【七下专项突破讲练】专题11.11 一元一次不等式（全章分层练习）（培优练）（含解析）

专题11.11 一元一次不等式（全章分层练习）（培优练）
一、单选题
1．李老师在黑板上写了下面的式子，你认为哪一个不是不等式（ ）
A．＜0 B． C．≥1 D．
2．1角硬币x枚，5角硬币y枚，若想要凑成2元钱，的值不可能是（ ）
A．16 B．12 C．14 D．8
3．已知，，，均为的三条边，且，则下列结论：①；②；③；④，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．某通信技术公司在测试5G网速时，发现其下载一个1KB的文件用时0.0000038s，若下载一个的文件所用的时间可以用科学记数法表示为，则m的值可以是（ ）
A．2 B．20 C．200 D．2000
5．我们知道不等式的解集是，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
6．已知实数a，b满足，则有关x的不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．无解
7．已知题目：解关于x的不等式组，其中“”内的数字印刷不清，嘉淇看了标准答案后，说此不等式组无解，则“”处不可以是（ ）
A． B． C．8 D．9
8．数轴上、、三点依次从左向右排列，表示的数分别为－2，，，则可能是（ ）
A．0 B．－1 C．－2 D．3
9．课堂上，老师给出了这样一道题目：“求关于x的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集”，甲计算完之后，说：“老师，这道题有问题，解出来是无解，不能在数轴上表示．”乙看了看甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个．”通过甲、乙两人的对话，你认为甲将数字3可能抄成了数字（　　）
A．1 B．2 C．4 D．5
10．对于正整数数x，符号表示不大于x的最大整数．若有正整数解，则正数a的取值范围是（ ）．
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题
11．在通过桥洞时，往往会看到如图所示的标志：这是限制车高的标志，表示车辆高度不能超过，通过桥洞的车高应满足的不等式为 ．

12．有P、Q、R、S四个人去公园玩跷跷板，依据下面的示意图，则这四个人中最重的是 ．
13．学完不等式的解集后，小明说：“的解集是”小刚说：“是的一个解”小颖说：“的整数解有无数个”他们的说法中错误的是 ．
14．某校七年级一共650人，第一学期期末考试优秀率为，第二学期如果优秀率想达到，那么优秀的人数要比第一学期至少增加 人．
15．小明在求解关于x的不等式 时发现，该不等式的解集都能使不等式成立，则n的取值范围是 ．
16．我们称形如(其中为整数)的不等式组为“互倒不等式组”，若互倒不等式组(其中为整数)有且仅有1，2两个正整数解，则 ．
17．某校七年级有个班，共人，（1）班至（4）班的人数分别，，，．已知（1）班的人数不少于人，且，则（4）班人数为 ．
18．如图，，，，，，，，，分别表示1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某一个数，不同的字母表示不同的数，使得分别以正九边形的九个顶点为圆心的扇形内的3个数之和都相等，那么的值为 ．
三、解答题
19．（为定值）是关一元一次不等式，求关于的方程的解．
20．已知．
(1)填空：；（填“”“”或“”号）
(2)比较与的大小，并说明理由．
21．（1）解不等式：； （2）解不等式组：
22．用两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个长方形，设正方形的边长为m，长方形长为x，宽为y．
(1)则正方形的周长表示为______；长方形的周长表示______．
由此可得x、y、m之间的等量关系为______．
(2)比较正方形面积和长方形面积xy的大小．
【尝试】：（用“＜”，“＝”或“＞”填空）
①当，时，xy______；
②当，时，xy______；
③当时，xy______；
(3)【猜想验证】：对于任意实数x，y，代数式xy与有怎样的大小关系？写出你的猜想，并加以证明．
(4)【应用】：当时，请直接写出的最小值．
23．某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳根，乙种跳绳5根，需要元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要元．
(1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？
(2)若该体育用品店刚好用了元购进这两种跳绳，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于根，那么该文具店共有哪几种购买方案？
(3)若该体育用品店销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
24．【问题情境】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则．
例：已知，，其中．求证：．
证明：
，．
（1）比较大小： ．
【问题探究】
