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2023-2024学年八年级数学下册-等腰三角形（北师大版）
考点1：等腰三角形的概念与性质
等腰三角形概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
2.等腰三角形的性质
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
【题型1根据等腰三角形的性质求有关的边长】
【典例1】（2022秋 苍梧县期末）已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是（ ）
A．5 B．7.5 C．5或10 D．5或7.5
【答案】A
【解答】解：分两种情况：
当腰长为5时，等腰三角形的底边长＝20﹣5×2＝20﹣10＝10，
∵5+5＝10，
∴不能组成三角形，
当底边长为5时，等腰三角形的腰长＝×（20﹣5）＝7.5，
综上所述：此等腰三角形的底边长为5，
故选：A．
【变式1-1】（2023秋 昆明期中）等腰三角形的两边分别为3cm，4cm，则它的周长是（ ）
A．10cm B．11cm
C．16cm或9cm D．10cm或11cm
【答案】D
【解答】解：①3cm是腰长时，能组成三角形，周长＝3+3+4＝10cm，
②4cm是腰长时，能组成三角形，周长＝4+4+3＝11cm，
所以，它的周长是10cm或11cm．
故选：D．
【变式1-2】（2023秋 滨海新区校级期中）等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则等腰三角形的周长（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．18
【答案】B
【解答】解：分两种情况：
当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；
当腰为9时，9+9＞4，所以能构成三角形，
周长是：22．
故选：B．
【变式1-3】（2023秋 仁化县期中）一个等腰三角形的周长为24cm，只知其中一边的长为7cm，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．7cm B．8.5cm
C．10cm D．7cm或8.5cm
【答案】D
【解答】解：∵若7cm为等腰三角形的腰长，则底边长为：24﹣2×7＝10（cm），此时三角形的三边长分别为7cm，7cm，10cm，符合三角形的三边关系；
若7cm为等腰三角形的底边，则腰长为：（24﹣7）÷2＝8.5（cm），此时三角形的三边长分别为8.5cm，8.5cm，7cm，符合三角形的三边关系；
∴该等腰三角形的腰长为7cm或8.5cm，
故选：D．
【题型2根据等腰三角形的性质求角度】
【典例2】（2023春 兴宁市期末）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
【答案】B
【解答】解：分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时，底角为（180°﹣80°）＝50°；
②当80°角为底角时，另一底角也为80°，顶角为20°；
综上所述：等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是80°或20°；
故选：B．
【变式2-1】（2022秋 巫溪县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（ ）
A．55° B．70° C．70°或55° D．70°或40°
【答案】C
【解答】解：当它的顶角为70°时，
它的顶角度数为：（180°﹣70°）÷2＝55°；
当它的底角为70°时，
它的顶角度数为：180°﹣2×70°＝40°；
∴它的底角度数是55°或70°．
故选：C．
【变式2-2】（2023秋 曲阜市期中）已知等腰△ABC中，AB＝AC，若该三角形有一个内角是70°，则顶角A的度数为（ ）
A．70° B．55° C．40° D．40°或70°
【答案】D
【解答】解：若70°是顶角，则顶角为70°；
若70°是底角，则设顶角是y，
∴2×70°+y＝180°，
解得：y＝40°．
故选：D．
【变式2-3】（2022秋 南开区校级期末）等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（ ）
A．70° B．70°或40° C．110° D．110°或40°
【答案】C
【解答】解：如图：在△ABC中，AB＝AC，
当∠DAC＝70°时，
∴∠BAC＝180°﹣∠DAC＝110°，
∴等腰三角形的顶角的度数为110°，
故选：C．
【题型3与垂直平分线有关运算】
【典例3】（2023秋 建瓯市期中）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是（ ）
A．15° B．20° C．45° D．25°
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣30°）＝75°，
∵DE垂直平分线AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝75°﹣30°＝45°．
故选：C．
【变式3-1】（2022秋 利川市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（ ）
A．11 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∵△BCD的周长为24，
∴BD+CD+BC＝24，
∴AB+BC＝24，
∵BC＝10，
∴AC＝AB＝24﹣10＝14．
故选：C．
【变式3-2】（2023春 蓬莱区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC＝12，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AE的中垂线交BC于点D，
∴AD＝ED，
在△ABD与△DCE中
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD＝AB＝12，BD＝CE，
∵BD＝4，
∴CE＝BD＝4，
∴AE＝AC﹣CE＝12﹣4＝8．
故选：C．
【变式3-3】（2022秋 惠州期末）如图，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于D，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴，
∵AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°；
故选：B．
考点2：等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：
(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
【题型4判断等腰三角形的个数】
【典例4】（2023秋 德城区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴BD＝AD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠C＝∠BDC＝72°，
∴BD＝BC，
∴△BCD是等腰三角形；
∵BE＝BC，
∴BD＝BE，
∴△BDE是等腰三角形；
∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°，
∴∠A＝∠ADE，
