运用函数导函数判断函数单调性 学案

运用函数导函数判断函数单调性
【考纲解读】
理解并掌握运用函数导函数判断函数单调性的定理；
掌握运用函数导函数判断函数单调性和求函数单调区间的基本方法，
掌握参数分类讨论的原则和基本方法，能够对含义参数的函数判断单调性（或求单调区间），掌握已知函数单调性，求参数的值（或取值范围）的基本方法。
【知识精讲】
一、运用函数导函数判断函数单调性的理论依据：
定理：设函数y=f(x)在区间（a，b）内可导，且导函数为（x）
1、如果对任意的x（a，b），都有（x）≥0，则函数f(x)是区间（a,，b）上的单调递增函数（注意其逆定理不一定成立）；
2、如果对任意的x（a，b），都有（x）≤0，则函数f(x)是区间（a,，b）上的单调递减函数（注意其逆定理不一定成立）；
3、如果对任意的x（a，b），都有（x）=0，则函数f(x)是区间（a,，b）上的常值函数。
二、运用函数导函数判断函数单调性的基本方法：
1、确定函数的定义域；
2、求函数的导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根；
3、用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和（2）中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；
4、判断导函数（x）在各个小区间上的符号，根据（x）的符号由定理判断函数f(x)在各个小区间的增减性；
5、得出函数f(x)的单调性（注意同类的单调区间之间不能用“”，只能用“，”）。
三、求函数单调区间的基本方法：
1、确定函数的定义域；
2、求函数的导函数（x）；
3、求解不等式（x）≥0（或（x）≤0）；
4、得出函数f(x)的单调区间（注意同类的单调区间之间不能用“”，只能用“，”）。
四、含有参变量函数f(x)单调性判断的基本方法：
1、确定函数的定义域；
2、求函数的导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根；
3、根据参数分类讨论的原则和基本方法对方程（x）=0的根是否在函数f(x)的定义域内进行分类；
4、对方程（x）=0的根与函数f(x) 间断点（不属于f(x)定义域的点）的横坐标按大小把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；
5、判断导函数（x）在各个小区间上的符号，根据（x）的符号由定理得出函数f(x)在各个小区间的单调性；
6、综合得出函数f(x)的单调性（注意同类的单调区间之间不能用“”，只能用“，”）。
五、已知函数f(x)的单调性，求参数的值（或取值范围）：
1、根据函数的单调性和定理，得到不等式（x）0（或（x）0）在已知区间上恒成立（注意（x）=0在区间上不能恒成立）；
2、求解不等式（x）0（或（x）0）在已知区间上恒成立时参数的值（或取值范围）；
3、得出所求参数的值（或取值范围）（注意（x）=0在区间上不能恒成立）。
【探导考点】
考点1判断不含参数函数的单调性（或求单调区间）：热点①判断函数的单调性；热点②求函数的单调区间；
考点2判断含参数函数的单调性（或求单调区间）：热点①判断函数的单调性；热点②求函数的单调区间；
考点3已知函数的单调性，求参数的值（或取值范围）：热点①已知函数的单调性，求参数的值；热点②已知函数的单调性，求参数的取值范围。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、“在区间（a，b）内（x）＞0”是“f（x）在该区间内单调递增”的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
2、设（x）是函数f(x)的导函数，函数（x）的图像如图所示，则函数 f(x)的图像可能是（ ）
y y y y y
-1 0 1 x -1 0 1 x -1 0 1 x -1 0 1 x -1 0 1 x
A B C D
3、函数f(x)= -lnx的单调递减区间为（ ）
A （-1，1） B （0，1） C （1，+∞） D （0，+∞）
4、已知定义在区间（-，）上的函数f(x)=xsinx+cosx，则函数f(x)的单调递增区间是 ；
5、判断函数f(x)=4+的单调性；
6、已知函数f(x)=- +3+9x+a，求函数f(x)的单调区间；
『思考问题1』
（1）【典例1】是运用函数导函数判断函数单调性（或求函数单调区间）的问题，解答这类问题需要理解函数导函数与函数单调性的关系定理，掌握运用函数导函数判定函数单调性（或求函数单调区间）的基本方法；
（2）解答运用函数导函数判断函数单调性问题的基本方法是：①确定函数的定义域；②求函数的导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根；③用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导函数（x）在各个小区间上的符号，根据（x）的符号由定理判断函数f(x)在各个小区间的增减性；⑤得出函数f(x)的单调性；
（3）解答运用函数导函数求函数单调区间问题的基本方法是：①确定函数的定义域；②求函数的导函数（x）；③求解不等式（x）≥0（或（x）≤0）；④得出函数f(x)的单调区间（注意同类的单调区间之间不能用“”，只能用“，”）。
〔练习1〕解答下列问题：
设（x）是函数f(x)的导函数，y=（x）的 y
图像如图所示，则y=f(x)的图像最有可能是（ ）
0 1 2 x
y y y y
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
A B C D
函数f(x)=4+的单调递增区间为（ ）
A （0，+∞） B （，+∞） C （-∞，-1） D （-∞，-）
3、已知函数f(x)=xlnx，则函数f(x)（ ）
A在（0，+∞）上递增B在（0，+∞）时递减C在（0，）上递增D在（0，）上递减
4、函数y=x-lnx的单调递减区间是 。
5、函数f(x)=x-2sinx在（0，2）内的单调递增区间是 。
6、求函数f(x)=(x-3) 的单调区间；
7、已知函数f(x)= lnx，求函数f(x)的单调区间。
【典例2】解答下列问题：
1、已知函数f(x)= ++ax+1（aR），求函数f(x)的单调区间；
2、已知a∈R,求函数f(x)= 的单调区间；
3、已知函数f(x)=lnx，g(x)=f(x)+a+bx，其中函数g(x)的图像在点（1，g(1)）处的切线平行于x轴。
（1）确定a与b的关系；
（2）若a0，试讨论函数g(x)的单调性。
4、（理）已知函数f(x)=2-a+b。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）是否存在a，b，使得f(x)在区间［0，1］的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由。
（文）已知函数f(x)=2-a+2。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当0＜a＜3时，记f(x)在区间［0，1］的最大值为M，最小值为m，求M-m的取值范围（2019全国高考新课标III）
『思考问题2』
【典例1】是运用函数导函数判断函数f(x)解析式中含有参数的单调性（或求单调区间）的问题，解答这类问题需要理解函数导函数与函数单调性的关系定理和参数分类讨论的原则与基本方法；
