑色水笔和笔记本的单价；
(2)如果小红也去购买同样的黑色水笔和笔记本，预算费用不超过88元，并且购买笔记本的数量要比购买黑色水笔的数量多1，那么小红最多能购买多少本笔记本
【变式1】设“○”□”△”分别代表三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，若每个“△”的质量为，则每个“○”的质量的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【变式2】某校组织七年级学生参观科技馆，门票优惠标准为：30张到99张按8折优惠，100张以上（含100张）按7折优惠．该校七年级共有人，若按7折优惠购买100张门票比按人购买费用更少，那么最小是 ．
【例5】某运输公司有10名驾驶员和18名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和6辆载重量为6吨的乙型卡车．某天，该公司需运往A地至少80吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．
(1)若该公司派用10辆卡车，共有几种运输方案？
(2)哪种方案获得的利润最大，最大利润是多少元？
【变式1】如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若运算进行了次停止，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负数时，若，则．如：，．若，则实数的取值范围是 ．
【考点五】一元一次不等式与一元一次不等式组的综合
【例6】已知m是实数，关于x，y的方程组的解满足不等式，求实数m的取值范围．
【变式1】如果关于x的方程的解为非正数，且关于x，y的二元一次方程组的解满足，则满足条件的整数a有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式2】关于x，y的二元一次方程组，若x﹣3y≥0，则k的取值范围是 ．
专题11.8 一元一次不等式（全章知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
（1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（2）不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集。
（3）求不等式解集的过程叫解不等式。
（4）由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组。
（5）不等式组的解集：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。
【知识点二】等式基本性质
性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。
性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式。
【知识点三】不等式的基本性质
性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。（注：移项要变号，但不等号不变。）
性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
【知识点四】解不等式的步骤：
（1）去分母； （2）去括号； （3）移项、合并同类项； （4）系数化为1。
【知识点五】解不等式的步骤：
（1）解出不等式的解集； （2）在同一数轴表示不等式的解集； （3）写出不等式组的解集。
【知识点六】列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：
（1）审题； （2）设未知数，找（不等量）关系式；
（3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组) ； （4）解不等式组；检验并作答。
【核心考点目录】
【考点一】不等式的基本性质； 【考点二】一元一次不等式；
【考点三】一元一次不等式组； 【考点四】一元一次不等式的应用；
【考点五】一元一次不等式综合；
【考点一】不等式的基本性质；
【例1】已知实数a，b，c满足：．
求证： (1) ； (2)
【分析】（1）根据等式的性质可得，由可得，再代入解答即可；
（2）由，，由不等式的性质可得，再根据可得，所以，再由，结合不等式的性质解答即可．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴
即，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点拨】本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式1】若，则下列不等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式的性质，不等式的性质是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，逐项进行分析判断即可．
解：、，，故本选项不正确，符合题意；
、，，故本选项正确，不符合题意；
、，，故本选项正确，不符合题意；
、，，，，故本选项正确，不符合题意；
故选：．
【点拨】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意不等式的性质是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式2】定义新运算：．例如：，．若，，且，则，的大小关系为 ．
【答案】
【分析】先求得的数值，然后分两种情况讨论：；．
解：根据题意，得：
，．
．
①当时，则，可得
．
即 ．
②当时，则．
又，
则，
即．
．
即 ．
综上所述，．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查不等式，牢记不等式的性质（不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变）及采用求差法比较大小的方法是解题的关键．
【考点二】一元一次不等式；
【例2】已知不等式．
(1) 若不等式的解集为，求m的值；
(2) 若x取任意正数都能使不等式成立，求m的取值范围．
【答案】(1)； (2)．
解：（1）解不等式，得．
∵该不等式的解集为，
∴，解得．
∵解原不等式，得，且x取任意正数都能使不等式成立，
∴，解得
【变式1】不等式的负整数解的个数有（ ）
A．0个 B．2个 C．4个 D．6个
【答案】C
【分析】根据解一元一次不等式的方法，可以求得不等式的解集，然后即可写出它的负整数解．
解：去分母，得，
去括号，得，
移项及合并同类项，得
系数化1得：；
∴不等式的负整数解为、、、，
故选：C．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式及一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤．
【变式2】方程组的解满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解一元一次不等式，将两方程相加得出，然后根据即可求解，正确理解题意、掌握题中特点是解题的关键．
解：，
得，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【考点三】一元一次不等式组；
【例3】解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来．
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先求出不等式的解集，然后把不等式的解集表示在数轴上即可；
（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
解：（1），
，
，
在数轴上表示出来为：
；
（2），
由①得：x≤4
由②得：x>2，
所以不等式组的解集为．
在数轴上表示为：