∴DE＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形有5个．
故选：D．
【变式4-1】（2023秋 武清区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，则图中等腰三角形的个数是 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝＝72°，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∵∠BDC是△ABD的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C＝72°，
∴BD＝BC，
∴△ABC，△ABD，△BDC都是等腰三角形，
∴图中等腰三角形的个数是3，
故答案为：3．
【变式4-2】（2023 鄞州区校级开学）如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有 6 个．
【答案】6．
【解答】解：∵∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，
∴△ABC和△ADE是等腰三角形，
∵∠B＝36°，∠ADE＝72°，
∴∠BAD＝36°，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰三角形，同理△AEC是等腰三角形，
∵∠ADE＝∠AED＝72°，
∴∠DAE＝36°，
∴∠CAD＝36°+36°＝72°，
∴∠CAD＝∠CDA＝72°，
∴△ADC是等腰三角形，
同理：△ABE是等腰三角形，
综上所述：等腰三角形有6个，
故答案为：6．
【题型5根据等腰三角形的存在性找点的个数】
【典例5】（2022秋 东阿县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】D
【解答】解：（1）当AB是底边时，作AB的垂直平分线分别与AC，x轴负半轴相交，共两个交点，都符合条件；
（2）当AB是腰时，①以点A为圆心AB长为半径画圆分别与y轴正半轴，负半轴，x轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件；
②以点B为圆心AB长为半径画圆分别与x轴正半轴，负半轴，y轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件，
因此共有8个符合条件的点．
故选：D．
【变式5-1】（2023秋 西湖区校级月考）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为面积为1的等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解答】解：如图：分情况讨论
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有2个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：D．
【变式5-2】（2023秋 五华区校级期中）如图，已知点A，B的坐标分别为（3，0）和（0，5），在坐标轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有（ ）个．
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解答】解：如图，
当AB＝AC时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外），
当BA＝BC时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），
当CA＝CB时，画AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，
综上所述：符合条件的点C的个数有8个，
故选：C．
【变式5-3】（2023秋 原阳县期中）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数有 3 个．
【答案】3．
【解答】解：当AB为腰时，点C的个数有2个；
当AB为底时，点C的个数有1个，
故答案为：3
【题型6等腰三角形的判定】、
【典例6】（2023春 东源县期末）已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵D是AB中点，
∴AD＝BD，
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，即△ABC是等腰三角形．
【变式6-1】（2023秋 永泰县期中）如图，在△ABC中，∠A＝∠C，AB＝AC，BD＝AD．
（1）求∠A的度数．
（2）求证：△DBC是等腰三角形．
【答案】（1）36°；（2）见详解．
【解答】（1）解：设∠A＝x．
∵∠A＝∠C，AB＝AC，
∠ABC＝∠ACB＝2∠A＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴x+2x+2x＝180°，
解得 x＝36°，
∴∠A＝36°，
（2）证明：由（1）可知∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°
∵BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，即△DBC是等腰三角形．
【变式6-2】（2023秋 泗洪县期中）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F．
（1）证明：BA＝BC；
（2）求证：△AFC为等腰三角形．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【解答】证明：（1）在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴BA＝BC；
（2）∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAD＝∠BCE，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴FA＝FC，
∴△AFC为等腰三角形．
【变式6-3】（2023 永嘉县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．
【答案】（1）108°；
（2）见解析．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝36°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；
（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝72°，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．
【变式6-4】（2022秋 汤阴县期中）如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上的一点，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，连接CD，若BE+CF＝EF．求证：△CFD是等腰三角形．
【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠DCB，
∴∠ABD＝∠EDB．
∴BE＝DE．
∵BE+CF＝EF，
∴DE+CF＝DE+DF，
∴CF＝DF，
∴△DFC是等腰三角形．
【题型7等腰三角形的判定与性质】