（2）解答运用函数导函数判断函数f(x)解析式中含参数函数单调性的基本方法是：①确定函数的定义域；②求函数的导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根（根据参数分类讨论的原则和基本方法注分别求出实根）；③用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导函数（x）在各个小区间上的符号（注意参数对不等式的影响），根据（x）的符号由定理判断函数f(x)在各个小区间的单调性；⑤得出函数f(x)的单调性；
（3）解答运用函数导函数求函数f(x)解析式中含有参数的单调区间问题的基本方法是：①确定函数的定义域；②求函数的导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根（根据参数分类讨论的原则和基本方法注分别求出实根）；③用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导函数（x）在各个小区间上的符号（注意参数对不等式的影响），根据（x）的符号由定理判断函数f(x)在各个小区间的单调性；⑤得出函数f(x)的单调区间；
（4）含参数的函数的单调性问题一般要对参数分类讨论，常见的分类讨论标准是：①方程（x）=0是否有根；②若方程（x）=0有根，需要判断求出的根是否在定义域内；③若方程（x）=0的根在定义域内且有两个需要比较根的大小。
〔练习2〕解答下列问题：
讨论函数f(x)=(a-1)lnx+a+1的单调性。
已知函数f(x)=a+6-x(a≠0)，求函数f(x)的单调区间；
3、已知函数f(x)= (ax+b)- -4x，曲线y= f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程为y=4x+4。（1）求a，b的值；
（2）讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值。
【典例3】解答下列问题：
1、若函数f(x)=++mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（ ）
A （，+∞） B （-∞，） C ［，+∞） D （-∞，］
2、设函数f(x)= -a+(a-1)x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
3、设f(x)=a+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调间；
4、已知函数f(x)的图像与函数h(x)=x++2的图像关于点A（0，1）对称。
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若g(x)=f(x)+ 在区间（0，2〕上为减函数，求实数a的取值范围；
5、已知函数f(x)= -ax-1。
（1）若函数f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使函数f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由。
『思考问题3』
（1）【典例3】是已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题需要根据函数导函数与函数单调性相关的定理和函数具有单调性的条件，得到关于参数的不等式（或不等式组），然后求解不等式（或不等式组）就可得出答案；
（2）已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①根据函数f(x)在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集寻求参数应该满足的条件；②函数f(x)为增函数（或减函数）的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有（x）0（或（x）0），且在（a，b）的任一非空子区间上（x）不恒为零（注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解）；③运用函数在某个区间存在单调区间参数应该满足的条件得到不等式（或不等式组）；④求解不等式（或不等式组）。
〔练习3〕解答下列问题：
1、如果函数f(x)= -ax-1在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（答案：实数a的取值范围是（-∞，0]。）
2、如果函数f(x)=ax-在区间（0，2〕上单调递增，求实数a的取值范围。（答案：实数a的取值范围是[- ， +∞）。）
3、已知函数f(x)=-+a+1（aR）。
（1）若函数y=f(x)在区间（0，）上递增，在区间〔，+∞）递减，求a的值；
（2）当x〔0,1〕时，设函数y=f(x)图像上任意一点处的切线的倾斜角为，若给定常数a〔，+∞），求的取值范围。（答案：（1）a=1；（2）（0，）。）
4、已知函数f(x)= lnx-a(aR)。
（1）若函数f（x）在点（1，f(1)）处的切线与直线y=x+1垂直，求a的值；
（2）若函数f(x)在（0，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围。（答案：（1）a=2；（2）实数a的取值范围是（-∞，1]。）
【雷区警示】
【典例4】解答下列问题：
已知函数f(x)= -+a-x-1在R上是减函数，求实数a的取值范围。
2、已知函数f(x)= -ax-1，若函数f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
『思考问题4』
【典例4】是解答运用函数导函数判断函数单调性（或求函数单调区间）问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要是忽视运用函数导函数判断函数单调性的充分必要条件，导致解答出现错误；
解答运用函数导函数判断函数单调性（或求函数单调区间）问题时，为避免忽视运用函数导函数判断函数单调性的充分必要条件的雷区，需要注意运用函数导函数判断函数单调性的充分必要条件。
〔练习4〕解答下列问题：
1、如果函数f(x)=ax-在区间（0，2〕上单调递增，求实数a的取值范围。
2、设函数f(x)= -a+(a-1)x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
【追踪考试】
【典例5】解答下列问题：
1、（理）记函数f(x)的导函数为(x)，若函数f(x)为奇函数，且当x（ -，0）时恒有f(x)<(x)tanx成立，则（ ）
A f（-）>f（-） B f（-）>-f（）
C f（）>f（） D f（-）（文）记函数f(x)的导函数为(x)，若函数f(x)为奇函数，且当x（ -，0）时恒有f(x)cosx<
(x)sinxx成立，则（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A f（-）>f（-） B f（）>-f（-）
C f（）>f（） D f（-）>-f（）
2、设a（0，1），若函数f(x)=+在（0，+）时单调递增，则a的取值范围是
（2023全国高考乙卷理）
3、已知函数f(x)=a-lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（ ）（2023全国高
考新高考II）
A e B e C D
4、若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是（ ）（成都市2020级高三零诊）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
5、（理）已知a=，b=cos，c=4sin，则（ ）