（2）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系．
【深入研究】
（3）请用“作差法”解决下列问题：
某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有、两种方案可供选择，方案：每次按原价打六五折；方案：第一次按照原价，从第二次起每次打六折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据不等式的定义和等式的定义解答即可．
【详解】解：A. ＜0是不等式，故此选项不符合题意；
B. 是等式，故此选项符合题意；
C. 2x+3≥1是不等式，故此选项不符合题意；
D.是不等式，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
2．C
【分析】可求，由，，且均为整数，可求，从而可求方程的整数解，即可求解．
【详解】解：由题意得
，
所以，
因为，，且均为整数，
所以，
解得：，
所以，
所以或或或或，
所以或或或或，
所以的值为或或或或；
故选：C．
【点拨】本题考查了二元一次方程的整数解问题，一元一次不等式，掌握解法是解题的关键．
3．B
【分析】根据三角形的三边关系“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” ，不等式的性质“两边都加上或减去同一个数或同一个式子,不等号的方向不变；两边都乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变；两边都乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变”，逐项判断即可得到结论．
【详解】解：①，
，
，故①错误；
②为的三条边，
，
，
，
，故②正确；
③，，均为的三条边，
，，
，故③正确；
④，，均为的三条边，
，
当时，，
故④错误，
综上可知，正确的个数有2个，
故选B．
4．B
【分析】将0.0000038写成，则下载一个的文件所用的时间为，进而得出，再根据即可求出m的取值范围．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
观察4个选项可知，只有B选项符合要求，
故选B．
【点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，不等式的性质等，解题的关键是掌握科学记数法中的取值范围．
5．A
【分析】根据不等式的特点得出，求出即可．
【详解】解：∵不等式的解集是，
∴不等式中，
解得：，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式，能根据已知得出是解此题的关键．
6．D
【分析】根据a，b满足的条件可推出a，b的值， 将其代入关于的不等式组中，按照一元一次不等式组取值范围口诀即可求出答案.
【详解】解：
，，
，.
有关x的不等式组转化为：，
解不等式组得：，
将不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，
的解集为：无解.
故答案选：D.
【点拨】本题考查了一元一次不等式的解、完全平方公式和化简绝对值.解题的关键是否掌握完全平方公式以及是否熟悉不等式解集取值范围口诀：同大取大，同小取小，大大小小无解，大小小大取中间.
7．D
【分析】设“”处是a，根据题意可得：，然后按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：设“”处是a，
由题意得：
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组无解，
∴，
∴，
∴“”处不可以是9，
故选：D．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
8．A
【分析】根据条件列出关于的一元一次不等式组，解得的范围，即可求得答案．
【详解】解：由题意知，
，解得．
故选：A．
【点拨】本题主要考查列一元一次不等式以及解一元一次不等式组，解决本题的关键是列出一元一次不等式组．
9．D
【分析】设甲将数字3抄成了数字a，根据不等式组无解，求出的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：设甲将数字3抄成了数字a，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵此不等式组无解，
∴，
解得：，
∴甲将数字3可能抄成了数字5，
故选：D．
【点拨】本题考查根据不等式组的解集情况求参数的值，正确的计算出不等式组的解集，是解题的关键．
10．D
【分析】根据所表示的含义，结合题意可得出，继而可解出的正整数解，分别代入所得不等式，可得出的范围．
【详解】解：有正整数解，
，
即，，
，
是正整数，为正数，
，即可取1、2；
①当取1时，
，，
；
②当取2时，
，，
；
综上可得的范围是：或．
故选：D．
【点拨】此题考查了取整函数的知识，解答本题需要理解[x]所表示的意义，另外也要求我们熟练不等式的求解方法，有一定难度．
11．/
【分析】根据不等式的定义列不等式即可．
【详解】解：∵车辆高度不能超过，
∴．
故答案为．
【点拨】本题主要考查列不等式，掌握不等式的定义是解答本题的关键．
12．