【典例7】（2023春 修水县期末）在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．
（1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由；
（2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长．
【答案】（1）△AEF是等腰三角形，理由见解析；
（2）12．
【解答】解：（1）△AEF是等腰三角形，
理由：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形；
（2）∵△ABC的周长为18，BC＝6，
∴AB+AC＝18﹣6＝12，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
同理DF＝CF，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝12．
【变式7-1】（2022秋 岳阳楼区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝75°，∠C＝37°，求∠BDE的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）34°．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE；
（2）解：在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝37°
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣75°﹣37°＝68°，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠CBD＝34°．
【变式7-2】（2023春 高陵区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．
（1）求证：△ACD为等腰三角形．
（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴AB＝AD．
∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴△ACD为等腰三角形；
（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，
∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，
∠ABC＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
由（1）知，AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，
∴∠BDC＝50°．
【变式7-3】（2023 瓯海区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E．
（1）过点E作EF∥BC交AB于点F，求证：FB＝FE．
（2）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
【答案】（1）证明见解答；
（2）∠BAD的度数是54°．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，即∠FBE＝∠CBE，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠EBF＝∠FEB，
∴FB＝FE．
（2）解：∵AB＝AC，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，∠ABD＝∠C＝36°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣36°＝54°，
∴∠BAD的度数是54°．
【题型8 等腰三角形的实际应用】
【典例8】（2020秋 铁锋区期中）数学与生活．
如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上．
（1）求轮船在B处时与灯塔M的距离；
（2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，则此时轮船与灯塔M的距离是 14海里 ，灯塔M在轮船的 南偏东60° 方向上．
【答案】（1）14海里；
（2）轮船与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向．
【解答】解：（1）据题意得，∠CBM＝60°，∠BAM＝30°，
∵∠CBM＝∠BAM+∠BMA，
∴∠BMA＝30°，
∴∠BMA＝∠BAM，
∴AB＝BM，
∴AB＝28×0.5＝14，
∴BM＝14，
答：轮船在B处时与灯塔M的距离为14海里；
（2）∵BC＝14，BM＝BC 且∠CBM＝60°，
∴△BMC是等边三角形，
∴CM＝BC，∠BCM＝60°，
∴CM＝14，
答：轮船与灯塔M的距离是14海里，灯塔M在轮船的南偏东60°方向上，
故答案为：14海里，南偏东60°．
【变式8-1】（2022秋 嘉峪关期末）如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°．求从B处到灯塔C的距离．
【答案】40海里．
【解答】解：根据题意，可得AB＝20×2＝40（海里），
∵∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，
∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝80°﹣40°＝40°，
∴∠ACB＝∠NAC，
∴BC＝BA＝40海里，
答：从B处到灯塔C的距离为40海里．
【变式8-2】（2022秋 越秀区校级期中）如图，一条船上午8时从A处以20海里/小时的速度向正南航行，上午10时到达B处，从A处测得灯塔C在南偏东30°的方向上，在B处测得灯塔C在南偏东60°的方向上．
（1）求B处离灯塔C的距离；
（2）轮船从B处出发，按原速度航行，再过多少小时灯塔C正好在船的正东方向．
【答案】（1）40；（2）1．
【解答】（1）解：根据题意可得∠1＝30°，∠2＝60°，
∴∠C＝∠2﹣∠1＝60°﹣30°＝30°，
∴∠1＝∠C＝30°，
.BC＝AB＝20×（10﹣8）＝40（海里），
即B处离灯塔C的距离为40海里；
（2）解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示
∴∠CDB＝90°，
∵∠2＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝BC＝20海里，
∴20+20＝1（小时）
∴轮船从B处出发，按原速度航行，再过1小时灯塔C正好在船的正东方向
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 无为市期中）等腰三角形的一个角是80°，它的底角度数为（ ）
A．100° B．50° C．100°或50° D．80°或50°
【答案】D
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的顶角是80°时，
∴它的底角度数＝＝50°；
当等腰三角形的一个底角是80°时，另一个底角也是80°，
∴它的顶角度数＝180°﹣80°﹣80°＝20°；
综上所述：它的底角度数为50°或80°，
故选：D．
2．（2023秋 沙坪坝区校级期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．垂线段最短
C．等腰三角形的三线合一