A c>b>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
（文）已知=10，a=-11，b=-9，则（ ）（2022全国高考甲卷）
A a>0>b B a>b>0 C b>a>0 D b>0>a
6、（理）设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1，则（ ）
A a（文）设a0，若x=a为函数f(x)=a(x-b)的极大值点，则（ ）（2021全国高考乙卷）
A ab C ab< D ab>
『思考问题5』
【典例5】是近几年高考（或成都市高三诊断考试）试卷中运用函数导函数判断函数单调性（或求函数单调区间）的问题，归结起来主要包括：①运用函数导函数判断函数单调性；②运用函数导函数求函数的单调区间；③已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）几类问题；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题的结构特征判断其所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)=（x-1）-a+b。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）从下面两个条件中任选一个，证明：函数f(x)有一个零点。
①2a；②02、设函数f(x)= +ax-3lnx+1，其中a>0。
（1）讨论函数f(x)的单调性；（答案：函数f(x)在（0，）上单调递减，在（，+ ）上单调递增；）
（2）若y=f(x)的图像与X轴没有公共点，求a的取
运用函数导函数判断函数单调性
【考纲解读】
理解并掌握运用函数导函数判断函数单调性的定理；
掌握运用函数导函数判断函数单调性和求函数单调区间的基本方法，
掌握参数分类讨论的原则和基本方法，能够对含义参数的函数判断单调性（或求单调区间），掌握已知函数单调性，求参数的值（或取值范围）的基本方法。
【知识精讲】
一、运用函数导函数判断函数单调性的理论依据：
定理：设函数y=f(x)在区间（a，b）内可导，且导函数为（x）
1、如果对任意的x（a，b），都有（x）≥0，则函数f(x)是区间（a,，b）上的单调递增函数（注意其逆定理不一定成立）；
2、如果对任意的x（a，b），都有（x）≤0，则函数f(x)是区间（a,，b）上的单调递减函数（注意其逆定理不一定成立）；
3、如果对任意的x（a，b），都有（x）=0，则函数f(x)是区间（a,，b）上的常值函数。
二、运用函数导函数判断函数单调性的基本方法：
1、确定函数的定义域；
2、求函数的导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根；
3、用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和（2）中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；
4、判断导函数（x）在各个小区间上的符号，根据（x）的符号由定理判断函数f(x)在各个小区间的增减性；
5、得出函数f(x)的单调性（注意同类的单调区间之间不能用“”，只能用“，”）。
三、求函数单调区间的基本方法：
1、确定函数的定义域；
2、求函数的导函数（x）；
3、求解不等式（x）≥0（或（x）≤0）；
4、得出函数f(x)的单调区间（注意同类的单调区间之间不能用“”，只能用“，”）。
四、含有参变量函数f(x)单调性判断的基本方法：
1、确定函数的定义域；
2、求函数的导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根；
3、根据参数分类讨论的原则和基本方法对方程（x）=0的根是否在函数f(x)的定义域内进行分类；
4、对方程（x）=0的根与函数f(x) 间断点（不属于f(x)定义域的点）的横坐标按大小把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；
5、判断导函数（x）在各个小区间上的符号，根据（x）的符号由定理得出函数f(x)在各个小区间的单调性；
6、综合得出函数f(x)的单调性（注意同类的单调区间之间不能用“”，只能用“，”）。
五、已知函数f(x)的单调性，求参数的值（或取值范围）：
1、根据函数的单调性和定理，得到不等式（x）0（或（x）0）在已知区间上恒成立（注意（x）=0在区间上不能恒成立）；
2、求解不等式（x）0（或（x）0）在已知区间上恒成立时参数的值（或取值范围）；
3、得出所求参数的值（或取值范围）（注意（x）=0在区间上不能恒成立）。
【探导考点】
考点1判断不含参数函数的单调性（或求单调区间）：热点①判断函数的单调性；热点②求函数的单调区间；
考点2判断含参数函数的单调性（或求单调区间）：热点①判断函数的单调性；热点②求函数的单调区间；
考点3已知函数的单调性，求参数的值（或取值范围）：热点①已知函数的单调性，求参数的值；热点②已知函数的单调性，求参数的取值范围。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、“在区间（a，b）内（x）＞0”是“f（x）在该区间内单调递增”的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【知识点】①运用导数判断函数单调性的基本方法；②充分条件，必要条件，充分必要条件的定义与性质；③判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法。
【解题思路】根据导数判断函数单调性的基本方法和判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法，对问题进行正确判断就可得出选项。
【详细解答】由在区间（a，b）内（x）＞0，可以推出函数f（x）在该区间内单调递增；由函数f（x）在该区间内单调递增，不一定能够推出在区间（a，b）内（x）＞0，
“在区间（a，b）内（x）＞0”是“f（x）在该区间内单调递增”的充分不必要条件，A正确，选A。
2、设（x）是函数f(x)的导函数，函数（x）的图像如图所示，则函数 f(x)的图像可能是（ ）
y y y y y
-1 0 1 x -1 0 1 x -1 0 1 x -1 0 1 x -1 0 1 x
【解析】 A B C D
【知识点】①运用导数判断函数单调性的基本方法；②函数图像的定义与性质。
【解题思路】根据导数判断函数单调性的基本方法和函数图像的性质，利用函数（x）的图像确定出函数 f(x)的图像就可得出选项。
【详细解答】由函数（x）的图像可知，在区间（-1，1）上（x）>0，在区间（-∞，-1），（1，+∞）上（x）<0，函数 f(x) 在区间（-1，1）上单调递增，在区间（-∞，-1），（1，+∞）上单调递减，A正确，选A。
3、函数f(x)= -lnx的单调递减区间为（ ）
A （-1，1） B （0，1） C （1，+∞） D （0，+∞）
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④运用导数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），运用导数判断函数单调性的基本方法求出函数f(x)= -lnx的单调递减区间就可得出选项。
【详细解答】（x）=x-=，函数f(x)的定义域为（0，+∞），由（x）
=<0解得：-1选B。