【分析】根据跷跷板得到不等式或者等式，据此解答即可．
【详解】由图1可知：，
由图2可知：，
∴，
∴，
由图3可知：，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
所以最重，
故答案为：．
【点拨】此题考查了杠杆和不等式的有关知识，利用跷跷板的不平衡来判断四个数的大小，体现了数形的结合的数学思维．
13．小刚
【分析】将不等式的系数为即可判断小明的说法；将不等式的系数化即可判断小刚的说法；根据小于的整数有无数个即可判断小颖的说法；
【详解】解：，
系数化得，，
故小明的说法正确；
，
系数化得，，
，
不是的一个解，
故小刚说法错误；
小于的整数有无数个，
的整数解有无数个，
故小颖的说法正确；
综上，小刚的说法错误．
故答案为：小刚．
【点拨】本题主要考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．
14．65
【分析】设第二学期优秀的人数比第一学期增加x人，根据第一学期优秀的人数第二学期优秀的人数，列不等式求出x的范围即可求得x的最小值．
【详解】设第二学期优秀的人数要比第一学期增加x人，则
，
，
解得，，
∴第二学期优秀的人数至少要比第一学期增加65人．
故答案为：65．
【点拨】本题主要考查了列一元一次不等式解应用题，根据题意找不等量关系是解题的关键．
15．
【分析】先解不等式可得，结合题意可得，即，可得的解集为，从而可得，从而可得答案.
【详解】解： ∵，
去分母得：，
去括号得：，
∴，
解得：，
∵该不等式的解集都能使不等式成立，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
故答案为：；
【点拨】本题考查的是一元一次不等式的解法，不等式的性质，一元一次不等式组的解法，理解题意，构建新的不等式或不等式组是解本题的关键.
16．
【分析】首先必须是异号的，否则不等式组必定有无数个正整数解或者没有正整数解，从而推出，继而推导，从而推出
【详解】解：，，
若，则原不等式可化为，
∴若，则原不等式组无解，若，则解得，均不合题意；
若，则任意正整数都满足，不合题意；
若，则任意正整数都不满足，不合题意；
∴，必须是异号的．
∵是整数，
∴能被整除，
故，
∴，
∵，异号，
∴，(当且仅当，时取等号)
∴若，由①得：；由②得：，
由可知，此时无解；
∴只能是， 此时由①得：；由②得：
∴不等式组的解集是：，
∵互倒不等式组(其中为整数)有且仅有1，2两个正整数解，
∴，
又∵为整数，
∴，
∴，
此时代入得，符合题意，
故答案是：．
【点拨】本题考查求不等式组的解集，根据不等式组的解的情况，求式子的值，推导出是解题的关键．
17．47或48人
【分析】根据题意令，满足，由于，得，
又根据，得，可得，当①时，，枚举出所有情况；同理当②时，，同理，，，，，，枚举出所有的情况，选出满足条件的情况即可．
【详解】解：，
令（），
由于，
故有，
得，
又，
故，
，
而，
，
当①时，，
根据，
枚举一下，只有下列情况满足，
0 3 6 7
0 4 5 7
1 4 5 6
即此时存在三种情况满足：
，
，
，
②时，，
根据，
即使，
由于，
最大取5，
而此时，
有，
不符合要求，
故此时没有情况满足，
同理，，
，
，
，
，
均没有情况满足，
综上所述，（4）班的人数为47或48人，
故答案是：47或48人．
【点拨】本题考查了不等式在生活中的应用，解题的关键是掌握不等式的性质，进行分类讨论，也体现了同学的枚举能力．
18．18
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确理解题中各量间的数量关系是解答本题的关键．先根据得到，利用和列不等式组并求解，得到，进而得到，，再根据正九边形的九个顶点为圆心的扇形内的3个数之和都相等，可逐步求得， 的值，从而可得答案．
【详解】由题意得，
，
，
，
，
，
，
，
由此可依次求得，，，，，，
．
19．方程的解为或．
【分析】先根据一元一次不等式的定义得到，求得，则可得到，由此求解即可．
【详解】解：∵（为定值）是关一元一次不等式，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或．
【点拨】本题主要考查了一元一次不等式的定义，解绝对值方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
20．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知，不等号两边同时乘以，即可获得答案；
（2）根据，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵，
即，
不等号两边同时乘以，
则有．
故答案为：；
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了不等式的性质，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．
21．（1）；（2）
【分析】本题考查的是解一元一次不等式（组），注意计算的准确性即可．
（1）不等式两边同时乘以6，即可求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）不等式两边同时乘以6得，，
去括号得，
移项得，，
合并得，，
解得，．