D．DE是BC的垂直平分线
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的三线合一，
故选：C．
3．（2023秋 江华县期中）如图所示，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠BAC＝40°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），
∴∠EBA＝∠BAC．
∵∠BAC＝40°，∠EBA＝∠BAC，
∴∠EBA＝40°．
∵∠ABC＝70°，∠EBA＝40°，
∴∠CBE＝30°．
故选C．
4．（2022秋 长兴县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，若∠C＝65°，则∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝65°，
∴∠C＝∠B＝65°，
∵D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
5．（2023秋 赤峰期中）等腰三角形一边长是6，另一边长是12，则周长是（ ）
A．24 B．30 C．24或30 D．18
【答案】B
【解答】解：分两种情况：
当腰为6时，6+6＝12，所以不能构成三角形；
当腰为12时，6+12＞12，所以能构成三角形，周长是：12+12+6＝30．
故选：B．
6．（2023秋 文成县期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动，若∠ODE＝108°，则∠CDE的度数是（ ）
A．68° B．72° C．84° D．96°
【答案】C
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝180°﹣108°＝72°，
∴∠ODC＝24°，
∵∠CDE+∠ODC＝108°，
∴∠CDE＝108°﹣∠ODC＝108°﹣24°＝84°．
故选：C．
7．（2023秋 玉树州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝75°，BD是AC边上的高，则∠ABD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝75°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝60°，
故选：C．
8．（2023秋 河东区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝24°，∠EDC＝12°则∠DAE的度数为（ ）
A．58° B．60° C．62° D．64°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，AD＝DE，
∴∠B＝∠C，∠DAE＝∠DEA，
∵∠ADC＝∠BAD+∠B，∠DEA＝∠C+∠EDC，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC＝∠B+24°﹣12°＝∠B+12°，∠DEA＝∠B+12°，
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，
∴∠B+12°+∠B+12°+∠B+12°＝180°，
∴∠DAE＝∠B+12°＝60°．
故选：B．
9．（2023秋 临沂期中）如图，已知△ABC的面积为28，AB＝AC＝16，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DF＝2DE，则DF长为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【解答】解：连接AD，如下图，
∵△ABC的面积为28，AB＝AC＝16，DE⊥AB，DF⊥AC，
S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝S△ABD+S△ACD＝28，
∴AB DE+AC DF＝28，
∴8DE+8DF＝28，
∴DE+DF＝，
∵DF＝2DE，
∴DE+2DE＝，
解得DE＝，
∴DF＝2DE＝．
故选：A．
10．（2023春 莱山区期末）如图，在△ABC中，AC＝18cm，BC＝20cm，点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒1.6cm的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当△CMN是以MN为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】D
【解答】解：设运动的时间为x秒，
在△ABC中，BC＝20cm，AC＝18cm，
点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒1.6cm的速度向点B运动，
当△CMN是等腰三角形时，CM＝CN，
CM＝18﹣2x，CN＝1.6x
即18﹣2x＝1.6x，
解得x＝5．
∴CM＝CN＝8（cm），
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．（2023秋 娄底期中）如果一个等腰三角形的周长为17，一边长为5，那么腰长为 5或6 ．
【答案】5或6．
【解答】解：当5是等腰三角形的底边时，则其腰长是（17﹣5）÷2＝6，能够组成三角形；
当5是等腰三角形的腰时，则其底边是17﹣5×2＝7，能够组成三角形．
故该等腰三角形的腰长为5或6．
故答案为：5或6．
12．（2023秋 南关区期末）如图，射线BA、CA交于点A，连接BC，已知AB＝AC，∠B＝40°，那么x的值是 80° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝40°，
∴x＝∠C+∠B＝80°．
故答案为：80°．
13．（2023秋 儋州期中）如图，在△ABC中，AD＝DE，AB＝BE，∠A＝70°，则∠DEC＝ 110° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD，
∴∠DEB＝∠A＝70°，
∴∠DEC＝110°．
故答案为：110°．
14．（2023秋 玉州区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，若AD＝AE，∠DEC＝10°，则∠BAE的度数为 20° ．
【答案】20°．
【解答】解：∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
设∠B＝∠C＝α，则∠ADE＝∠AED＝α+10°，
∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝α+20°，∠AEC＝∠B+∠BAE＝α+∠BAE，
∴∠BAE＝20°，
故答案为：20°．
15．（2023秋 科左中旗期中）如图，∠AOB是一角度为17°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FC、GH…，且OE＝EF＝FG＝GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB＝17°，
∴∠GEF＝∠FGE＝34°，…
从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是17°，第二个是34°，第三个是51°，四个是68°，五个是85°，六个是102°就不存在了．
所以最多能添加这样的钢管的根数为5根．
故答案为：5．
解答题（共3小题）