4、已知定义在区间（-，）上的函数f(x)=xsinx+cosx，则函数f(x)的单调递增区间是 ；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④运用导数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），运用导数判断函数单调性的基本方法就可求出函数f(x)= xsinx+cosx的单调递增区间。
【详细解答】（x）=sinx+x cosx-sinx= x cosx， y
作出函数（x）= x cosx在区间（-，）上的
图像如图所示，由图知，函数（x）在区间（-， - - 0 x
-），（0，）上，（x）>0，函数 f(x) 的单调递增区间是（-，-），（0，）。
5、判断函数f(x)=4+的单调性；
【解析】
【知识点】①函数求导公式及运用；②函数求导法则及运用；③运用导数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和函数求导法则求出函数f(x)的导函数（x），运用函数导函数判断函数单调性的基本方法就可判断函数f(x)=4+的单调性。
【详细解答】函数f(x)的定义域为（-∞， x （-∞，0）0 （0，）（，+∞）
0）（0，+∞），（x）=8x- （x） - - 0 +
=，令（x）=0解得x=,x， f(x)
（x），f(x)的变化情况如表所示：函数f(x)在（-∞，0），（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增。
6、已知函数f(x)=- +3+9x+a，求函数f(x)的单调区间；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④运用导数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），运用导数判断函数单调性的基本方法就可求出函数f(x)= xsinx+cosx的单调递增区间。
【详细解答】（x）=-3+6x+9=-3（-2x-3）=-3(x+1)（x-3），令（x）=0解得：x=-1或x=3，x，函数（x），f(x)的变化情况如表所示，函数f(x)的定义域为R，由表可知，当x（-∞，-1）（3， x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 （3，+∞）
+∞）时，（x）<0，当x（-1， （x） - 0 + 0 -
3）时，（x）>0，函数f(x)在 f(x)
区间（-∞，-1），（3，+∞）上单调递减，在区间（-1，3）上单调递增。
『思考问题1』
（1）【典例1】是运用函数导函数判断函数单调性（或求函数单调区间）的问题，解答这类问题需要理解函数导函数与函数单调性的关系定理，掌握运用函数导函数判定函数单调性（或求函数单调区间）的基本方法；
（2）解答运用函数导函数判断函数单调性问题的基本方法是：①确定函数的定义域；②求函数的导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根；③用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导函数（x）在各个小区间上的符号，根据（x）的符号由定理判断函数f(x)在各个小区间的增减性；⑤得出函数f(x)的单调性；
（3）解答运用函数导函数求函数单调区间问题的基本方法是：①确定函数的定义域；②求函数的导函数（x）；③求解不等式（x）≥0（或（x）≤0）；④得出函数f(x)的单调区间（注意同类的单调区间之间不能用“”，只能用“，”）。
〔练习1〕解答下列问题：
设（x）是函数f(x)的导函数，y=（x）的 y
图像如图所示，则y=f(x)的图像最有可能是（ ）（答案：C）
0 1 2 x
y y y y
0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x 0 1 2 x
A B C D
2、函数f(x)=4+的单调递增区间为（ ）（答案：B）
A （0，+∞） B （，+∞） C （-∞，-1） D （-∞，-）
3、已知函数f(x)=xlnx，则函数f(x)（ ）（答案：D）
A在（0，+∞）上递增B在（0，+∞）时递减C在（0，）上递增D在（0，）上递减
4、函数y=x-lnx的单调递减区间是 。（答案：（0，1））
5、函数f(x)=x-2sinx在（0，2）内的单调递增区间是 。（答案：（0，），（，2））
6、求函数f(x)=(x-3) 的单调区间；（答案：函数f(x)在（-∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增。）
7、已知函数f(x)= lnx，求函数f(x)的单调区间；（答案：函数f(x)在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增。）
【典例2】解答下列问题：
1、已知函数f(x)= ++ax+1（aR），求函数f(x)的单调区间；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④运用导数判断函数单调性的基本方法；⑤参数分类讨论原则及基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），运用导数判断函数单调性的基本方法和参数分类讨论原则及基本方法对参数a的取值分别考虑求出函数f(x)= ++ax+1的单调区间，就可综合得出结果。
【详细解答】（x）=+2x+a，①当=4-4a0，即a1时，（x）0在R上恒成立，函数f(x)= ++ax+1在R上单调递增；②当=4-4a>0，即a<1时，令（x）=0解得：x=-1 -或x=-1 +， x（-∞，-1-）（-1+，+∞）时，（x）>0，x（-1 -，-1+）时，（x）<0，函数f(x)= ++ax+1在区间（-∞，-1-），（-1+，+∞）上单调递增，在区间（-1 -，-1+）上单调递减，综上所述，当a1时，函数f(x)= ++ax+1在R上单调递增；当a<1时，函数f(x)= ++ax+1在区间（-∞，-1-），（-1+，+∞）上单调递增，在区间（-1 -，-1+）上单调递减。
2、已知a∈R,求函数f(x)= 的单调区间；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④运用导数判断函数单调性的基本方法；⑤参数分类讨论原则及基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），运用导数判断函数单调性的基本方法和参数分类讨论原则及基本方法对参数a的取值分别考虑求出函数f(x)= 的单调区间，就可综合得出结果。
【详细解答】（x）=2x+a=( a+2x) ，令（x）=0解得：x=0或x=- ，①当-<0，即a>0时， x（-∞，-）（0，+∞）时，（x）>0，x（-，0）时，（x）<0，函数f(x)= 在区间（-∞，-），（0，+∞）上单调递增，在区间（-，0）上单调递减；②当a=0时， x（-∞，0）时，（x）<0，x（0，+∞）时，（x）>0，函数f(x)= 在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增；③当->0，即a<0时， x（-∞，0）（-，+∞）时，（x）<0，x（0，-）时，（x）>0，函数f(x)= 在区间（-∞，0），（-，+∞）上单调递减，在区间（0，-）上单调递增，综上所述，当a>0时，函数f(x)= 在区间（-∞，-），（0，+∞）上单调递增，在区间（-，0）上单调递减；当a=0时，函数f(x)= 在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增；当a<0时，函数f(x)= 在区间（-∞，0），（-，+∞）上单调递减，在区间（0，-）上单调递增。