（2）
解不等式①，可得，
解不等式②，可得，
∴不等式组的解集为．
22．(1)，
(2)
(3)猜想，证明见解析
(4)2
【分析】（1）根据正方形与长方形的周长列出代数式即可求解；
（2）根据字母的值求值，进而比较大小即可求解；
（3）根据完全平方公式变形进而即可证明；
（4）根据（3）的结论即可求解．
【详解】（1）解：设正方形的边长为m，长方形长为x，宽为y．则正方形的周长表示为；长方形的周长表示．
由此可得x、y、m之间的等量关系为，即
故答案为：,
（2）解：①当，时，xy，，则；
②当，时，，；则
③当时，，；则
故答案为：
（3）解：猜想，
证明： ，
，
，
，
，
（4）解：由（3）可得，，
，
，
的最小值为．
【点拨】本题考查了完全平方公式，平方的非负性，不等式求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．
23．(1)购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元
(2)有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案②购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案③购进甲种跳绳根，乙种跳绳根
(3)购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，获利最大，最大利润是元
【分析】（1）设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，然后根据题意建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳个，然后根据题意建立不等式组求出其解即可；
（3）根据（2）的结论，结合题意，分别求得利润，比较即可求解．
【详解】（1）解：设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，由题意得：
，解得：，
答：购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元．
（2）解：设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳个，根据题意得，
解得：，
∵为正整数，
∴，
当时，，
当时，，不是整数，不符合题意，舍去，
当时，，
当时，，不是整数，不符合题意，舍去，
当时，，
答：该商店有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案②购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案③购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；
（3）解：∵销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，
由（2）可知，方案①：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为；
方案②：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为；
方案③：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为；
∵，
∴方案③：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，获利最大，最大利润是元．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．
24．（1）≥；（2）；（3）当游泳次数超过8次时，应选择B方案，当游泳次数小于8次时，应选择A方案，当游泳次数恰好8次时，两种方案费用相同．
【分析】（1）计算，问题得解；
（2）分别用含m式子表示出、，再用得到含m的式子，根据m为正整数，即可判断出＞0，问题得解；
（3）设原来每次游泳价格为x元，暑假计划去m次，分别表示出A、B两种方案费用，用A方案费用减去B方案费用，根据题意分别得到m取值不同，两方案费用的差的符号，即可确定如何选择方案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
故答案为：≥；
（2）∵，，
∴，
∵为正整数，
∴＞0，
∴＞0，
∴；
（3）设原来每次游泳价格为x元，暑假计划去m次，则A方案游泳总费用为0.65xm元；B方案游泳总费用为x+0.6x（m-1）=0.6xm+0.4x（元），
0.65xm-（0.6xm+0.4x）=0.05xm-0.4x，
由题意得x＞0，
∴当0.05xm-0.4x＞0时，即m＞8，此时应选择B方案；
当0.05xm-0.4x＜0时，即m＜8，此时应选择A方案；
当0.05xm-0.4x=0时，即m=8，两种方案费用相同．
答：当游泳次数超过8次时，应选择B方案，当游泳次数小于8次时，应选择A方案，当游泳次数恰好8次时，两种方案费用相同．
【点拨】本题为创新型题目，考查了因式分解，整式的计算，解不等式等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，并理解“作差法”依据是解题关键．