16．（2023秋 苍溪县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．
（1）若∠A＝34°，求∠DCB的度数．
（2）若AE＝4，△DCB的周长为14，求△ABC的周长．
【答案】（1）∠DCB的度数为39°；
（2）△ABC的周长为22．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝34°，
∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝73°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠A＝∠ACD＝34°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝39°，
∴∠DCB的度数为39°；
（2）∵DE是AC的垂直平分线，AE＝4，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝8，
∵△DCB的周长为14，
∴CD+DB+BC＝14，
∴AD+DB+BC＝14，
∴AB+BC＝14，
∴△ABC的周长＝AC+AB+BC＝8+14＝22，
∴△ABC的周长为22．
17．（2023春 青羊区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝70°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）40°．
【解答】（1）证明：∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝DE；
（2）解：∵∠A＝70°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝×80°＝40°，
∴∠BDE＝∠ABD＝40°．
18．（2023秋 盐都区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
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2023-2024学年八年级数学下册-等腰三角形（北师大版）
考点1：等腰三角形的概念与性质
等腰三角形概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．
2.等腰三角形的性质
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
【题型1根据等腰三角形的性质求有关的边长】
【典例1】（2022秋 苍梧县期末）已知等腰三角形的周长为20，一边长为5，则此等腰三角形的底边长是（ ）
A．5 B．7.5 C．5或10 D．5或7.5
【变式1-1】（2023秋 昆明期中）等腰三角形的两边分别为3cm，4cm，则它的周长是（ ）
A．10cm B．11cm
C．16cm或9cm D．10cm或11cm
【变式1-2】（2023秋 滨海新区校级期中）等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则等腰三角形的周长（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．18
【变式1-3】（2023秋 仁化县期中）一个等腰三角形的周长为24cm，只知其中一边的长为7cm，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．7cm B．8.5cm
C．10cm D．7cm或8.5cm
【题型2根据等腰三角形的性质求角度】
【典例2】（2023春 兴宁市期末）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
【变式2-1】（2022秋 巫溪县期末）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（ ）
A．55° B．70° C．70°或55° D．70°或40°
【变式2-2】（2023秋 曲阜市期中）已知等腰△ABC中，AB＝AC，若该三角形有一个内角是70°，则顶角A的度数为（ ）
A．70° B．55° C．40° D．40°或70°
【变式2-3】（2022秋 南开区校级期末）等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（ ）
A．70° B．70°或40° C．110° D．110°或40°
【题型3与垂直平分线有关运算】
【典例3】（2023秋 建瓯市期中）如图，在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是（ ）
A．15° B．20° C．45° D．25°
【变式3-1】（2022秋 利川市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（ ）
A．11 B．12 C．14 D．16
【变式3-2】（2023春 蓬莱区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式3-3】（2022秋 惠州期末）如图，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于D，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
考点2：等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：
(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．
【题型4判断等腰三角形的个数】
【典例4】（2023秋 德城区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式4-1】（2023秋 武清区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，则图中等腰三角形的个数是 ．
【变式4-2】（2023 鄞州区校级开学）如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有 个．
【题型5根据等腰三角形的存在性找点的个数】
【典例5】（2022秋 东阿县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【变式5-1】（2023秋 西湖区校级月考）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为面积为1的等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式5-2】（2023秋 五华区校级期中）如图，已知点A，B的坐标分别为（3，0）和（0，5），在坐标轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的C点共有（ ）个．
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式5-3】（2023秋 原阳县期中）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数有 个．
【题型6等腰三角形的判定】、
【典例6】（2023春 东源县期末）已知：如图，△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形．
【变式6-1】（2023秋 永泰县期中）如图，在△ABC中，∠A＝∠C，AB＝AC，BD＝AD．
（1）求∠A的度数．
（2）求证：△DBC是等腰三角形．