3、已知函数f(x)=lnx，g(x)=f(x)+a+bx，其中函数g(x)的图像在点（1，g(1)）处的切线平行于x轴。
（1）确定a与b的关系；
（2）若a0，试讨论函数g(x)的单调性。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数在某点导数的几何意义；⑤运用导数判断函数单调性的基本方法；⑥参数分类讨论原则及基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数f(x)的导函数（x），根据函数在某点导数的几何意义得到关于a，b的等式，从而求出a与b的关系；（2）运用导数判断函数单调性的基本方法和参数分类讨论原则及基本方法对参数a的取值分别考虑求出函数f(x)= 的单调区间，就可综合得出结果。
【详细解答】（1） g(x)=f(x)+a+bx= lnx+a+bx，（x）=+2ax+b，函数g(x)的图像在点（1，g(1)）处的切线平行于X轴，（1）=1+2a+b，b=-1-2a；（2）由（1）知（x）=+2ax+b==，函数g(x)的定义域为（0，+∞），①当a=0时，令（x）=0解得：x=1， x（0，1）时，（x）>0，x（1，+∞）时，（x）<0，函数g(x)在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减；②当a>0时，令（x）=0解得：x=1或x= ，若>1，即00，x（1，）时，（x）<0，函数g(x)在区间（0，1），（，+∞）上单调递增，在区间（1，）上单调递减；若0<<1，即a>时， x（0，）（1，+∞）时，（x）>0，x（，1）时，（x）<0，函数g(x)在区间（0，），（1，+∞）上单调递增，在区间（，1）上单调递减；若
=1，即a=时， x（0，+∞）时，（x）0恒成立，函数g(x)在区间（0，+∞）上单调递增，综上所述，当a=0时，函数g(x)在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减；当0a>时，函数g(x)在区间（0，），（1，+∞）上单调递增，在区间（，1）上单调递减。
4、（理）已知函数f(x)=2-a+b。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）是否存在a，b，使得f(x)在区间［0，1］的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由。
（文）已知函数f(x)=2-a+2。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当0＜a＜3时，记f(x)在区间［0，1］的最大值为M，最小值为m，求M-m的取值范围（2019全国高考新课标III）
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与基本求法；②运用函数的导函数判断函数单调性的基本方法；③参数分类讨论的原则与基本方法；④求解探索性问题的基本方法；⑤运用导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）运用求函数导函数的基本方法求出导函数（x），根据结合问题条件得到关于参数a的方程，求解方程得出a的值，根据参数分类讨论的原则与基本方法和由函数的导函数判断函数单调性的基本方法就可得到函数的单调性； （2）（理）根据求解探索性问题的基本方法和由函数的导函数求函数最值的基本方法求出函数f(x)在区间［0，1］上的最大值和最小值，结合问题条件就可得出结论。（文）根据由函数的导函数求函数最值的基本方法求出函数f(x) 在［0,1］上的最大值和最小值，从而得到关于参数a的函数，利用求函数值域的基本方法就可求出函数f(x)在［0,1］上的最大值和最小值之差的取值范围。
【详细解答】（1）（x）=6-2ax，函数（x）图像的对称轴为x=，与X轴的两个交点为（0，0），（，0），①当a>0时，（x）>0在（-，0）（，+）上恒成立，（x）<0在（0，）上恒成立， 函数f(x)在（-，0），（，+）上单调递增，在（0，）上单调递减；②当a=0时，（x）0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增；③当a<0时，（x）>0在（-，）（0，+）上恒成立，（x）<0在（，0）上恒成立， 函数f(x)在（-，），（0，+）上单调递增，在（，0）上单调递减；综上所述，当a>0时，函数f(x)在（-，0），（，+）上单调递增，在（0，）上单调递减；当a=0时，函数f(x)在R上单调递增；当a<0时，函数f(x)在（-，），（0，+）上单调递增，在（，0）上单调递减；（2）（理）设存在a，b，使得f(x)在区间［0，1］的最小值为-1且最大值为1，①当0<<1，即00
在（，1]上恒成立，（x）<0在（0，）上恒成立，函数f(x)在（，1]上单调递增，在（0，）上单调递减， f(0)=0-0+b=b，f(1)=2-a+b，= f()=-+b
=-+b，=2-a+b（00在[0，1]上恒成立，函数f(x)在[0，1]上单调递增，= f(0)= b =-1，= f(1)= 2-a+ b=1，此时没有满足条件的a，b的值存在，综上所述，存在a=4，b=1或a=0，b=-1，使得函数f(x)在区间［0，1］的最小值为-1且最大值为1。
（文）0＜a＜3，0<<1，（x）>0在（，1]上恒成立，（x）<0在（0，）上恒成立，函数f(x)在（，1]上单调递增，在（0，）上单调递减， f(0)=0-0+b=b，f(1)=2-a+b，= f()=-+b=-+b，=2-a+b（0设g(a)= -a+2，(a)= -1=<0在（0，2）上恒成立，函数g(a)在（0，2）上单调递减，< g(0)=0-0+2=2，> g(,2)= -2+2=，函数g(a)的值域为（，2）；②当2a<3时，M==b，m==-+b，M-m=，
设g(a)= ，(a)= >0在[2，3）上恒成立，函数g(a)在[2，3）上,单调递增，
< g(3)=1，=g(2)= ，函数g(a)的值域为[，1），综上所述，
若函数f(x)在区间［0，1］的最大值为M，最小值为m，则M-m的取值范围是[，2）。
『思考问题2』
【典例1】是运用函数导函数判断函数f(x)解析式中含有参数的单调性（或求单调区间）的问题，解答这类问题需要理解函数导函数与函数单调性的关系定理和参数分类讨论的原则与基本方法；
（2）解答运用函数导函数判断函数f(x)解析式中含参数函数单调性的基本方法是：①确定函数的定义域；②求函数的导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根（根据参数分类讨论的原则和基本方法注分别求出实根）；③用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导函数（x）在各个小区间上的符号（注意参数对不等式的影响），根据（x）的符号由定理判断函数f(x)在各个小区间的单调性；⑤得出函数f(x)的单调性；
（3）解答运用函数导函数求函数f(x)解析式中含有参数的单调区间问题的基本方法是：①确定函数的定义域；②求函数的导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根（根据参数分类讨论的原则和基本方法注分别求出实根）；③用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导函数（x）在各个小区间上的符号（注意参数对不等式的影响），根据（x）的符号由定理判断函数f(x)在各个小区间的单调性；⑤得出函数f(x)的单调区间；