【点拨】此题主要考查了解一元一次不等式（组），以及在数轴上表示不等式的解集，关键是掌握解一元一次不等式与解一元一次方程基本相同，掌握解集的规律（同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到确定不等式组的解集）．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【变式1】若不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案．
解：由，得：，
由得：，
∵不等式组的解集是，
∴，
解得，
故选：A．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式2】已知关于的不等式组有且仅有3个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
【答案】
【分析】根据题中所给不等式组，按照解一元一次不等式组的方法得到解集，再由关于的不等式组有且仅有3个整数解，确定的范围，按要求得到整数解求和即可得到答案．
解：，
由①得；
由②得；
∵关于的不等式组有且仅有3个整数解，在数轴上表示满足题意的解集为：

∴将数轴上的范围表示为，解得，
∴满足条件的整数的值为，
∴满足条件的整数的值之和是，
故答案为：．
【点拨】本题考查解含参数的不等式组、根据不等式组整数解的情况求参数范围、不等式的整数解等知识，熟练掌握含参数的不等式组的解法，以及根据不等式组整数解的情况求参数范围是解决问题的关键．
【考点四】一元一次不等式（组）的应用
【例4】小明去文具店买文具，他与售货员的对话如下:
小明:你好．我要购买5支黑色水笔和3本笔记本． 售货员:好的．那你应该付34元． 小明:我把两种文具的单价弄反了，以为要付46元．
(1)求小明所购买的黑色水笔和笔记本的单价；
(2)如果小红也去购买同样的黑色水笔和笔记本，预算费用不超过88元，并且购买笔记本的数量要比购买黑色水笔的数量多1，那么小红最多能购买多少本笔记本
【答案】（1）黑色水笔的单价为2元，笔记本的单价为8元；（2）小红最多能购买9本笔记本．
【分析】（1）设黑色水笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，根据题意可得5x+3y＝34和3x+5y＝46，进而求出x、y的值即可；
（2）设小红能购买m本笔记本，根据预算费用不超过88元列出不等式求解即可．
解：（1）设黑色水笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，
根据题意得：，
解得，
答：黑色水笔的单价为2元，笔记本的单价为8元；
（2）设小红能购买m本笔记本，
根据题意得：8m+2(m-1)≤88，
解得：m≤9，
∴m的最大整数值为9，
答：小红最多能购买9本笔记本．
【点拨】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系或不等关系，列出方程组或不等式求解．
【变式1】设“○”□”△”分别代表三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，若每个“△”的质量为，则每个“○”的质量的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设“○”的质量为，“□”的质量为，根据第二幅图可得到求出的值，再根据第一幅图列出不等式，解不等式结果为，找到对应的数轴图即可．
解：设“○”的质量为，“□”的质量为，
根据图可知，，
解得，
，即，
解得：，
则每个“○”的质量的取值范围在数轴上表示正确的为图．
故选：．
【点拨】本题考查了数轴的应用，不等式的求解，一元一次方程的应用，读懂题意根据题中给出的图列出相应的式子是解答本题的关键．
【变式2】某校组织七年级学生参观科技馆，门票优惠标准为：30张到99张按8折优惠，100张以上（含100张）按7折优惠．该校七年级共有人，若按7折优惠购买100张门票比按人购买费用更少，那么最小是 ．
【答案】
【分析】设门票为1，根据按7折优惠购买100张门票比按人购买费用更少，可得，，即可求解．
解：设门票为1，则买100张需，依题意，
则，
解得，
所以最小是88．
故答案为：．
【例5】某运输公司有10名驾驶员和18名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和6辆载重量为6吨的乙型卡车．某天，该公司需运往A地至少80吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．
(1)若该公司派用10辆卡车，共有几种运输方案？
(2)哪种方案获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】(1) 4种；(2)派用甲型卡车8辆，乙型卡车2辆，利润最大，最大利润为4300元
【分析】（1）设派用甲型卡车辆，根据题意列出不等式组，解不等式组即可得到答案；
（2）根据（1）中求出的x的范围，确定方案，即可得到答案；
此题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出不等式组是解题的关键．
（1）解：设派用甲型卡车辆，
则
解得，
所以共有4种运输方案．
（2），
当，即派用甲型卡车8辆时，利润最大，
最大利润为（元）．
答：派用甲型卡车8辆，乙型卡车2辆，利润最大，最大利润为元．
【变式1】如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若运算进行了次停止，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解答本题的关键．
根据第二次运算结果不大于且第三次运算结果大于，列出关于的一元一次不等式组，解出不等式组，得到答案．
解：由题意得：
，
解得：，
故选：．
【变式2】对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负数时，若，则．如：，．若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据定义运算的法则写出不等式组，再解不等式组即可．
解：由题意得：，即
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为，
故答案为：．
【考点五】一元一次不等式与一元一次不等式组的综合
【例6】已知m是实数，关于x，y的方程组的解满足不等式，求实数m的取值范围．
【答案】
【分析】利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组的解满足，建立关于m的不等式，解不等式即可得到答案．
解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
∵关于x，y的方程组的解满足不等式，
∴，
∴，
解得．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，正确利用加减消元法求出方程组的解是解题的关键．
【变式1】如果关于x的方程的解为非正数，且关于x，y的二元一次方程组的解满足，则满足条件的整数a有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】先解关于x的方程求出a的取值范围，然后由二元一次方程组求出a的范围，最后求出整数解即可得出答案．
解：解关于x的方程得，
∵方程的解为非正数，
，
∵，
，
由二元一次方程组将得，
满足，
，
，
，
，
为整数，
满足条件的整数a有，，，，，，0，共7个.
故选：C．
【点拨】本题考查了分式方程与二元一次方程组，能熟练解方程是解题的关键
【变式2】关于x，y的二元一次方程组，若x﹣3y≥0，则k的取值范围是 ．
【答案】k≤﹣1．
【分析】根据题意利用①-②，得到，进而由题意x﹣3y≥0得到关于k的不等式，解之即可.
解：
①-②，得到，
由x﹣3y≥0得，
解得：.
故答案为：k≤﹣1．
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