【变式6-2】（2023秋 泗洪县期中）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F．
（1）证明：BA＝BC；
（2）求证：△AFC为等腰三角形．
【变式6-3】（2023 永嘉县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形．
【变式6-4】（2022秋 汤阴县期中）如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上的一点，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，连接CD，若BE+CF＝EF．求证：△CFD是等腰三角形．
【题型7等腰三角形的判定与性质】
【典例7】（2023春 修水县期末）在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．
（1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由；
（2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长．
【变式7-1】（2022秋 岳阳楼区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝75°，∠C＝37°，求∠BDE的度数．
、
【变式7-2】（2023春 高陵区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．
（1）求证：△ACD为等腰三角形．
（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．
【变式7-3】（2023 瓯海区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E．
（1）过点E作EF∥BC交AB于点F，求证：FB＝FE．
（2）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
【题型8 等腰三角形的实际应用】
【典例8】（2020秋 铁锋区期中）数学与生活．
如图，轮船从A港出发，以28海里/小时的速度向正北方向航行，此时测得灯塔M在北偏东30°的方向上．半小时后，轮船到达B处，此时测得灯塔M在北偏东60°的方向上．
（1）求轮船在B处时与灯塔M的距离；
（2）轮船从B处继续沿正北方向航行，又经半小时后到达C处，则此时轮船与灯塔M的距离是 ，灯塔M在轮船的 方向上．
【变式8-1】（2022秋 嘉峪关期末）如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°．求从B处到灯塔C的距离．
【变式8-2】（2022秋 越秀区校级期中）如图，一条船上午8时从A处以20海里/小时的速度向正南航行，上午10时到达B处，从A处测得灯塔C在南偏东30°的方向上，在B处测得灯塔C在南偏东60°的方向上．
（1）求B处离灯塔C的距离；
（2）轮船从B处出发，按原速度航行，再过多少小时灯塔C正好在船的正东方向．
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 无为市期中）等腰三角形的一个角是80°，它的底角度数为（ ）
A．100° B．50° C．100°或50° D．80°或50°
2．（2023秋 沙坪坝区校级期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC，当固定点B、C到脚杆E的距离相等，点B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．垂线段最短
C．等腰三角形的三线合一 D．DE是BC的垂直平分线
3．（2023秋 江华县期中）如图所示，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
4．（2022秋 长兴县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，若∠C＝65°，则∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
5．（2023秋 赤峰期中）等腰三角形一边长是6，另一边长是12，则周长是（ ）
A．24 B．30 C．24或30 D．18
6．（2023秋 文成县期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动，若∠ODE＝108°，则∠CDE的度数是（ ）
A．68° B．72° C．84° D．96°
7．（2023秋 玉树州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝75°，BD是AC边上的高，则∠ABD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
8．（2023秋 河东区期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝24°，∠EDC＝12°则∠DAE的度数为（ ）
A．58° B．60° C．62° D．64°
9．（2023秋 临沂期中）如图，已知△ABC的面积为28，AB＝AC＝16，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DF＝2DE，则DF长为（ ）
A． B． C． D．6
10．（2023春 莱山区期末）如图，在△ABC中，AC＝18cm，BC＝20cm，点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒1.6cm的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当△CMN是以MN为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
二．填空题（共5小题）
11．（2023秋 娄底期中）如果一个等腰三角形的周长为17，一边长为5，那么腰长为 ．
12．（2023秋 南关区期末）如图，射线BA、CA交于点A，连接BC，已知AB＝AC，∠B＝40°，那么x的值是 ．
13．（2023秋 儋州期中）如图，在△ABC中，AD＝DE，AB＝BE，∠A＝70°，则∠DEC＝ ．
14．（2023秋 玉州区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，若AD＝AE，∠DEC＝10°，则∠BAE的度数为 ．
15．（2023秋 科左中旗期中）如图，∠AOB是一角度为17°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FC、GH…，且OE＝EF＝FG＝GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为 ．
解答题（共3小题）
16．（2023秋 苍溪县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．
（1）若∠A＝34°，求∠DCB的度数．
（2）若AE＝4，△DCB的周长为14，求△ABC的周长．
17．（2023春 青羊区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝70°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．
18．（2023秋 盐都区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
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