（4）含参数的函数的单调性问题一般要对参数分类讨论，常见的分类讨论标准是：①方程（x）=0是否有根；②若方程（x）=0有根，需要判断求出的根是否在定义域内；③若方程（x）=0的根在定义域内且有两个需要比较根的大小。
〔练习2〕解答下列问题：
1、讨论函数f(x)=(a-1)lnx+a+1的单调性。（答案：当a0时，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减；当02、已知函数f(x)=a+6-x(a≠0)，求函数f(x)的单调区间；（答案：当a>0时，函数f(x)在（，）上单调递减，在（-∞，），（，+∞）上单调递增；当a>0时，函数f(x)在（-∞，），（，+∞）上单调递减，在（，）上单调递增。）
3、已知函数f(x)= (ax+b)- -4x，曲线y= f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程为y=4x+4。（1）求a，b的值；
（2）讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值。（答案：（1）a=4，b=4；（2）函数f(x)在（-∞，-2），（-ln2，+∞）上单调递增，在（-2，-ln2）上单调递减；= f(-2)=4（1- ），= f(-ln2)=-ln 2+2ln2+2。）
【典例3】解答下列问题：
1、若函数f(x)=++mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（ ）
A （，+∞） B （-∞，） C ［，+∞） D （-∞，］
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数单调性的定义与性质；⑤运用导函数判断单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数m的不等式，求解不等式求出实数m的取值范围就可得出选项。
【详细解答】（x）=3+2x+m，函数f(x)=++mx+1是R上的单调函数，=4
-12m0，m，实数m的取值范围是［，+∞），C正确，选C。
2、设函数f(x)= -a+(a-1)x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数单调性的定义与性质；⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（x）=-ax+a-1，函数f(x)= -a+(a-1)x+1在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，（4）=15-3a0①，（6）=35-5a0②，=-4（a-1）0③,联立①②③解得：5 a 7, 实数a的取值范围是［5，7］。
3、设f(x)=a+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调间；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数单调性的定义与性质；⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，就可求出函数f(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（x）=3a+1，①当a0时，（x）＞0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增，与题意不符；②当a＜0时，令（x）=0解得：x=或x=- ， x（-∞，）（-，+∞）时，（x）＜0，x（，-）时，（x）＞0，函数f(x)在区间（-∞， ），（-，+∞）上单调递减，在区间（ ，-）上单调递增，综上所述，函数f(x)=a+x恰有三个单调区间，实数a的取值范围是（-∞，0），函数f(x)的三个单调区间分别是（-∞，），（-，+∞），（，-）。
4、已知函数f(x)的图像与函数h(x)=x++2的图像关于点A（0，1）对称。
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若g(x)=f(x)+ 在区间（0，2〕上为减函数，求实数a的取值范围；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数解析式的定义与性质； ⑤求函数解析式的基本方法；⑥函数单调性的定义与性质；⑦运用导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】（1）运用函数解析式的性质和求函数解析式的基本方法就可求出函数f(x)的解析式；（2）根据函数求导公式和求导法则，求出函数g(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（1）设P（x，y）是函数f(x)图像上的任意一点，它关于点A（0，1）的对称点为（，）， =0，=1， =-x，=2-y，点（，）在函数h(x)的图像上， =2-y = h(-x)=-x-+2，函数f(x)= x+；（2）g(x)=f(x)+ = x++， （x）=1- - = ， 函数g(x)在区间（0，2〕上为减函数， （x）= 0在区间（0，2〕上恒成立，-1a在区间（0，2〕上恒成立，设函数m（x）=-1，（x）=2x＞0在区间（0，2〕上恒成立，函数m（x）在区间（0，2〕上单调递增， x∈（0，2〕时，= m（2）=4-1=3，若函数g(x)=f(x)+ 在区间（0，2〕上为减函数，则实数a的取值范围是［3，+∞）。
5、已知函数f(x)= -ax-1。
（1）若函数f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使函数f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数单调性的定义与性质； ⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数求导公式和求导法则，求出函数g(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围；（2）设存在实数a，使函数f(x)在（-1，1）上单调递减，利用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式，求解不等式若有解，就可求出实数a的取值范围；若无解，则不存在实数a，使函数f(x)在（-1，1）上单调递减。
【详细解答】（1）（x）=3-a，函数f(x)在实数集R上单调递增，（x）0在R上恒成立，即a3在R上恒成立，设函数g(x)= 3， =0，若函数f(x)在实数集R上单调递增，则实数a的取值范围（-∞，0］；（2） 设存在实数a，使函数f(x)在（-1，1）上单调递减，①当a0时，由（1）知函数f(x)在实数集R上单调递增，与题意不符；②当a＞0时，令（x）=0解得：x=- 或x= ，函数f(x)在（-1，1）上单调递减，- -1且1，a3，综上所述，存在实数a∈［3，+∞），使函数f(x)在（-1，1）上单调递减。
『思考问题3』
（1）【典例3】是已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）的问题，解答这类问题需要根据函数导函数与函数单调性相关的定理和函数具有单调性的条件，得到关于参数的不等式（或不等式组），然后求解不等式（或不等式组）就可得出答案；
（2）已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）的基本方法是：①根据函数f(x)在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集寻求参数应该满足的条件；②函数f(x)为增函数（或减函数）的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有（x）0（或（x）0），且在（a，b）的任一非空子区间上（x）不恒为零（注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解）；③运用函数在某个区间存在单调区间参数应该满足的条件得到不等式（或不等式组）；④求解不等式（或不等式组）。
〔练习3〕解答下列问题：
1、如果函数f(x)= -ax-1在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（答案：实数a的取值范围是（-∞，0]。）
2、如果函数f(x)=ax-在区间（0，2〕上单调递增，求实数a的取值范围。（答案：实数a的取值范围是[- ， +∞）。）
3、已知函数f(x)=-+a+1（aR）。
（1）若函数y=f(x)在区间（0，）上递增，在区间〔，+∞）递减，求a的值；
（2）当x〔0,1〕时，设函数y=f(x)图像上任意一点处的切线的倾斜角为，若给定常数a〔，+∞），求的取值范围。（答案：（1）a=1；（2）（0，）。）
4、已知函数f(x)= lnx-a(aR)。
（1）若函数f（x）在点（1，f(1)）处的切线与直线y=x+1垂直，求a的值；
（2）若函数f(x)在（0，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围。（答案：（1）a=2；（2）实数a的取值范围是（-∞，1]。）
【雷区警示】
【典例4】解答下列问题：
1、已知函数f(x)= -+a-x-1在R上是减函数，求实数a的取值范围。
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法，求出函数f(x) 的导数（x），利用函数导函数判断函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（x）=-3+2ax-1，函数在R上是减函数，（x）=-3+2ax-1≤0在R恒成立，=4-12≤0，-≤a≤，即若函数f(x)= -+a-x-1在R上是减函数，则实数a的取值范围是[-，]。
已知函数f(x)= -ax-1，若函数f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
【解析】
【知识点】①函数导函数的定义与性质；②函数求导公式及运用；③函数求导法则及运用；
④函数单调性的定义与性质； ⑤运用导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求导法则，求出函数g(x) 的导数（x），运用函数单调性的性质和判断函数单调性的基本方法得到关于参数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】（x）=3-a，函数f(x)在实数集R上单调递增，（x）0在R上恒成立，即a3在R上恒成立，设函数g(x)= 3， =0，若函数f(x)在实数集R上单调递增，则实数a的取值范围（-∞，0］；
『思考问题4』
【典例4】是解答运用函数导函数判断函数单调性（或求函数单调区间）问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要是忽视运用函数导函数判断函数单调性的充分必要条件，导致解答出现错误；
解答运用函数导函数判断函数单调性（或求函数单调区间）问题时，为避免忽视运用函数导函数判断函数单调性的充分必要条件的雷区，需要注意运用函数导函数判断函数单调性的充分必要条件。
〔练习4〕解答下列问题：
1、如果函数f(x)=ax-在区间（0，2〕上单调递增，求实数a的取值范围。（答案：实数a的取值范围是[- ， +∞）。）
2、设函数f(x)= -a+(a-1)x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围。（答案：实数a的取值范围是［5，7］。）
【追踪考试】
【典例5】解答下列问题：
1、（理）记函数f(x)的导函数为(x)，若函数f(x)为奇函数，且当x（ -，0）时恒有f(x)<(x)tanx成立，则（ ）
A f（-）>f（-） B f（-）>-f（）
C f（）>f（） D f（-）（文）记函数f(x)的导函数为(x)，若函数f(x)为奇函数，且当x（ -，0）时恒有f(x)cosx<
(x)sinxx成立，则（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A f（-）>f（-） B f（）>-f（-）
C f（）>f（） D f（-）>-f（）
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②正切三角函数定义与性质；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】（理）根据奇函数和正切三角函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件得到函数f(x)的解析式，利用函数导函数判断函数单调性的基本方法，对各选项的正确与错误进行判断，就可得出选项。（文）根据奇函数和正切三角函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件得到函数f(x)的解析式，利用函数导函数判断函数单调性的基本方法，对各选项的正确与错误进行判断，就可得出选项。
【详细解答】（理）设函数f(x)=，(x) ==-，当x（ -，0）时，f(x)-(x)tanx=+）=（cosx+）<0恒成立，且函数设函数f(x)奇函数，函数f(x)=符合题意，对A，f（-）=
=-，f（-）=-1，-<-1，f（-）f（-）==-，-f（）=-=-3，->-3，f（-）>-f（），B正确；对C，f（）==，f（）=-=，<，f（）-3，f（-）>f（-），D错误，综上所述，D正确，选D。
（文）设函数f(x)=，(x) ==-，当x（ -，0）时，cosxf(x)-(x)sinx=+）=<0恒成立，且函数设函数f(x)奇函数，
函数f(x)=符合题意，对A，f（-）==-，f（-）==-，
-<-，f（-）1，f（）>-f（），B正确；对C，f（）==1，f（）==，1<，f（）2、设a（0，1），若函数f(x)=+在（0，+）时单调递增，则a的取值范围是
（2023全国高考乙卷理）
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②函数导函数定义与性质；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据指数函数和函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则与基本方法和用函数导函数判断函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式就可求出a的取值范围。
【详细解答】（x）=lna+ln(1+a)，函数f(x)=+在（0，+）时单
调递增，（x）=lna+ln(1+a)≥0在（0，+）上恒成立，设g(x)=（x）=lna+ln(1+a)，（x）=lna+ln(1+a)>0在（0，+）上恒成立，
函数g(x)=（x）在（0，+）时单调递增，>g(0)=（0）=lna+ln(1+a)
=ln(+a)≥0，+a-1≥0，a≤或a≥，a（0，1），≤a<1，
即若函数f(x)=+在（0，+）时单调递增，则a的取值范围是[，1）。
3、已知函数f(x)=a-lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（ ）（2023全国高
考新高考II）
A e B e C D
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数的导函数，利用函数导函数判断函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式求出a的最小值就可得出选项。
【详细解答】（x）= a-,函数f(x)=a-lnx在区间（1，2）上单调递增，（x）= a-0, a，若函数f(x)=a-lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为， C正确，选C。
4、若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是（ ）（成都市2020级高三零诊）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数 (x)，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法得到关于k的不等式，求解不等式求出实数k的取值范围就可得出选项。
【详细解答】 (x)= k-=，①当k0时， (x)<0在（1，+）恒成立，函数f(x)在（1，+）上单调递减，与题意不符；②当k>0时，令 (x)=0解得x=，函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增， 1，k2，综上所述，若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是[2，+），B正确，选B。
5、（理）已知a=，b=cos，c=4sin，则（ ）
A c>b>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
（文）已知=10，a=-11，b=-9，则（ ）（2022全国高考甲卷）
A a>0>b B a>b>0 C b>a>0 D b>0>a
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；③同角三角函数基本关系及运用；④正切三角函数定义与性质；⑤比较实数大小的基本方法。
【解答思路】（理）构造函数f(x)=1--cosx， x[0，]，根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法判断函数f(x)在区间[0，]的单调性，从而可以比较a，b的大小；由同角三角函数的基本关系得到关于x的函数h(x)的解析式，根据正切三角函数的性质性质，得到函数h(x)在区间（0，）的单调性，从而可以比较b，c的大小，得到a，b，c的大小关系就可得出选项。（文）
构造函数f(x)= （x+1）=， x（0，+），根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法判断函数f(x)在区间（1，+）上单调递减，从而得到f(8)> f(9)> f(10)，利用比较实数大小的基本方法得出a，b与0的大小关系，就可得出选项。
【详细解答】（理）设函数 f(x) =1--cosx， x[0，]，g(x)= （x）=-x+sinx，（x）=-1+cosx0在[0，]上恒成立，函数g(x)= （x）=-x+sinx 在[0，]上单调递减， 对任意的x[0，]，g(x)= （x） g(0) =-0+0=0，函数f(x) 在[0，]上单调递减， f ()=1-- cos=- cos=a-b< f(0)=1-0-1=0，a=4sin/ cos= ，设函数h（x）= ，x （0，），由正切三角函数的性
质可知，当x （0，）时，tanx>x恒成立， 函数h（x）= >1在（0，）
恒成立，即c>b， 综上所述，c>b>a， A正确，选A。
（文）设函数 f(x) = （x+1）=， x（0，+），（x）=<0在（0，+）上恒成立，函数f(x)在（0，+）上单调递减， f(8)> f(9)> f(10)，=10，n= ， b= -9= -9< -9=9-9
=0, b< 0，a= -11 =-11>-11= 11-11=0,a>0，综上所述， a>0>b ， A正确，选A。
6、（理）设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1，则（ ）
A a（文）设a0，若x=a为函数f(x)=a(x-b)的极大值点，则（ ）（2021全国高考乙卷）
A ab C ab< D ab>
【解析】
【考点】①对数定义与性质；②比较实数大小的基本方法；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；⑤函数极值定义与性质；⑥运用函数导
函数求函数极值的基本方法。
【解答思路】（理）根据对数的性质，运用比较实数大小和运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，得到实数a，b，c的大小关系，就可得出选项。（文）根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数判断函数在某点存在极值的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的式子，从而求出a，b直角的关系就可得出选项。
【详细解答】（理） a=2ln1.01=ln=ln1.0201，1.0201>1.02， a=2ln1.01> b=ln1.02，
设f(x)=2ln(1+x)-+1，（x）=-=>0在（0，2）上恒成立，函数f(x) 在（0，2）上单调递增， f(0)=2ln(1+0)- +1=0-1+1=0，当x（0，2）时，f(x)>0恒成立，a>c，设g(x)=ln(1+2x)- +1，（x）=-
=<0在[0，+）上恒成立，函数g(x)在[0，+）上单调递减， g(0)
=ln(1+0)- +1=0-1+1=0，当x[0，+）时，g(x)<0恒成立，c>b，综上所述， b作出函数f(x)的 大致图像如图（1）所示，由图
知0图（2）所示，由图知b， (图1) (图2)
D正确， 选D。
『思考问题5』
【典例5】是近几年高考（或成都市高三诊断考试）试卷中运用函数导函数判断函数单调性（或求函数单调区间）的问题，归结起来主要包括：①运用函数导函数判断函数单调性；②运用函数导函数求函数的单调区间；③已知函数的单调性，求函数解析式中参数的值（或取值范围）几类问题；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题的结构特征判断其所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)=（x-1）-a+b。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）从下面两个条件中任选一个，证明：函数f(x)有一个零点。
①2a；②0时，函数f(x)在（0，ln2a）上单调递减，在（-，0），（ln2a，+）上单调递增；（2）提示：若选择①2a的条件，可证明函数f(x)在（-b，0）上有一个零点，从而证明结论；若选择②02、设函数f(x)= +ax-3lnx+1，其中a>0。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）若y=f(x)的图像与X轴没有公共点，求a的取值范围。（答案：（1）函数f(x)在（0，）上单调递减，在（，+ ）上单调递增；（2）实数a的取值范围为（，+ ））